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De Villiers, Michael (1994). The Role and Function of a Hierarchical Classification of Quadrilaterals in For the Learning of Mathematics, 14, 1.
De Villiers, Michael (1994). The Role and Function of a Hierarchical Classification of Quadrilaterals in For the Learning of Mathematics, 14, 1.
Introducción al texto de De Villiers
Siguiendo con los procesos de argumentación se presenta ahora este artículo que se centra en la clasificación de cuadriláteros, un tema relacionado con lo visto en el capítulo 6 de esta antología.
Clasificar es una operación lógica importante y no es exclusiva del ámbito de las matemáticas, además, utilizar esta herramienta mental, ha dado grandes beneficios al ser humano.
Un mismo conjunto de objetos puede clasificarse de muchas maneras; sin embargo, es importante conocer las implicaciones que tiene el utilizar un criterio de clasificación sobre otro.
Un mismo conjunto de objetos puede clasificarse de muchas maneras; sin embargo, es importante conocer las implicaciones que tiene el utilizar un criterio de clasificación sobre otro.
El autor se centra en lo que él denomina “entendimiento funcional” de un contenido o proceso matemático; contrastándolo con la competencia para manipular tal conocimiento y con el entendimiento relacional o lógico.
Actividad anterior a la lectura
Antes de leer este capítulo responda por escrito a las siguientes preguntas.
1. Nombre de seis a ocho cuadriláteros que usted conozca
2. Defina un criterio para clasificar cuadriláteros y aplique el criterio a las figuras que nombró en el inciso anterior
3. Haga un esquema que ilustre la clasificación de cuadriláteros que encontró
4. ¿Qué función cree usted que tiene la clasificación de objetos matemáticos, en general, y de cuadriláteros, en particular?
El Papel y la Función de una ClasificaciónJerárquica de los Cuadriláteros
Michael de Villiers
Introducción
Una distinción conocida y útil entre diferentes tipos de entendimiento en matemáticas es la de distinguir entre los entendimientos instrumental, relacional y lógico (por ejemplo Skemp, 1976; 1977, Byers y Herscovics, 1977). Donde por “entendimiento” instrumental (el autor prefiere, de hecho, el término “competencia”) se refiere a la habilidad de un individuo para manipular el contenido matemático de manera correcta y eficiente (esto es, usando algoritmos, reglas y definiciones); los entendimientos relacional y lógico, respectivamente, se refieren al entendimiento de relaciones conceptuales entre contenidos y la lógica subyacente sobre las que estas relaciones se basan.
Una deficiencia grave en este modelo es que no se hace ninguna estipulación sobre el entendimiento funcional, en otras palabras, entender el papel, la función o el valor de un contenido matemático específico o de un proceso particular (comparar con Human, 1989). La experiencia extensiva con niños en contextos de entrevista y de salón de clase parece indicar que, a menudo, muchas de sus dificultades con el contenido matemático y los procesos no descansan tanto en su pobre competencia instrumental, ni en su inadecuado entendimiento relacional o lógico, sino en su entendimiento escaso de la utilidad o función de lo que están tratando. Debe ser notado que esta funcionalidad no se confina a aplicaciones en el mundo real exterior a las matemáticas sino que incluye los valores relativos o las funciones de contenido y los procesos dentro de las matemáticas.
En gran parte, parece que la ausencia, presencia, o nivel del entendimiento funcional de un individuo determina la motivación del individuo para estudiar y aprender matemáticas. Sin el entendimiento funcional, las matemáticas simplemente degeneran en una materia inútil, sin significado y arbitraria, desmotivando al alumno a que intente aprenderla y explorarla. El desarrollo adecuado del entendimiento funcional es por tanto un criterio importante para evaluar cualquier acercamiento didáctico.
En este artículo se distinguirán algunos tipos diferentes de clasificación, y se hará un análisis teórico del papel y la función de la clasificación jerárquica en matemáticas. Finalmente, se harán algunos comentarios breves en relación con la enseñanza de la clasificación jerárquica de los cuadriláteros.
Interludio
El siguiente extracto es un ejemplo bastante típico de varias experiencias y entrevistas con niños desde el estándar 7 al 10[1] (grados 9° a 12°) en los últimos años [ver De Villiers, 1987, 1990]:
I: Si definimos un paralelogramo como cualquier cuadrilátero que tiene lados opuestos paralelos, ¿podemos decir que un rectángulo es un paralelogramo?
S: Sí,... porque un rectángulo también tiene lados opuestos paralelos... Pero a mí no me gusta esta definición de paralelogramos... Yo sé que ésta es la definición que nos enseñan en la escuela y que los cuadrados y los rectángulos son paralelogramos (hace una mueca), pero no me gusta...
I: ¿Cómo definirías entonces a los paralelogramos?
S: Como cualquier cuadrilátero con lados opuestos paralelos, pero que no tiene todos los ángulos iguales.
I: ¿Qué pasaría entonces con el rombo?... ¿Tú dirías que un rombo es un paralelogramo?
S: Mmm..., de acuerdo con mi definición, sí... pero tampoco me gusta... Yo prefiero por tanto decir que un paralelogramo es un cuadrilátero con lados opuestos paralelos, pero que no tiene todos los ángulos o lados iguales.
