Citar como:
Monaghan, Frank (2000). What difference does it make? Children’s views of the differences between some quadrilaterals. En Educational Studies in Mathematics 42: 179, 196.
Citar como:
Monaghan, Frank (2000). What difference does it make? Children’s views of the differences between some quadrilaterals. En Educational Studies in Mathematics 42: 179, 196.
Introducción al texto de Monaghan
La inclusión de este artículo en la antología obedece a que es frecuente escuchar que la geometría es una de las ramas de la matemática que más favorece los procesos de argumentación y demostración; quizás por la organización y sistematización que Euclides dio a los conocimientos y resultados geométricos de su época en su libro de los Elementos.
También se ha elegido este artículo porque usa como marco teórico el modelo de Van Hiele que se presentó en un capítulo anterior y que se menciona recurrentemente en los dos estados del arte que constituyen los capítulos 1 y 2 de esta antología.
El artículo se centra en el lenguaje y la manera de argumentar de estudiantes de 11 a 16 años de edad de una secundaria en Inglaterra.
Actividad anterior a la lectura
Antes de leer este capítulo responda por escrito a los siguientes enunciados y preguntas:
1. Nombre seis cuadriláteros que usted conozca
2. Forme cinco parejas de cuadriláteros diferentes con los cuadriláteros que mencionó en el inciso anterior, escríbalas. Por ejemplo: trapecio-cuadrado.
3. Diga en qué se diferencian los dos cuadriláteros que constituyen cada una de las parejas que formó.
4. ¿Cree que para un alumno de primero de secundaria sea clara la explicación para diferenciar cada pareja de cuadriláteros que usted elaboró en el inciso 3?
¿Qué Diferencia Hay? El Punto De Vista De Los Niños Sobre Las Diferencias Entre Algunos Cuadriláterospor Frank Monaghan
DIFERENCIACIÓN DE CONCEPTOS
En este artículo se explorarán las ventajas de la diferenciación de conceptos en matemáticas, como medio para promover la clase de conflicto cognitivo que Vygotsky (1978, 1984) establece como esencial para tener éxito en la formación de conceptos. Como Adler (1997, p. 238) pone en claro, Vygotsky “reconoce la escuela como un contexto diferente, que da lugar a clases de actividades diferentes, que conducen a clases de conocimientos cualitativamente diferentes de los que se adquieren en la vida cotidiana, en el juego o en el trabajo”. En términos de desarrollo conceptual, Vygotsky hace una distinción entre los conceptos espontáneos de los niños, que se desarrollan de manera no sistemática a través de las interacciones de la vida cotidiana, y los conceptos científicos, que forman parte de un sistema de conceptos y comúnmente son mediados a través de la escolarización (Vygotsky, 1986: 193-194):El principio de un concepto espontáneo generalmente puede ser rastreado hasta un enfrentamiento cara a cara con una situación concreta, mientras un concepto científico involucra desde el inicio una actitud ‘mediada’ hacia su objeto.Adicionalmente, él busca explorar y promover el valor de tal foco ‘mediado’ y explícito en el lenguaje de las matemáticas, como una manera de desarrollar el dominio y facilidad de los estudiantes con este tipo particular de discurso. Como Adler (1997, p.241) subraya:... aunque el hablar dentro y el hablar acerca de las matemáticas, dentro del salón de clase y las prácticas matemáticas, están relacionados fuertemente, no dan lugar a las mismas demandas educativas de parte del que habla... El movimiento entre el hablar dentro y el hablar acerca de no es aprendido espontánea o tácitamente. Requiere de mediación.Este artículo describe un ejemplo de dicha mediación enfocada en el lenguaje, con base en una actividad que requería que los estudiantes se involucraran en la diferenciación de conceptos, lo que en esencia implicó presentarles a los estudiantes pares de conceptos relacionados y pedirles que analizaran las diferencias entre ellos. Es un método relativamente simple y económico de obtener acercamientos a los entendimientos conceptuales comunes de los estudiantes. El promover el conflicto cognitivo, sin embargo, puede tener un potencial mayor como un medio para desarrollar aún más tales entendimientos y para reconocer y corregir posibles fuentes de malos entendidos.En este estudio, el conflicto cognitivo es provocado pidiendo a los estudiantes que describan en sus propias palabras las diferencias entre parejas de cuadriláteros. El supuesto que está debajo de todo esto es que al describir tales diferencias los estudiantes, entre otras cosas, revelan perspectivas valiosas sobre su entendimiento conceptual y, por lo tanto, respaldarán a los maestros en sus esfuerzos por mejorar el aprendizaje de sus estudiantes. Este supuesto se encuentra en un modelo constructivista de aprendizaje (Glaserfeld, 1995; Mercer, 1995; Ernest, 1994; Sierpinska, 1994). Adler ha investigado esta área de la educación matemática y reconoce el valor de tal aproximación con los maestros. Cuando reporta los resultados de talleres con maestros ella comenta (Adler 1999, p. 54-55): Los maestros están de acuerdo en cuanto a que el que los alumnos digan lo que están pensando podría ayudar al maestro, al menos, a saber lo que los estudiantes están construyendo y a responder apropiadamente. Alguien resumió esto en la discusión dentro del taller: “Escuchar lo que los alumnos piensan y articulan te puede ayudar (al maestro) a ver qué es lo que ellos entienden”.
 |
Figura 1. Discriminación de formas
Es de esperar que los niños sean capaces de identificar estas formas y también deberían tener muy poca dificultad en identificar formas particulares de entre un grupo de formas, como en el siguiente ejercicio:
3. ¿Qué figura es ésta?
