Potari, Despina & Spiliotopoulou, Vassiliki (1996) Children’s Approaches to the Concept of Volume. Science Education 80(3): 341-360.
Introducción al capítulo
Este capítulo versa sobre el concepto de volumen. Cualquiera que desee adentrarse en este concepto, desde las matemáticas, muy pronto se dará cuenta de que el concepto está muy relacionado con la física y que es difícil delimitarlo.
Algunos investigadores de la educación matemática y científica han cuestionado la separación en los planes de estudio de estas materias. La física y otras ciencias dan mucho sentido a muchos de los conceptos que se estudian en las matemáticas.
Los niños participantes en este estudio son niños de 11 años, están entre quinto y sexto grado de primaria.
El artículo ha sido incluido en esta antología porque cubre y completa otros estudios como los de Piaget y los de Ricco y Vergnaud, a los cuales las mismas autoras hacen referencia.
El volumen es un concepto complejo, este artículo muestra parte de esta complejidad, pero también muestra algunas actividades que pueden ayudar a los estudiantes a ir construyendo un objeto mental volumen más rico y que se aproxima más al concepto matemático.
Actividad anterior a la lectura
Antes de leer este capítulo responda por escrito a las siguientes preguntas.
- ¿Qué es el volumen para usted?
- Si le presentan una copa de cristal, describa lo que entiende por volumen de la copa.
- Si le presentan una copa de cristal llena de agua, describa lo que entiende por volumen de la copa.
- Cuando se sumerge un objeto en agua, el nivel del líquido sube. ¿A qué se debe esto? Si mide la diferencia entre antes y después de sumergir el objeto ¿qué cualidad del objeto estaría midiendo?
Acercamientos de los Niños al Concepto de Volumen
Despina Potari y Vassiliki Spiliotopoulou
INTRODUCCIÓN
Se han presentado una gran cantidad de razones para dar apoyo a la integración de las ciencias y las matemáticas (Mcbride & Silverman, 1991). Esto no es una idea nueva en la enseñanza y las recomendaciones en esta dirección continúan hasta el presente. Más aún, los beneficios de la interacción entre los investigadores en la enseñanza de las ciencias y de las matemáticas han sido reconocidos (Novak, 1987).
Sin embargo, es limitada la cantidad de investigación acerca de las ideas de los niños sobre conceptos que son usados tanto en matemáticas como en ciencias. Tal investigación es vista como crucial para la identificación de las concepciones de los niños, ya que se dan diferentes significados aun de un mismo concepto en cada disciplina. Como resultado, estos significados no se les hacen evidentes a los niños evitando que ellos apliquen los conceptos de manera coherente.
Como Hughes y Rogers (1979) han señalado, la mayor parte de la investigación acerca del concepto de volumen tiene que ver exclusivamente con la idea de conservación y muy pocos investigadores examinan la habilidad de los niños para medir volúmenes o para trabajar actividades prácticas en sus mentes. Rowell y Dawson (1981) consideraron la conservación del concepto de volumen a través de tres etapas de la materia y enfatizaron la necesidad de una pluralidad de ideas no evidentes a los niños y relacionadas con un concepto maduro de volumen.
Otro campo de investigación se enfoca en la interrelación entre el concepto de volumen con otros conceptos. Bilbo y Milkent (1978) han examinado la adquisición del concepto de volumen en relación con los conceptos de área y longitud. Piaget (1950), comentando sobre el trabajo de Inhelder, ha afirmado que el concepto de volumen también está relacionado con los conceptos de sustancia y peso.
Otros investigadores han estudiado aspectos matemáticos del volumen. Las ideas de los niños relacionadas con la medición, estimación y cálculo del volumen han sido investigadas por Ricco et al. (1983). En la misma investigación, las explicaciones verbales de los niños a la pregunta “¿Qué es volumen?” han sido examinadas. Las concepciones sobre el volumen de estudiantes para maestro de educación básica han sido consideradas por Enochs y Gabel (1984). Tanto en ésta como en la investigación más reciente (Hart, 1989) fueron estudiados algunos problemas con el uso de fórmulas.
Algunos aspectos sobre la enseñanza del volumen han sido considerados por Howe y Shayer (1981) quienes usaron tareas piagetianas para explorar el efecto sobre la experiencia de los niños de incrementar su entendimiento de los conceptos de volumen y densidad. Klopfer et al. (1992) considera al concepto de volumen junto con los de masa, peso y densidad como centrales para las ciencias físicas. Ellos observan las estructuras de razonamiento de los estudiantes y el conocimiento especifico necesario para entender el concepto de volumen, pero enfatizan que el elemento esencial para que los estudiantes lleguen a conclusiones correctas es desarrollar el conocimiento base necesario para el tema de interés. Esto también es enfatizado en sus sugerencias para el diseño de enseñanza. En la escuela primaria, sin embargo, es difícil decidir si los problemas de los niños con el concepto de volumen se deben a deficiencias en sus conocimientos o a la ausencia de una estructura lógica.