Claramente este estudiante no tiene ningún problema para sacar conclusiones correctas de definiciones y hacer inclusiones jerárquicas pero prefiere no hacerlo. Por lo tanto, este estudiante exhibe manifiestamente la habilidad de formular una definición. Similarmente, Clements y Battista (1962-63) han reportado dos casos de estudiantes que eran capaces de seguir la lógica de la clasificación jerárquica de cuadrados y rectángulos pero que tenían dificultad para aceptarlo. El problema entonces, no parece ser tanto la falta de entendimiento relacional o lógico, ni siquiera la competencia para definir, sino una falta de entendimiento funcional (es decir, cuál es la función o valor de la clasificación jerárquica de los cuadriláteros).
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Figura 1
Clasificaciones partitiva y jerárquica
El término clasificación jerárquica significa aquí la clasificación de un conjunto de conceptos de tal manera que los conceptos más particulares forman subconjuntos de conceptos más generales. Ejemplos varios, tales como la clasificación de los números reales o la clasificación de varias geometrías desde la perspectiva de las transformaciones (programa Erlangen) pueden ser provistos, pero para el propósito de este artículo nos enfocaremos en la clasificación de cuadriláteros.
En contraste con una clasificación jerárquica existe también la posibilidad de una clasificación partitiva de conceptos. En tal clasificación, sin embargo, los varios subconjuntos de conceptos se consideran disjuntos uno del otro. Por ejemplo, en la Figura 1 se contrasta una clasificación jerárquica de paralelogramos, rectángulos, rombos y cuadrados con una clasificación partitiva. (Dos tipos diferentes de representación para cada clasificación se ilustran.) En la clasificación jerárquica podemos ver claramente a los rectángulos y rombos como subconjuntos de los paralelogramos y a los cuadrados como la intersección entre rectángulos y rombos. En contraste, en la clasificación partitiva los cuadrados no son rectángulos ni rombos, tampoco los rectángulos y rombos son paralelogramos.
La relación entre clasificar y definir
La clasificación de cualquier conjunto de conceptos no tiene lugar independientemente del proceso de definición. Por ejemplo, para clasificar jerárquicamente un paralelogramo como un trapecio se requiere definir un trapecio como: “un cuadrilátero con al menos un par de lados opuestos paralelos.” Si, por otro lado, queremos excluir a los paralelogramos de los trapecios, necesitamos definir trapecio como “un cuadrilátero que tiene sólo un par de lados opuestos paralelos.”
Más aún, debe subrayarse inequívocamente que una definición (y clasificación) partitiva no es matemáticamente “incorrecta” simplemente porque sea partitiva (suponiendo por supuesto que contiene suficiente información para asegurar que todos los no-ejemplos estén excluidos). Por ejemplo, la definición partitiva de paralelogramo dada por el estudiante anteriormente (es decir, un cuadrilátero con lados opuestos paralelos, pero que no tiene todos los ángulos o todos los lados iguales) puede no ser convencional, pero no es incorrecta. De hecho es una definición económica correcta, ya que contiene sólo propiedades necesarias y suficientes. Por supuesto, así como los estudiantes a menudo proveen definiciones jerárquicas que son correctas pero no son económicas (es decir, contienen información superflua) el autor ha encontrado también, frecuentemente, que ellos dan definiciones partitivas correctas no-económicas como la siguiente:
Un paralelogramo es un cuadrilátero con lados opuestos iguales y paralelos, ángulos opuestos iguales, diagonales de diferente longitud que se parten a la mitad cada una, pero no perpendicularmente.
(Es quizás necesario señalar que incluso los matemáticos no siempre se adhieren estrictamente a la economía de las definiciones y los axiomas. Por ejemplo, en la definición de un grupo[2] solamente se requiere, en realidad, un inverso izquierdo, ya que el inverso derecho es implicado de hecho, pero normalmente siempre establecemos que debe haber inverso de todos los elementos. La razón de esto es simplemente una conveniencia, es decir, eliminar una prueba extra, a veces complicada. Similarmente, es costumbre usar los cinco axiomas del Algebra Booleana[3], aunque de hecho sólo se requieren tres.)
Algunas veces una clasificación partitiva y sus correspondientes definiciones son útiles y necesarias para aclarar y distinguir entre conceptos. Por ejemplo, consideremos la clasificación partitiva de cuadriláteros convexos, cóncavos y cruzados que se muestra en la Figura 2, con las siguientes posibles definiciones:
Cuadriláteros
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Cuadriláteros cerrados simples
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Cuadrilátero cruzado
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Convexo
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Cóncavo
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Figura 2
o Un cuadrilátero es cualquier figura cerrada en el plano, con cuatro lados y con cuatro vértices.
o Un cuadrilátero cerrado simple es un cuadrilátero en el que sus lados sólo se intersecan en los vértices.
o Un cuadrilátero cruzado es un cuadrilátero que tiene dos lados que se cruzan en un punto distinto a los vértices.
o Un cuadrilátero convexo es un cuadrilátero simple cerrado en el que ninguno de sus ángulos es reflexivo (mayor a 180°).
o Un cuadrilátero cóncavo es un cuadrilátero simple cerrado con uno de sus ángulos reflexivo.