Figura 2. Identificación de formas
En mi experiencia, cuando los niños son enfrentados a un ejercicio más complejo, como el de la Figura 3, los estudiantes más avanzados generalmente serán capaces de identificar las formas individuales como se requiere:
 |
¿Qué puntos describen…
a)… un cuadrado?
b) … un rombo?
c) … un papalote?
d) … un trapecio?
|
Figura 3. Discriminación de formas más complejas
El currículum matemático de la escuela intenta que los niños tengan una idea clara de cómo se ven las formas y que sean capaces de usar este mapa mental para navegar a través de ejercicios como el que aparece arriba. Hay diferencias significativas, sin embargo, entre ser capaz de identificar las figuras, describir las figuras y clasificarlas, con implicaciones para el grado de entendimiento matemático que se supone. El currículum nacional de Inglaterra, por ejemplo (DFE, 1995, p.27), localiza el proceso de clasificación en el nivel 3 (de 8): “los alumnos clasifican formas de 3-D y 2-D de varias maneras usando propiedades matemáticas” y en el nivel 6. “Ellos saben y usan las propiedades de los cuadriláteros al clasificar diferentes tipos de cuadriláteros”.
En los niveles más bajos clasificar puede, quizás, tomarse como algo más cercano a describir (lo cual está en los niveles 0 y 1 de van Hiele) y, en niveles más altos, a definir (lo cual corresponde al nivel 2 de van Hiele). Hay, por supuesto, una clara diferencia entre describir una figura y definirla, pero el término clasificar se utiliza en diferentes niveles sin hacer ninguna distinción operacional entre ellos. Tales definiciones de los logros, por supuesto, son escritas teniendo en mente una evaluación aditiva por aplicación de exámenes más que como una descripción de un progreso sistemático y coherente a través de jerarquías de conceptos matemáticos definidas. Esto, quizás, dé cuenta de saltos abruptos y no programados dentro de tales descriptores, pero hace muy poco por ayudar a los maestros que se enfrentan a la dificultad de planear un currículum que desarrolle en sus estudiantes habilidades para demostrar sus conocimientos de los conceptos matemáticos por medio del lenguaje. Tampoco apoya a los maestros en la evaluación formativa de tales habilidades, ni mencionar siquiera que ayude a los estudiantes a desarrollar habilidades de auto evaluación, mismas que cada vez son más reconocidas de gran valor, como lo argumenta Gipps (1994, p.26-27):
Si los alumnos tienen que convertirse en asesores competentes de su propio trabajo, como los descubrimientos en la meta-cognición nos dicen que debe ser, entonces necesitan experiencia sostenida sobre formas de cuestionar y mejorar su trabajo, y experiencia apoyada para evaluar su trabajo, además de entender lo que cuenta como estándares esperados y los criterios con los cuales ellos serán evaluados.
Cualquier planeación de esta naturaleza para el aprendizaje futuro debe fundarse sobre un entendimiento y apreciación de las conceptualizaciones que los estudiantes tienen en el momento. El siguiente estudio representa un intento de usar la diferenciación de conceptos como un medio de evaluar formativamente a un grupo de estudiantes de 7º grado (de edades entre 11ya 12 años) sobre su entendimiento de las formas y su uso del lenguaje para expresar tal entendimiento.
EL ESTUDIO
El escenario
El estudio se llevó a cabo en una escuela grande (aproximadamente 2000 estudiantes) en un vecindario del interior de Londres que se caracterizaba por tener altos niveles de privación social. Aproximadamente dos tercios de los estudiantes usaba regularmente un lenguaje diferentes del inglés, y alrededor de una tercera parte de este grupo estaba en las primeras etapas de adquirir el lenguaje. A todos los estudiantes se les enseñaba matemáticas en clases con niveles de logro mixtos y edades entre 11 y 16 años, cada clase contenía una amplia variedad de habilidades, pero tenía más estudiantes en el extremo más bajo que en el más alto.
El estudio
La distancia conceptual que los estudiantes deben cubrir para moverse desde un estadio de reconocimiento de características visuales burdas de las formas, como rectitud o longitud, a conceptos más abstractos como paralelismo o perpendicularidad es mucho más grande que la sola diferencia en el vocabulario podría sugerir. Como ha sido señalado, los estudiantes muy tempranamente son capaces de reconocer y distinguir las formas. Lo que es menos claro es la base sobre la que hacen tales distinciones.