Análogamente, es útil y necesaria la partición de papalotes en convexos y cóncavos. Mas aún, cuando se clasifica y especifica un cuadrilátero dado, la partición en una estrategia espontánea y natural. Por ejemplo, cuando nosotros tenemos un cuadrado enfrente no decimos, por lo general, ¡ajá! aquí tenemos un rectángulo. En lugar de eso, normalmente llamamos a un cuadrado un “cuadrado” y dejamos el término “rectángulo” para un rectángulo que es no-cuadrado (o general). De manera similar, normalmente sólo emplearíamos el término “rombo” cuando estamos viendo un rombo que es no-cuadrado. Precisamente de la misma manera, Dennis (1978) hizo uso de las particiones para diseñar un programa de computadora que clasificara cuadriláteros (de acuerdo con las coordenadas dadas).
De hecho, la partición es aceptada en muchas áreas de las matemáticas como un método matemático en general, pero particularmente en el estudio de superficies topológicas y espacios, donde el problema fundamental es la subdivisión de estas superficies y espacios en diferentes tipos disjuntos (por ejemplo ver Patterson, 1956). Más aún, dado que una clasificación y sus definiciones correspondientes son arbitrarias y no absolutas, debemos reconocer que la elección entre clasificación jerárquica y partitiva es, a menudo, una situación de elección personal y conveniencia. Por ejemplo, el autor encontró recientemente la siguiente definición partitiva en un libro antiguo de Geometría, de Wentworth [1881:58], el cual ha sido usado ampliamente en los colegios y universidades americanos en el siglo pasado[4]: Un rombo es un paralelogramo que tiene sus lados iguales, pero sus ángulos oblicuos.
La cuestión fundamental que se expresó anteriormente en este artículo es, por lo tanto: ¿Por qué nosotros (convencionalmente) preferimos una clasificación jerárquica de los varios cuadriláteros convexos más que una clasificación partitiva? O expuesta de diferente manera: ¿Qué ventajas tiene la clasificación jerárquica sobre la clasificación partitiva en este tema?
Clasificación descriptiva y constructiva
De manera análoga a algunas distinciones similares hechas para los procesos de axiomatización y definición (por ejemplo, ver Krygowska, 1971; Human, 1978; De Villiers, 1986), es posible distinguir también entre dos diferentes tipos de clasificación, a saber, descriptiva (a posteriori) o constructiva (a priori), cada una de ellas puede ser jerárquica o partitiva.
En contraste, por clasificación a priori se entiende que los procesos matemáticos de generalización y especialización se están utilizando deliberadamente para producir nuevos conceptos que son inmediatamente colocados, ya sea en una relación jerárquica o partitiva, con otros conceptos existentes. Una generalización ocurre cuando un concepto nuevo, más general, B se construye de un concepto A, al eliminar ciertas propiedades (restricciones) o reemplazando algunas de ellas por otras más generales. Durante la especialización, sin embargo, un nuevo concepto B, más especializado, es construido a partir de un concepto A al demandar propiedades (restricciones) adicionales o reemplazando algunas de ellas por otras más especializadas.
Por supuesto, la generalización o la especialización no tienen lugar necesariamente a partir de un solo concepto, sino que pueden involucrar a dos o más conceptos. Por ejemplo, un nuevo concepto C puede ser generalizado de dos o más conceptos, seleccionando apropiadamente una o más propiedades comunes (restricciones) de estos conceptos. Similarmente, un nuevo concepto C también puede ser especializado de dos o más conceptos demandando que se combinen todas las propiedades o (restricciones) de estos conceptos. En general la función más importante de una clasificación a priori es por lo tanto el descubrimiento o creación clara de nuevos conceptos.
Ahora veamos brevemente algunos ejemplos de clasificaciones a posteriori y a priori con respecto a los cuadriláteros. Una clasificación a posteriori ocurre, por ejemplo, si la clasificación de los cuadrados y los rectángulos se fuera a considerar después de que ya los hemos conocido por algún tiempo, y sus propiedades han sido examinadas profundamente.
Por otro lado, con una clasificación a priori podemos empezar con el concepto más especial, el cuadrado, y generalizar al rectángulo y al paralelogramo consecutivamente como nuevos conceptos, como se muestra en la Figura 3. Por ejemplo, el rectángulo puede ser generalizado del cuadrado relajando el requerimiento de que todos los lados sean iguales, pero dejando la propiedad de ángulos iguales. Similarmente, el paralelogramo se puede generalizar del rectángulo relajando el requerimiento de que los ángulos tengan que ser iguales, pero manteniendo la propiedad de lados opuestos paralelos. De la misma manera podemos generalizar a un paralelogramo vía un rombo.
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Figura 3
O viceversa, empezando por un concepto más general, el paralelogramo, podemos especializar imponiendo más y más propiedades hasta producir finalmente un cuadrado. Por ejemplo, el rombo se puede especializar del paralelogramo requiriendo la propiedad adicional de tener lados iguales. Similarmente, el cuadrado se puede especializar del rombo requiriendo la propiedad adicional de tener ángulos iguales (en otras palabras, combinar todas las propiedades de rectángulos y rombos). Es importante, sin embargo, enfatizar nuevamente que la generalización o la especialización no tienen que ser jerárquicas necesariamente, sino que pueden ser partitivas teóricamente (a pesar de que en la práctica real esto puede ser la excepción y no la regla).