Para poder investigar esto, se desarrolló una actividad en un grupo de 24 alumnos de 7º grado a quienes no se les pidió identificar formas aisladamente, sino diferenciarlas entre ellas. El objetivo era analizar el lenguaje que los estudiantes usan para describir las diferencias entre las formas con el fin de explorar lo que revela este lenguaje acerca de su conceptualización de las formas. La determinación para esto deriva de la noción de Vygotsky de conflicto cognitivo discutida anteriormente, según la cual la formación de conceptos se ve como un proceso creativo en el que los conceptos emergen como resultado de resolver un problema, más que a través de la sola memorización de palabras y la conexión de éstas con algún objeto.
El ejercicio tuvo lugar durante la primera parte del calendario escolar cuando ellos todavía no habían hecho ningún trabajo de clasificación de formas. (Ellos, por supuesto, habían trabajado con formas en sus escuelas primarias pero este tipo de ejercicios de definición era nuevo para ellos.) Al pedirles a los estudiantes que identificaran los atributos sobresalientes por los que distinguían las figuras, se supuso que emergería evidencia acerca de la base sobre la que ellos identificaban las figuras. A los estudiantes se les pidió responder las cinco preguntas siguientes:
1. ¿Cuál es la diferencia entre un cuadrado y un rectángulo?
2. ¿Cuál es la diferencia entre un rectángulo y un paralelogramo[1]?
3. ¿Cuál es la diferencia entre un cuadrado y un rombo?
4. ¿Cuál es la diferencia entre un paralelogramo y un papalote?
5. ¿Cuál es la diferencia entre un trapecio y un paralelogramo?
Lo subsecuente es un análisis de sus respuestas. (Por razones de espacio, reportaré sólo las respuestas a las dos primeras preguntas. Se respeta la ortografía de los estudiantes y se ponen paréntesis cuadrados para sugerir posibles interpretaciones donde el significado original no es claro).
RESPUESTAS DE LOS ESTUDIANTES
1. ¿Cuál es la diferencia entre un cuadrado y un rectángulo?
Tres estudiantes no hacen diferencia entre estas formas:
La diferencia es que el cuadrado tiene 4 ángulos rectos y en un rectángulo todos los lados opuestos son iguales. (Matthew)
Mientras que nada de lo que dice Matthew es incorrecto, tampoco ilustra la diferencia entre las dos formas ya que las dos tienen cuatro ángulos rectos y ambas tienen lados opuestos iguales.
Ambos son cuadriláteros y tienen cuatro lados. (Chris)
Chris trata de usar un término matemático (cuadrilátero) pero, al producir una tautología sin intención, sugiere que él no entiende realmente lo que se pregunta. Sin embargo, si se le hubiera pedido solamente que describiera un rectángulo, usando ese término, su maestro seguramente no se hubiera dado cuenta de que no tiene claro lo que significa y podría haberse quedado impresionado por este conocimiento de los términos.
Un cuadrado tiene cuatro lados y un rectángulo es una forma de cuatro lados porque el cuadrado tiene cuatro ángulos rectos y rectángulo tiene cuatro ángulos rectos. (Munira)
Munira ha entendido el punto de que ambas figuras son cuadriláteros con ángulos rectos (y no es usual que ella comente sobre los ángulos) pero falla al hacer la distinción entre los dos. Ella entendió, quizás, el principio subyacente de que el que un cuadrado es un caso especial de rectángulo, lo cual sería un gran logro de su parte. Sin embargo, sus respuestas a las otras preguntas hacen que esta conjetura no sea viable.
Cuatro de los veinticuatro alumnos dan una respuesta que se enfoca en la diferencia esencial entre rectángulo y cuadrado, esto es, que en un rectángulo los lados opuestos pueden ser iguales y en un cuadrado deben ser iguales.
Un rectángulo tiene los lados iguales. Los lados opuestos son iguales.
Un cuadrado tiene 4 lados iguales. Un rectángulo tiene 2 lados opuestos iguales.
Un rectángulo tiene 2 lados opuestos iguales y un cuadrado tiene 4 lados iguales.
Un cuadrado es un rectángulo especial porque tiene todos sus lados iguales.
La mayoría de los estudiantes (dieciséis de ellos) perciben la diferencia entre cuadrado y rectángulo de manera semejante pero diferente significativamente. La diferencia sobresaliente para estos estudiantes es el asunto de la longitud horizontal. Esta percepción, por supuesto, se sostiene comúnmente, pero es inexacta desde el punto de vista matemático ya que ignora que el cuadrado es un caso especial de rectángulo. Más importante, lo que esta percepción revela es el grado en el que las conceptualizaciones de los estudiantes sobre las formas están gobernadas por las representaciones estándar que ellos encuentran generalmente en los materiales matemáticos. Ellos generalizan que los rectángulos son inherentemente más largos que los cuadrados y que su diferencia está en los lados horizontales que los distinguen, como muestran los siguientes ejemplos:
Más largo[2]
Un rectángulo es una figura de cuatro lados pero más larga. (Marcus)
La longitud de un cuadrado es más corta que la del rectángulo. (Celina)
Horizontal
Un cuadrado tiene sus cuatro lados de la misma longitud y un rectángulo siempre tiene dos lados opuestos de la misma longitud y los otros dos son de la misma longitud pero diferentes los de arriba de los de abajo. (Del)
Un rectángulo tiene los lados opuestos que son iguales. Los de arriba y los de abajo son iguales, y el cuadrado tiene todos los lados y ángulos iguales. (Ghalib)
Ambos: el más largo y horizontal
Un rectángulo tiene dos lados (los de arriba y los de abajo) que son más anchos que los otros dos y un cuadrado tiene todos sus cuatro lados iguales. (Andrew)
Por supuesto, es posible construir un cuadrado y un rectángulo con los lados del cuadrado más largos que los del rectángulo y los estudiantes reconocerán cuál es cuál. Igualmente, es poco probable que ellos fallen al reconocer un rectángulo cuando el lado vertical es más largo que el horizontal. (Ya que para los niños ‘longitud’ se refiere normalmente a los lados horizontales y el ancho a los verticales. Los términos “longitud” y “ancho” de un rectángulo serán usados aquí en ese sentido.)
Puede argumentarse que los estudiantes están siendo forzados a este “error” cuando se les pide que hagan una diferencia donde tal vez no hay ninguna, así que ponen atención en las condiciones más ‘relajadas’ del rectángulo, en el que los cuatro lados pueden ser iguales en oposición al cuadrado donde los cuatro lados deben ser iguales. El punto importante que emerge de estas descripciones, sin embargo, es la rigidez de su visión del rectángulo como oblongo. El ‘prototipo’ sobresaliente y los obstáculos que éste puede representar han sido ampliamente discutidos (Hasegawa, 1997; De Villiers, 1994; Laborde, 1994; Fischbein, 1993; Parzysz, 1991; Sfard, 1991; Hershkowitz, 1990) y sirven a este artículo. Los estudiantes tienden a generalizar de más las propiedades de un tipo de rectángulo a toda la clase. Como dice Hasegawa (1997, p.157-158):
El prototipo es un resultado de nuestras limitaciones visuales-perceptivas las cuales afectan la habilidad de identificar de los individuos, y los individuos usan el ejemplo prototípico como un modelo en sus juicios de otras instancias.
Hablando conceptualmente, no existe cosa tal como un rectángulo, hay dos tipos: el oblongo y el cuadrado. Sin embargo, no es así como los estudiantes lo perciben; su concepto de un rectángulo se ha vuelto fijo, sinónimo de rectángulo oblongo. Esta rigidez, yo argumentaría, surge de la manera en que a los estudiantes se les presentan los rectángulos en los materiales de enseñanza, con una orientación particular, en donde hay una relación estándar uno a uno entre objeto-palabra.
Para poner esto a prueba utilicé una base de datos que creé como parte de un estudio más amplio (Monaghan, 1997), y hecho desde un esquema matemático, acerca del texto escrito en los materiales de enseñanza empleados más ampliamente en las escuelas secundarias de Londres y más allá. Después usé software de concordancia, lo cual me permitió investigar todas las ocurrencias de líneas particulares en contexto, y así fue posible explorar varios patrones que emergieron en el texto escrito de los materiales.
Un examen de la representación de los rectángulos en estos materiales sugiere que los materiales por sí mismos pueden – aunque inconscientemente – estar proveyendo una base deductiva errónea, que puede dar cuenta de la percepción comúnmente encontrada entre los estudiantes en cuanto a que un rectángulo siempre es más largo que ancho (¡o viceversa!)– como se sigue del enunciado de Celina que citamos antes “el largo de un cuadrado es más corto que el del rectángulo”.
El análisis cubrió más de 1400 actividades, lo que representaba el 93% de todos los materiales a la mano. 32 de estas actividades contenían ilustraciones de más o menos 48 rectángulos. Mientras que había un amplio rango de tamaños diferentes de rectángulos, un análisis del radio del lado largo al lado corto de todas las formas encontradas sugiere una representación estandarizada del rectángulo, con un par de lados aproximadamente del doble de longitud que el otro. (El radio modal fue de 1:2 y el radio medio de 1:2.19.)
Más o menos dos tercios de los rectángulos que se encontraron en los materiales mostraban rectángulos donde la longitud horizontal era más grande que el ancho vertical y en todos, excepto en unas cuantas de las actividades, los rectángulos estaban orientados de forma perpendicular a la página. Kerslake (1979, p.34) en su estudio con niños de 5 a 11 años, en el cual se les pidió identificar cuadrados presentados en varias orientaciones como cuadrados, encontraron que:
Parece que los cuadrados se hacían más difíciles de reconocer mientras más ‘inclinados’ estaban.
Parzysz (1988) también mostró que los estudiantes tienden a transferir, inconscientemente, propiedades geométricas de las representaciones gráficas al objeto representado, y viceversa. Pimm (1987) presenta ejemplos similares de tal comportamiento en los alumnos.