Similarmente podemos generalizar el concepto de papalote a un nuevo concepto, digamos por ejemplo, un cuadrilátero perpendicular, al relajar la condición de que los dos pares de lados adyacentes deben ser iguales pero reteniendo la perpendicularidad de las diagonales (ver Figura 4).
(Nótese que también podemos obtener cuadriláteros perpendiculares cóncavos y cruzados. Una propiedad interesante de los cuadriláteros perpendiculares es que si conectamos los puntos medios de lados adyacentes, obtenemos un rectángulo). Una definición jerárquica de un cuadrilátero perpendicular podría ser, simplemente: cuadrilátero con diagonales perpendiculares. En contraste, una definición partitiva del mismo excluiría a los papalotes añadiendo que los dos pares de lados adyacentes no sean iguales.
Figura 4
Podemos especializar también los conceptos de cuadrilátero cíclico[5] y papalote (convexo) para producir un nuevo concepto, digamos un papalote recto, demandando que así sea su intersección (es decir, que tenga las propiedades de ambos) (ver la Figura 5). Como antes, uno podría ahora añadir más condiciones a los cuadriláteros cíclicos (es decir, los dos pares de lados adyacentes no pueden ser iguales) y los papalotes (es decir, no puede ser cíclico), si uno quisiera excluir (hacer la partición) los papalotes rectos de los cuadriláteros cíclicos y papalotes.Figura 4
Figura 5
Algunas funciones importantes de la clasificación jerárquica
Esto nos lleva finalmente al foco principal de este artículo, a saber, ¿cuál es el valor o la función de la clasificación jerárquica? Algunas de sus funciones más importantes son:
· Lleva a definiciones de los conceptos y a formulaciones de teoremas más económicas.
· Simplifica la sistematización deductiva y la derivación de propiedades de conceptos más especiales.
· Provee un esquema conceptual útil durante la resolución de problemas.
· Algunas veces sugiere definiciones alternativas y nuevas proposiciones.
· Provee una perspectiva global útil.
Cada una de éstas será discutida con mayor detalle ahora.
Definiciones y formulaciones de teoremas económicas
La economía de la definición y de la formulación de teoremas es probablemente una de las ventajas más importantes de una clasificación jerárquica. Como hemos visto anteriormente con los paralelogramos, una definición jerárquica es más corta que una partitiva la cual tiene que incluir propiedades adicionales para excluir al rombo, a los cuadrados y a los rectángulos. Como otro ejemplo considérese la definición partitiva de un trapecio isósceles (ver Figura 6).
Una definición jerárquica que incluye a los rectángulos (y cuadrados) como casos especiales podría, por ejemplo, decir que [un trapecio isósceles] es cualquier cuadrilátero con (al menos) un eje de simetría que pasa por un par de lados opuestos. (Nótese que entonces es necesaria la partición del trapecio isósceles en convexos y cruzados[6]). Por otro lado, una definición partitiva [de los trapecios isósceles], que excluye los rectángulos y cuadrados, tendría que incluir la condición adicional de que [el trapecio isósceles] no puede tener ángulos rectos.
Figura 6
A menudo también, una clasificación partitiva hace la formulación de ciertos teoremas, torpe y engorrosa. Considérese, por ejemplo, las siguientes dos formulaciones de dos resultados conocidos desde una perspectiva partitiva:
Si los puntos medios E, F, G y H de los lados de un cuadrilátero ABCD se conectan consecutivamente, entonces EFGH es un paralelogramo, rectángulo, rombo o cuadrado[7].
El ángulo exterior de un cuadrilátero cíclico, un trapecio isósceles, un papalote recto, un rectángulo o un cuadrado, es igual al ángulo opuesto interior.
La simplificación de la sistematización deductiva
Al clasificar o (definir) un concepto A como un subconjunto (caso especial) de un concepto B, se hace innecesario repetir alguna de las pruebas o de las propiedades del concepto B para el concepto A, ya que son automáticamente implicadas de A por la inclusión jerárquica. Por ejemplo, si clasifico un rombo como un papalote, todos los teoremas que ya se conozcan para los papalotes se pueden aplicar al rombo (y a los cuadrados). En otras palabras, es innecesario probar, por ejemplo, que las diagonales de un rombo (y de un cuadrado) son perpendiculares, ya que ésta es una propiedad que ha sido fácilmente probada en los papalotes.
En contraste, si el rombo (y los cuadrados) van a ser excluidos de los papalotes, estrictamente hablando uno tiene que volver a probar que la propiedad anterior se cumple también en el caso de la definición elegida para el rombo (y los cuadrados), cualquiera que ésta sea. Por lo tanto, además de conseguir una definición o formulación económica, una clasificación jerárquica da lugar a un sistema deductivo económico.
Un esquema conceptual útil para la resolución de problemas
Una inclusión de clase jerárquica también es útil durante la resolución de problemas; en particular, para probar corolarios. Por ejemplo, supóngase que uno quiere probar que un papalote con un par de lados opuestos paralelos es un rombo. Usando la perspectiva de la clasificación jerárquica, en la que los rombos están en la intersección de los papalotes y los paralelogramos, es suficiente, por lo tanto, probar que la figura es un paralelogramo, ya que cualquier papalote con ambos pares de lados paralelos debe ser un rombo.
Otro ejemplo particularmente ilustrativo involucra el Teorema de Von Aubel y un caso especial de éste. El Teorema de Von Aubel establece que si se construyen cuadrados sobre los lados de cualquier cuadrilátero, entonces los segmentos de línea que conectan los centros de cuadrados construidos sobre lados opuestos son iguales y perpendiculares. (Una prueba la da Yaglom, 1962: 95-96). Un caso especial e interesante es que si los cuadrados son construidos en los lados de un paralelogramo, entonces los centros de estos cuadrados también forman un cuadrado (ver Figura 7). A pesar de que hay muchas maneras diferentes de probar el caso especial, una forma elegante que utiliza la clasificación jerárquica es, simplemente, mostrar que el cuadrilátero EFGH es un paralelogramo, ya que un cuadrado es el único paralelogramo con diagonales iguales y perpendiculares (esto último se sigue directamente de Von Aubel).
Figura 7
Definiciones alternativas y nuevas proposiciones
La consideración de una relación jerárquica entre conceptos algunas veces sugiere definiciones alternativas y nuevas proposiciones. Si por ejemplo, el concepto A es la intersección de otros dos conceptos B y C, entonces obviamente debe poseer las propiedades de ambos conceptos B y C. Entonces considerando varios subconjuntos del conjunto total de las propiedades del concepto A, pueden ser sugeridas definiciones alternativas de él o nuevas proposiciones.
Por ejemplo, como un trapecio isósceles es cíclico, el trapecio isósceles puede ser considerado como la intersección entre los trapecios y los cuadriláteros cíclicos. Entonces, esto sugiere inminentemente que un cuadrilátero cíclico con al menos un par de lados opuestos paralelos debe ser un trapecio isósceles (ver Figura 8a).
Figura 8
Similarmente, dado que las diagonales de un trapecio isósceles son iguales, la siguiente definición alternativa (o proposición) para los trapecios isósceles se sugiere:
Un trapecio isósceles es un cuadrilátero cíclico con diagonales iguales (ver Figura 8b).
Tener en mente la clasificación jerárquica permite también, algunas veces, la generalización de ciertos resultados. Supongamos, por ejemplo, que accidentalmente descubrimos por experimentación que si conectamos los centros de cuadrados en los lados de cualquier triángulo a los vértices opuestos del triángulo, entonces estos tres segmentos son concurrentes (Figura 9a). Como todos los cuadrados son semejantes, y son rectángulos especiales, uno puede conjeturar que el mismo resultado debe suceder para rectángulos semejantes, como se muestra en la Figura 9b. (Una prueba del resultado en el que esto está basado y una generalización más se dan en De Villiers, [1989].) Similarmente, en la Figura 7, conectando los centros (u otros puntos correspondientes) de (cualquier) figura semejante en los lados del paralelogramo base, producen un paralelogramo.
Una perspectiva global útil
La clasificación jerárquica provee una perspectiva global útil que puede llevar a una perspectiva más cohesiva sobre las relaciones subyacentes entre conceptos y por lo tanto a una mejor retención. Además, es estéticamente placentera e iluminadora para percibir cómo varias intersecciones entre varios conceptos más generales producen las propiedades de conceptos más especiales.
Por ejemplo, dado que los rombos son la intersección entre los papalotes y los paralelogramos, se sigue inmediatamente de las propiedades de las diagonales de los papalotes y de los paralelogramos que las diagonales de un rombo son perpendiculares y se bisecan una a la otra.
Similarmente, dado que los rectángulos son la intersección entre los paralelogramos y los trapecios isósceles, se sigue inmediatamente que un rectángulo debe tener ángulos opuestos iguales (propiedad de los paralelogramos) así como ángulos adyacentes iguales (propiedad de los trapecios isósceles), de lo cual obtenemos la propiedad conocida de que todos sus ángulos son iguales. De la misma manera, los rectángulos heredan diagonales iguales del trapecio isósceles, y la bisección de las diagonales de los paralelogramos.
9a
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9b
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Figura 9
Algunos comentarios breves con vista a la enseñanza de la clasificación jerárquica de los cuadriláteros
Desafortunadamente, muchos maestros y autores de libros de texto aún parecen mantener la perspectiva de que solamente la clasificación convencional jerárquica es aceptable matemáticamente, mientras que una clasificación partitiva es ilógica matemáticamente y por lo tanto inaceptable. Sin embargo, como se ha señalado en este artículo, una clasificación partitiva es igualmente aceptable y usada frecuentemente en matemáticas. La única razón para la preferencia convencional por la clasificación jerárquica de cuadriláteros radica en su gran funcionalidad, como se ha señalado anteriormente. Sin embargo, muchos libros de texto y maestros ignoran completamente la discusión sobre este aspecto fundamental, simplemente imponen una clasificación y definiciones jerárquicas en sus estudiantes, para quienes esto tiene muy poco o ningún entendimiento funcional.