Que la dominancia de tales percepciones regidas por la orientación continúa implícita en los materiales curriculares debiera ser una preocupación pedagógica. Y esto no se limita a los cuadrados y rectángulos, como se desprenderá de la discusión acerca de la otra pregunta, que es lo que sigue.
2. ¿Cuál es la diferencia entre un rectángulo y un paralelogramo?
La percepción dominante aquí es que el rectángulo está derecho mientras que un paralelogramo está inclinado.
Un paralelogramo se inclina... (Menelick)
Los paralelogramos tienen lados inclinados mientras que el rectángulo tiene ángulo recto (Sudaratt)
Un paralelogramo está un poquito inclinado. En cambio un rectángulo tiene sus lados derechos con dos lados iguales. (Ellen)
La descripción de Ellen del paralelogramo como un poquito inclinado ilustra el grado hasta el cual las representaciones previas de los paralelogramos aparecen para condicionar una correspondencia uno a uno entre la palabra y el concepto.
La pregunta también clarifica la comprensión de los estudiantes de la palabra “derecho”, a la cual parece que consideran sinónimo de horizontal o vertical:
Un paralelogramo está medio inclinado de un lado, pero un rectángulo está derecho. (Andrew)
La diferencia es que un rectángulo es derecho y un paralelogramo se inclina hacia un lado. (Matthew)
Los lados del paralelogramo no están todos derechos e iguales, pero el del rectángulo sí está derecho e igual. (Celina)
Un paralelogramo tiene sus cuatro lados no derechos, y un rectángulo sí tiene sus cuatro lados derechos pero no todos son del mismo tamaño y no todos ellos son iguales. (Yarun)
Los estudiantes algunas veces utilizarán los términos horizontal y vertical para decir esencialmente lo mismo:
Los lados de un rectángulo son horizontales o verticales, el paralelogramo siempre tiene dos horizontales. (Jon)
Un rectángulo tiene dos lados horizontales y dos lados paralelos, pero un paralelogramo tiene dos horizontales y dos lados que se inclinan hacia la derecha. (Alomgir)
Como con el uso que hace Ellen de “ligeramente”, la descripción de Alomgir del rectángulo que se “inclina a la derecha” es de nuevo evidencia de la dominancia de una representación particular. Claramente, el modelo dominante es uno en que el paralelogramo no es un paralelogramo a menos que se vea como sigue:
Figura 4. Paralelogramo en orientación estándar
Más que como éste:
Figura 5. Paralelogramo en orientación no-estándar
Similarmente, los estudiantes van a identificar esta característica de ‘inclinación’ con ser diagonal:
Un paralelogramo tiene 2 lados cortos y dos lados largos también, pero los lados cortos están como diagonales. (Joynub)
Un rectángulo es recto, un paralelogramo también es recto pero los lados de la derecha y de la derecha son diagonales. (Del)
Los lados de un rectángulo son horizontales y verticales, pero en los paralelogramos las líneas son diagonales (Amir)
Los lados de un paralelogramo son verticales y los lados de los rectángulos van derecho. (Ghalib)
Ghalib probablemente está usando la palabra vertical incorrectamente para referirse a diagonal y la distinción que hace entre la verticalidad y la rectitud parece que le va a causar dificultades después. De nuevo estas descripciones ilustran las representaciones dominantes de las líneas diagonales que se presentan a lo largo de ejes horizontales en los polígonos. Esto se refleja en la aparente facilidad con la que los estudiantes son capaces de dibujar líneas diagonales en una figura que se presenta en la orientación “estándar”, esto es, con la base horizontal a la orilla de la página, pero tienen mayor dificultad cuando la misma figura se presenta con una orientación diferente.
El concepto de diagonal se ha encontrado esencialmente no operativo debido a la dominancia de un solo sistema de representación. Se ha fijado como una única representación visual, más que como una propiedad abstracta que puede ocurrir en una variedad de modos. Un análisis, hecho en otro trabajo, acerca del patrón de uso del término ‘diagonal’ en un esquema matemático (Monaghan, 1997), demostró claramente la predominancia del uso del término como un sinónimo de oblicuo, sobre su significado matemático; así que no es sorprendente, quizás, que de nuevo tal confusión surja en la escritura de los niños acerca de la forma. Se puede argumentar, incluso, que esto puede dar cuenta de ello hasta un grado bastante considerable. Como Triadafillidis argumenta (1995, p.226):
El ‘problema’ de la relación entre diagrama y definición surge de lo persuasivo de los modelos visuales en el proceso de aprendizaje. A pesar de que los diagramas generalizados no existen para una figura dada, hay una tendencia a poner atención en ciertos prototipos para un concepto geométrico... Fijarse en un prototipo puede también llevar a una expansión inadvertida de la definición matemática para incluir algunos atributos adicionales no críticos (por ejemplo; efectos de orientación).