Muchos estudios sobre la teoría de Van Hiele, en años pasados, han mostrado claramente que muchos estudiantes tienen problemas con la clasificación jerárquica de los cuadriláteros [por ejemplo, Mayberry, 1981; Usiskin 1982; Burger y Shaughnessy, 1986; Fuys, Geddes y Tischler, 1988]. La investigación del autor y de varios de sus estudiantes [por ejemplo, Malan, 1986; De Villiers y Njisane, 1987; Smith, 1989; De Villiers, 1987, 1990] ha indicado aún más, que la dificultad de muchos niños (especialmente niños más grandes) con la inclusión de clases jerárquica no radica necesariamente en la lógica de inclusión por sí misma, sino en el significado de la actividad, tanto lingüística como funcionalmente: lingüística en el sentido de interpretar correctamente el lenguaje usado para las inclusiones de clase, y funcional en el sentido de entender por qué es más útil ésta que una clasificación partitiva.
En los niveles 1 (Visualización) y 2 de Van Hiele (Exploración) el uso de micro mundos de computadora como Logo Geometry (por ejemplo, ver Battista y Clements, 1992), o un programa de geometría dinámico como Cabri o Sketchpad, ofrecen gran potencial para habilitar conceptualmente a muchos niños para que vean y acepten la posibilidad de las inclusiones jerárquicas (por ejemplo, dejando que los niños construyan un cuadrado con un procedimiento de rectángulo en Logo, o dejando que ellos arrastren los vértices de un paralelogramo dinámico en Cabri o Sketchpad para transformarlo en un rectángulo, rombo o cuadrado).
Para que una clasificación jerárquica de los cuadriláteros sea significativa para los estudiantes a un nivel 3 de Van Hiele (ordenamiento) es, sin embargo, esencial que lingüístico haya tenido lugar una apropiación negociada del significado. En entrevistas hechas a niños individualmente y en contextos de salón de clase, el autor ha encontrado, por ejemplo, que muchos tienen dificultad con el significado de la palabra “es” en un enunciado, por ejemplo, “un cuadrado es un rectángulo”. Ellos parece que lo interpretan como un cuadrado “es equivalente a” o “es lo mismo que” un rectángulo y por lo tanto (de manera correcta) rechazan el enunciado como ridículo o falso. Usando el adjetivo “especial”, por ejemplo: “un cuadrado es un rectángulo especial”, ha ayudado a muchos estudiantes a darse cuenta de que lo que realmente quiere decirse es que uno es subconjunto del otro. También ha sido útil hacer referencias a casos análogos cotidianos o a otras situaciones matemáticas, en donde un objeto puede ser visto como un conjunto especial de uno más grande y por lo tanto tener dos “nombres” diferentes (por ejemplo, “un mamífero es un vertebrado” y “un caballo es un mamífero y un vertebrado”).
En segundo lugar, en el nivel 3 de Van Hiele es absolutamente vital que tenga lugar una negociación de significado funcional; esto es, que se den oportunidades suficientes y actividades apropiadas para discutir el valor o la función de la clasificación jerárquica. El autor, por ejemplo, ha encontrado muy útil el permitir a los estudiantes que primero formulen, comparen y elijan sus propias definiciones y clasificaciones de los cuadrados, rectángulos y rombos; muchos de ellos prefieren espontáneamente la partición. Al retar consistentemente a estos estudiantes para que continúen formulando definiciones para cuadriláteros más y más generales, y comparándolos entonces con las alternativas jerárquicas, ellos pronto empiezan a darse cuenta y a apreciar la economía de esta última. Al insistir simultáneamente en que ellos prueben todas las propiedades de los cuadriláteros partidos en subconjuntos y pedirles que críticamente comparen su sistema de definiciones con un sistema deductivo basado en la clasificación jerárquica, la mayoría de los estudiantes gradualmente ven la conveniencia de una inclusión jerárquica y hacen una transición hacia ella.
La idea de que a los estudiantes no debe dárseles definiciones y clasificaciones ya hechas, sino que activamente participen en el proceso de definir y clasificar, y críticamente comparen las alternativas, es respaldada fuertemente por la epistemología constructivista y la teoría del aprendizaje. En lugar de simplemente ignorar o despreciar la clasificación partitiva de los cuadriláteros hecha por los niños, debemos de tomarla con más empatía, y reconocer que su aproximación es un intento racional y significativo para dar sentido. Es entonces alarmante ver como muchos maestros, e incluso investigadores, simplemente respaldan el constructivismo de dientes para afuera (es decir, profesan el reconocimiento de la autonomía de los niños al aprender y construir matemáticas, pero cuando se trata de la clasificación de cuadriláteros no lo aplican para nada).
Actividad para después de la lectura
1. Revise sus respuestas a las preguntas de la actividad anterior a la lectura. ¿Qué cambiaría? Escriba sus nuevas respuestas, si las hay, a la luz de lo que leyó.
2. Explique con sus propias palabras, las ventajas de utilizar una clasificación jerárquica para los cuadriláteros.
- ¿Qué función cree usted que tiene la clasificación de objetos matemáticos, en general, y de cuadriláteros, en particular?