La evidencia de esta discusión sugiere fuertemente que los estudiantes usan términos tales como diagonal, vertical, y horizontal como atributos fijos que definen a ciertas figuras más que como descriptores de representaciones particulares de casos individuales. El uso, hecho por Del, de derecha a izquierda para describir los lados más cortos en lugar de los largos también es de resaltarse, ya que indica una preferencia que no es poco común, por el inglés ‘cotidiano’ sobre el inglés ‘matemático’ y señala una dificultad recurrente que los estudiantes tienen; eximiendo a la descripción matemática de los lados en términos de longitud, anchura, altura, perpendicularidad, diagonalidad, horizontalidad, etc.
El punto de vista acerca de que el lenguaje usado ambiguamente en los materiales puede acarrear una influencia negativa en el aprendizaje de los niños es central a la percepción de Hanley (1978, p.28):
A través de los años, se ha abusado de muchas palabras en matemáticas, una materia en la que se espera que muchas palabras cotidianas tengan un significado matemático preciso que puede diferir de su connotación común. Algunas veces estas palabras se usan casualmente de manera incorrecta en un contexto donde el significado correcto resultará aparente en una etapa posterior. Esto puede ser aceptable como parte del desarrollo normal del lenguaje, pero otras palabras se usan mal regularmente, tanto de forma oral como en impresos y esto no se debe perdonar. El mal uso impreso de una palabra o cualquier uso pobre del lenguaje tiene una permanencia y, en consecuencia, en una audiencia tan amplia, se convierte potencialmente en un problema definitivo para la buena enseñanza.
Lo anterior puede tener un tono demasiado moralista – y demasiado simplista en su punto de vista del desarrollo del lenguaje – pero ciertamente trae a la discusión el tema de lo que los maestros en contacto directo con sus estudiantes deben hacer para intervenir en este desarrollo. Hanley concluye con una nota positiva (p.30):
Las mejores situaciones para el aprendizaje de las matemáticas en la escuela se dan cuando el lenguaje se puede usar libremente como medio interactivo y la mejor fuente para esto... es todavía el maestro de clase.
De hecho, el papel del maestro para ayudar a los estudiantes a tender un puente entre ambos, su entendimiento conceptual real y la expresión lingüística de éste, es obviamente crucial. Los autores de materiales impresos siempre van a estar muy lejos de los niños que los (mal) usan. El maestro está en la mejor posición de guiar el camino individual del niño a través de esta compleja red y ayudarles a re-negociar los pasajes más tortuosos.
Esta forma de análisis no debe, por supuesto, ser confinada solamente a identificar características negativas de la escritura de los estudiantes. También hay efectos positivos en ella. Por ejemplo, algunos estudiantes revelan una concepción dinámica y clásica de una figura en la que ellos describen a una como transformación de otra:
La diferencia entre un rectángulo y un paralelogramo es que el paralelogramo inclina sus lados laterales y los gira en una forma diferente y si no hiciera esto de llevar los lados en forma diferente sería un rectángulo. (Razia).
A pesar de que el uso de Razia de la expresión “inclina sus lados laterales” mantiene el estereotipo de la orientación, es, sin embargo, una manera muy poderosa de visualizar las formas, ya que permite a los estudiantes enfocarse en los puntos de definición de un polígono. Es tentador especular hasta dónde esta clase de respuesta pudo haber sido producida si la pregunta hubiera sido acerca de un cuadrado y un paralelogramo.
Otros estudiantes revelan un aspecto más táctil:
Un paralelogramo es como un rectángulo excepto que está jalado de sus esquinas y sus líneas son paralelas. (Ania)
... un paralelogramo es como un rectángulo pero está jalado de dos esquinas... (Jacklyn)
Es interesante especular de dónde viene esta metáfora de “jalado”. Una posibilidad es que los estudiantes hayan tenido experiencias construyendo polígonos con popotes que se conectan o geotiras. Un rectángulo producido de esta manera no es rígido y se puede doblar para formar un paralelogramo. Cualquiera que sea la fuente, los estudiantes que son capaces de visualizar las figuras de esta manera tienen una habilidad muy útil para involucrarse en niveles más altos de transformaciones y es menos probable que tengan dificultad para ver las figuras como algo que no es inmutable, como entidades visuales no fijas, sino fluidas. Ellos deben experimentar menos dificultad con la integración conceptual requerida para ver una forma como un caso especial de otra. El uso de paquetes de computación que permite a los estudiantes manipular las figuras geométricas en la pantalla ofrece también maneras útiles para que los estudiantes, quienes normalmente operan con modelos más rígidos, perciban tales transformaciones.