4. Escriba un párrafo explicando el entendimiento funcional de algún contenido o proceso matemático que se enseñe en la escuela y contraste con el acercamiento didáctico usual con el que se trata dicho contenido o proceso matemático.
[1] Se refiere a los estándares que aparecen en el documento: “Curricular & Evaluation Standards for Mathematics Education” (Estándares curriculares y de evaluación para la educación matemática) publicado por el Consejo Nacional de Maestros de Matemáticas (NCTM por sus siglas en inglés) de los E.U.A. Los estándares 7 a 10 de los grados 9° a 12° (3° de secundaria a 3° de bachillerato en México) a los que se refiere el autor son: la geometría desde una perspectiva sintética, la geometría desde una perspectiva algebraica, la trigonometría y la estadística.
[2] Un grupo es una estructura matemática que se estudia en las clases de álgebra en niveles universitarios de educación. Si el lector quiere conocer un poco más sobre el tema puede revisar algún libro de álgebra superior.
[3] Nuevamente, el autor hace referencia a conocimientos matemáticos de nivel superior que si son del interés del lector pueden ser consultados en libros de álgebra superior.
[4] El libro de Wentworth también se consigue fácilmente en México, por ejemplo en bibliotecas de facultades de ciencias e ingeniería.
[5] Un cuadrilátero cíclico es aquel que se puede inscribir en un círculo, esto es, uno que tiene sus cuatro vértices sobre un mismo círculo.
[6] A lo que se refiere el autor es a que, observando los trapecios isósceles de la Figura 6, el del lado izquierdo tiene un eje de simetría que cruza solamente dos lados del trapecio, mientras que en el caso del trapecio cruzado (que aparece al lado derecho) el eje de simetría cruza los cuatro lados (el punto medio de los lados opuestos paralelos y el punto de cruce de los otros dos).
[7] Si la definición es jerárquica, este teorema sólo dice: “Si los puntos medios E, F, G y H de los lados de un cuadrilátero ABCD se conectan consecutivamente, entonces EFGH es un paralelogramo”. En el ejemplo siguiente ocurre algo similar: “El ángulo exterior de un cuadrilátero cíclico es igual al ángulo opuesto interior”.
Algunos comentarios breves con vista a la enseñanza de la clasificación jerárquica de los cuadriláteros
Desafortunadamente, muchos maestros y autores de libros de texto aún parecen mantener la perspectiva de que solamente la clasificación convencional jerárquica es aceptable matemáticamente, mientras que una clasificación partitiva es ilógica matemáticamente y por lo tanto inaceptable. Sin embargo, como se ha señalado en este artículo, una clasificación partitiva es igualmente aceptable y usada frecuentemente en matemáticas. La única razón para la preferencia convencional por la clasificación jerárquica de cuadriláteros radica en su gran funcionalidad, como se ha señalado anteriormente. Sin embargo, muchos libros de texto y maestros ignoran completamente la discusión sobre este aspecto fundamental, simplemente imponen una clasificación y definiciones jerárquicas en sus estudiantes, para quienes esto tiene muy poco o ningún entendimiento funcional.
Muchos estudios sobre la teoría de Van Hiele, en años pasados, han mostrado claramente que muchos estudiantes tienen problemas con la clasificación jerárquica de los cuadriláteros [por ejemplo, Mayberry, 1981; Usiskin 1982; Burger y Shaughnessy, 1986; Fuys, Geddes y Tischler, 1988]. La investigación del autor y de varios de sus estudiantes [por ejemplo, Malan, 1986; De Villiers y Njisane, 1987; Smith, 1989; De Villiers, 1987, 1990] ha indicado aún más, que la dificultad de muchos niños (especialmente niños más grandes) con la inclusión de clases jerárquica no radica necesariamente en la lógica de inclusión por sí misma, sino en el significado de la actividad, tanto lingüística como funcionalmente: lingüística en el sentido de interpretar correctamente el lenguaje usado para las inclusiones de clase, y funcional en el sentido de entender por qué es más útil ésta que una clasificación partitiva.
En los niveles 1 (Visualización) y 2 de Van Hiele (Exploración) el uso de micro mundos de computadora como Logo Geometry (por ejemplo, ver Battista y Clements, 1992), o un programa de geometría dinámico como Cabri o Sketchpad, ofrecen gran potencial para habilitar conceptualmente a muchos niños para que vean y acepten la posibilidad de las inclusiones jerárquicas (por ejemplo, dejando que los niños construyan un cuadrado con un procedimiento de rectángulo en Logo, o dejando que ellos arrastren los vértices de un paralelogramo dinámico en Cabri o Sketchpad para transformarlo en un rectángulo, rombo o cuadrado).
Para que una clasificación jerárquica de los cuadriláteros sea significativa para los estudiantes a un nivel 3 de Van Hiele (ordenamiento) es, sin embargo, esencial que lingüístico haya tenido lugar una apropiación negociada del significado. En entrevistas hechas a niños individualmente y en contextos de salón de clase, el autor ha encontrado, por ejemplo, que muchos tienen dificultad con el significado de la palabra “es” en un enunciado, por ejemplo, “un cuadrado es un rectángulo”. Ellos parece que lo interpretan como un cuadrado “es equivalente a” o “es lo mismo que” un rectángulo y por lo tanto (de manera correcta) rechazan el enunciado como ridículo o falso. Usando el adjetivo “especial”, por ejemplo: “un cuadrado es un rectángulo especial”, ha ayudado a muchos estudiantes a darse cuenta de que lo que realmente quiere decirse es que uno es subconjunto del otro. También ha sido útil hacer referencias a casos análogos cotidianos o a otras situaciones matemáticas, en donde un objeto puede ser visto como un conjunto especial de uno más grande y por lo tanto tener dos “nombres” diferentes (por ejemplo, “un mamífero es un vertebrado” y “un caballo es un mamífero y un vertebrado”).
En segundo lugar, en el nivel 3 de Van Hiele es absolutamente vital que tenga lugar una negociación de significado funcional; esto es, que se den oportunidades suficientes y actividades apropiadas para discutir el valor o la función de la clasificación jerárquica. El autor, por ejemplo, ha encontrado muy útil el permitir a los estudiantes que primero formulen, comparen y elijan sus propias definiciones y clasificaciones de los cuadrados, rectángulos y rombos; muchos de ellos prefieren espontáneamente la partición. Al retar consistentemente a estos estudiantes para que continúen formulando definiciones para cuadriláteros más y más generales, y comparándolos entonces con las alternativas jerárquicas, ellos pronto empiezan a darse cuenta y a apreciar la economía de esta última. Al insistir simultáneamente en que ellos prueben todas las propiedades de los cuadriláteros partidos en subconjuntos y pedirles que críticamente comparen su sistema de definiciones con un sistema deductivo basado en la clasificación jerárquica, la mayoría de los estudiantes gradualmente ven la conveniencia de una inclusión jerárquica y hacen una transición hacia ella.
La idea de que a los estudiantes no debe dárseles definiciones y clasificaciones ya hechas, sino que activamente participen en el proceso de definir y clasificar, y críticamente comparen las alternativas, es respaldada fuertemente por la epistemología constructivista y la teoría del aprendizaje. En lugar de simplemente ignorar o despreciar la clasificación partitiva de los cuadriláteros hecha por los niños, debemos de tomarla con más empatía, y reconocer que su aproximación es un intento racional y significativo para dar sentido. Es entonces alarmante ver como muchos maestros, e incluso investigadores, simplemente respaldan el constructivismo de dientes para afuera (es decir, profesan el reconocimiento de la autonomía de los niños al aprender y construir matemáticas, pero cuando se trata de la clasificación de cuadriláteros no lo aplican para nada).
Actividad para después de la lectura
1. Revise sus respuestas a las preguntas de la actividad anterior a la lectura. ¿Qué cambiaría? Escriba sus nuevas respuestas, si las hay, a la luz de lo que leyó.
2. Explique con sus propias palabras, las ventajas de utilizar una clasificación jerárquica para los cuadriláteros.
- ¿Qué función cree usted que tiene la clasificación de objetos matemáticos, en general, y de cuadriláteros, en particular?
4. Escriba un párrafo explicando el entendimiento funcional de algún contenido o proceso matemático que se enseñe en la escuela y contraste con el acercamiento didáctico usual con el que se trata dicho contenido o proceso matemático.
[1] Se refiere a los estándares que aparecen en el documento: “Curricular & Evaluation Standards for Mathematics Education” (Estándares curriculares y de evaluación para la educación matemática) publicado por el Consejo Nacional de Maestros de Matemáticas (NCTM por sus siglas en inglés) de los E.U.A. Los estándares 7 a 10 de los grados 9° a 12° (3° de secundaria a 3° de bachillerato en México) a los que se refiere el autor son: la geometría desde una perspectiva sintética, la geometría desde una perspectiva algebraica, la trigonometría y la estadística.
[2] Un grupo es una estructura matemática que se estudia en las clases de álgebra en niveles universitarios de educación. Si el lector quiere conocer un poco más sobre el tema puede revisar algún libro de álgebra superior.
[3] Nuevamente, el autor hace referencia a conocimientos matemáticos de nivel superior que si son del interés del lector pueden ser consultados en libros de álgebra superior.
[4] El libro de Wentworth también se consigue fácilmente en México, por ejemplo en bibliotecas de facultades de ciencias e ingeniería.
[5] Un cuadrilátero cíclico es aquel que se puede inscribir en un círculo, esto es, uno que tiene sus cuatro vértices sobre un mismo círculo.
[6] A lo que se refiere el autor es a que, observando los trapecios isósceles de la Figura 6, el del lado izquierdo tiene un eje de simetría que cruza solamente dos lados del trapecio, mientras que en el caso del trapecio cruzado (que aparece al lado derecho) el eje de simetría cruza los cuatro lados (el punto medio de los lados opuestos paralelos y el punto de cruce de los otros dos).
[7] Si la definición es jerárquica, este teorema sólo dice: “Si los puntos medios E, F, G y H de los lados de un cuadrilátero ABCD se conectan consecutivamente, entonces EFGH es un paralelogramo”. En el ejemplo siguiente ocurre algo similar: “El ángulo exterior de un cuadrilátero cíclico es igual al ángulo opuesto interior”.