Los maestros necesitan tener una actitud positiva para esta clase de lenguaje metafórico ya que puede revelar mucho acerca de cómo los estudiantes conciben las formas. Tómese este ejemplo de Munira:
Un rectángulo tiene 4 lados es “shot”[3]. Un paralelogramo se encoge y parece una puerta. (Munira)
Ella revela un uso de la perspectiva imaginativa (si no exacta por completo) en esta descripción de una puerta contra el marco rectangular que lo encierra. Ella ha transferido las dos formas en un conjunto familiar y ha transformado la puerta rectangular moviéndola en su imaginación a través del espacio hasta que encaja en su imagen mental de un paralelogramo (aunque podría parecer más bien un trapecio, por supuesto). Es interesante especular sobre el uso de “shot”. Si es usado para significar “corto” (short) indicaría entonces la percepción común de los rectángulos solamente como oblongos. Sin embargo, si se lee como “cerrado” (shut) puede verse como una manifestación más de la metáfora de la puerta, en donde el rectángulo es visto como una puerta cerrada y un paralelogramo cuando es una puerta abierta. De cualquier manera, indica una dominancia de la percepción visual sobre la abstracción matemática.
Una operación mental de ajuste semejante es sugerida por la descripción de Shupi de un paralelogramo:
Un paralelogramo es una “lettel”[4] igual que un cuadrado. Pero un paralelogramo parece como si estuviera doblado. (Shupi)
Esta clase de transformación topológica se supone a menudo que es de un nivel más alto pero es claro que los estudiantes que operan en niveles más bajos son capaces de hacer uso de estas habilidades cuando necesitan resolver un conflicto conceptual.
CONCLUSIÓN
De acuerdo con el punto de vista de Kress (1994, p. 132) “el lenguaje del niño puede ser visto como una ventana hacia el mundo conceptual del niño”, este ejercicio fue realizado como un método relativamente directo de capturar la visión interna del entendimiento conceptual de los estudiantes y sus habilidades para expresarlo a través del lenguaje.
Lo que emerge es que los estudiantes (sobre-) estiman las representaciones estándares de las figuras como un medio para identificarlas y discriminarlas. Se mostró que los materiales curriculares tienden a sobrestimar tales percepciones. Los mismos efectos fueron encontrados por Geddes et al. (1982) en una revisión de textos de geometría usados en las secundarias en Estados Unidos.
Esto es potencialmente perjudicial para el desarrollo del uso del registro matemático (el uso matemático del lenguaje natural – vocabulario y estructuras – para crear significados matemáticos) por parte de los estudiantes. A menos de que ellos sean forzados a un conflicto Vygotskyano con su entendimiento conceptual presente – como se evidencia a través de su representación única de una figura que puede tener muchas representaciones, es poco probable desarrollar una conceptualización de más alto orden que les permita reconocer que el trapecio incluye al “cuadrado”, “paralelogramo”, “rectángulo” y “rombo”. Ellos confunden una imagen mental con un concepto y necesitarán de mediación por parte del maestro para desenmarañar los dos como Fischbein ha diferenciado (1993, p.140):
Lo que caracteriza a un concepto es el hecho de que expresa una idea, una representación ideal y general de una clase de objetos, basada en sus características comunes.
En contraste, una imagen (aquí nos referimos a imágenes mentales) es una representación sensorial de un objeto o fenómeno.
Desde la perspectiva del maestro, esta clase de ejercicio ofrece perspectivas valiosas para introducirse en la multiplicidad de maneras en las que sus alumnos conciben una forma así como para ayudarlos a moverse más allá de concepciones en los niveles de van Hiele 0 y 1 descritos anteriormente. Puede permitirle identificar cuáles conceptos no son conocidos en esta etapa (habilitándolo para planear para una clase completa), o cuáles conceptos en particular no tienen los estudiantes (facultándolo para planear a un nivel individual). Puede arrojar luz sobre concepciones erróneas que los estudiantes pueden tener pero que no aparecen de modo tan evidente en un ejercicio libre de conflicto o en una identificación simple. En este contexto del modelo de van Hiele, Shaughnessy y Burger (1985, p. 425) han señalado que:
...es muy probable que el maestro y los estudiantes estén razonando acerca de los mismos conceptos pero en diferentes niveles. Mientras que el maestro está escribiendo una definición cuidadosa en el pizarrón (nivel 2), los estudiantes pueden estar pensando acerca de todas las propiedades que el maestro ha dejado fuera (nivel 1).
La evidencia de los comentarios de los estudiantes discutida anteriormente ilustra claramente la brecha potencial entre el nivel inherente supuesto en los materiales y el de los estudiantes. En el estudio de Geddes citado anteriormente (Geddes, 1992) los textos escolares fueron analizados en términos de los modelos de van Hiele que ellos reflejaban. Se encontró que la mayor parte de los textos presentaban materiales del nivel 3 de van Hiele, pero presentaban conjuntos de problemas que frecuentemente saltaban del nivel 0 al 3. Enfocándose en el lenguaje, el maestro puede descubrir qué aspectos del registro están faltos de desarrollo.
El uso de bases de datos y software adecuado permite al maestro, o al investigador, hacer tales análisis más fácilmente que de otra manera. Por ejemplo, la información que subyace al análisis de la razón de los lados en rectángulos fue generada en materia de unos segundos identificando actividades que contenían las palabras “rectángulo” y/o “cuadrado”. Una investigación manual a través de todos los materiales claramente tomaría mucho más tiempo.
La base de datos también puede ser usada para identificar actividades que específicamente traten algunas formas en particular. Un sistema de código simple puede ser desarrollado, por ejemplo, un nuevo campo que contenga los detalles de las características de los diagramas en los materiales, identificando cuáles formas son representadas, y hasta dónde, en orientación estándar o no estándar. Esto permitiría a los maestros, investigadores y desarrolladores de materiales explorar patrones de presentación e identificar oportunidades, ya sea, para revisar los materiales existentes o para desarrollar algunos nuevos que se enfoquen en particular en estas preocupaciones.
Desde una perspectiva de investigación, la evidencia obtenida de los escritos de los estudiantes sugiere que una concordancia sustancial de la escritura del estudiante en la clase de matemáticas puede proveer perspectivas invaluables sobre cómo los estudiantes conceptualizan una forma y cómo pueden ser ayudados lingüísticamente a desarrollar más allá sus percepciones (ver Stubbs, 1996; Hoey, 1991; Sinclair, 1991 para una discusión más amplia del papel de tales concordancias y un análisis de género y Morgan, 1998, para una discusión acerca de cómo las evaluaciones de los estudiantes hechas por los maestros son afectadas por su uso del lenguaje). Exploraciones más profundas sobre el uso que ellos hacen de palabras, tales como puntiaguda, diagonal, inclinación, ángulo recto, etc., pueden revelar evidencia importante acerca de su entendimiento y comunicación sobre la orientación, lo que más frecuentemente aparece enfocado en términos de horizontalidad o verticalidad y no como una trayectoria matemáticamente definida. Shaughnessy y Burger (1985) comentaron sobre el hecho de que la mayoría de los cursos de geometría no contienen materiales o problemas diseñados para que los estudiantes se muevan del nivel 0 de van Hiele al 1, o del 1 al 2. Dina van Hiele desarrolló, basada en las necesidades percibidas, un curso entero (van Hiele-Geldof, 1957) de lecciones visuales y exploratorias como una preparación para la deducción. Como Sfard comenta (1991, p.3):
A diferencia de los objetos materiales, sin embargo, los constructos matemáticos avanzados son totalmente inaccesibles a nuestros sentidos, ellos pueden ser vistos solamente a través de los ojos de nuestra mente... El símbolo en un papel es solamente una de muchas representaciones de algunas entidades abstractas, que por sí mismas no pueden ser ni vistas ni tocadas.
El software puede ser usado para identificar tanto, actividades dirigidas específicamente a los cuadriláteros y a hacer comparaciones entre la presentación y la representación de tales formas encontradas en los esquemas matemáticos, como el lenguaje que los estudiantes usan para describirlos. El sistema de código en la base de datos necesitaría ser refinada para dar cuenta, por ejemplo, de los diagramas de las formas y sus orientaciones.
Los enunciados en el currículum y los planes y programas proveen una base para comparar hasta dónde encaja el lenguaje corriente usado por los estudiantes y los requerimientos intentados en el currículum. De manera similar, la comparación de un cuerpo específico del uso de los estudiantes del registro y de los textos matemáticos publicados con un largo cuerpo de inglés ordinario (tal como COBUILD) revelaría el grado de discrepancia en ambos registros. Tal análisis permitiría a los maestros y a los escritores de materiales construir de una manera más explícita la exploración y la negociación de los significados variados de palabras usadas por los educadores matemáticos y sus estudiantes.
Los enunciados en el currículum y los planes y programas para las matemáticas también pueden ser usados para identificar la necesidad de nuevos materiales. Tales recursos proveen una oportunidad de enfocarse tanto en el lenguaje como en el contenido, presentando el lenguaje como contenido y viceversa. Si un objetivo de las matemáticas es reducir la comunicación al máximo, entonces esta clase de ejercicios puede ser un camino hacia completar dicho objetivo.
Después de leer el capítulo responda por escrito a las siguientes preguntas.
1. 1, ¿Está de acuerdo con las respuestas que dio a las preguntas 2 a 4 al inicio del capítulo? Si su respuesta es que no está de acuerdo con alguna(s) de ellas, explique por qué y cómo la modificaría. Si su respuesta es que está de acuerdo con todas sus respuestas explique por qué.
2. 2. ¿Qué cree que sucedería con sus alumnos si se les aplican las actividades que Monaghan aplicó en su investigación?
3. 3. Describa una secuencia didáctica que permita trabajar los temas tratados en este artículo con alumnos de entre 11 y 15 años.
[2] De aquí en adelante el autor inserta ejemplos de las respuestas de los niños, respetando al máximo la sintaxis y ortografía de los niños, por ello hemos procurado traducir estos ejemplos de manera casi literal para respetar la intención del autor.
[3] Como el autor advirtió al inicio, ha respetado la escritura y ortografía de los niños. En este caso la niña escribe “shot” queriendo decir quizás “short” (corto) o “shut” (cerrado) como explica el autor más adelante.