Este estudio explora las concepciones de los niños de primaria acerca del volumen a través de una cantidad de tareas diferentes. Las concepciones son investigadas a través de una serie de comparaciones entre diferentes objetos. El énfasis es puesto, no tanto en las características cuantitativas del concepto como el uso de formulas y la medición, ni en la conservación. Nosotros nos enfocamos en las concepciones alternativas de los niños y en cómo estas son expresadas cuando las propiedades físicas o geométricas de los objetos son variadas. De acuerdo con Glassersfeld (1987) para referirse a cualquier construcción interna se utilizará el término “concepción”, mientras que el término concepto es usado para aquella concepción que ha sido aceptada por una comunidad. Las concepciones se producen internamente y siempre están construidas de elementos que el sujeto que experimenta ya conoce, así que algunas pueden ser nuevas combinaciones. Estas son consideradas, archivadas o descartadas de acuerdo con su utilidad y aplicabilidad en contextos experimentales. Las concepciones de los niños pueden ser resultado de la experiencia diaria o de la experiencia escolar. Poniendo atención en la experiencia escolar en las escuelas primarias de Grecia, el volumen tiene un acercamiento separado en matemáticas y en ciencias. Los libros de matemáticas contienen pocas y cortas referencias al volumen, enfatizando las unidades estándares y el cálculo. En los libros de ciencia, el volumen es tratado como un concepto básico conocido cuando las propiedades de los cuerpos son enseñadas o como parte de la enseñanza del principio de Arquímedes. En ambos temas el concepto de volumen por si mismo no es considerado a profundidad y tiene un acercamiento de manera fragmentada. Howe y Shayer (1981) establecen que “la estructura es construida como resultado de una experiencia y la manera y el grado en que tal experiencia es asimilada está determinado por la estructura que existía anteriormente” así que es importante considerar lo que ya existe en la mente de los niños antes de planear la enseñanza. Aquí, exploramos las concepciones de los niños sobre el volumen independientemente de sus fuentes.
Gilbert y Watts (1983) afirman que las concepciones son accedidas por las acciones (lingüísticas y no lingüísticas, verbales y no verbales) de las personas, a menudo en respuesta a cuestiones particulares. Ellos también argumentan que generalizar más allá de lo individual es construir grupos de respuestas que son construidas como poseedoras de significados intencionalmente semejantes. Esto es, para construir una categoría de respuestas comúnmente en un contexto de una, o un conjunto específico de preguntas. Basamos nuestro estudio en estas premisas e intentamos explorar las concepciones de los niños con base en sus respuestas verbales o escritas a preguntas directas, pero también a sus justificaciones y estrategias en los procesos de comparación. Para nosotros las categorías emergieron de una concepción común en una tarea particular, también estábamos interesados en buscar patrones comunes de estas categorías a través de diferentes tareas. Clough y Driver (1986) argumentan que el uso de las mismas ideas intuitivas a través de contextos diferentes, pero que los científicos construyen como semejantes, podría ofrecer algún apoyo para la validez de los marcos de referencia de los estudiantes como maneras de pensar disponibles comúnmente.
Los temas particulares que este estudio trata son los siguientes:
- ¿Existe acuerdo en las concepciones de los niños sobre el volumen en diferentes tareas? y si es así, ¿qué categorías se pueden identificar?
- ¿Hasta qué grado son alcanzadas las mismas categorías de concepciones en las diferentes tareas?
- ¿Qué clase de argumentos dan los niños en sus respuestas? ¿Existen algunos patrones identificables?
- ¿Cómo puede ser formulada una descripción general en relación con los acercamientos de los niños al concepto de volumen?
- ¿Cuáles son las implicaciones para la enseñanza del concepto de volumen?
DESCRIPCIÓN DE LOS PROCESOS
Dos grupos de 5º (11 años) grado de una escuela primaria en Patras, Grecia, participaron en el estudio. Treinta y ocho niños respondieron a seis tareas escritas. Las tareas eran administradas en el mismo orden a cada niño. Toda la actividad duró 90 minutos. En la mayoría de las tareas los materiales usados fueron mostrados a los niños y se les permitía que los tomaran y los examinaran libremente. Después de que completaron las tareas, en una discusión general de clase los niños investigaron otra tarea. Esta daba a los niños la oportunidad de expresar sus ideas verbalmente. También nos ayudó a explorar más aún los significados de los niños a través de sus estrategias.
PRESENTACIÓN DE LAS TAREAS
Piaget distingue entre “volumen interior” donde el espacio esta confinado entre fronteras (por ejemplo, una caja) y “volumen ocupado” donde el volumen en cuestión se ve en relación con otros objetos del mundo a su alrededor. Hart (1981) sugiere que el volumen puede ser visto como: (1) la cantidad que ocupa un contenedor; (2) el número de unidades que cuando se ponen juntas dan la misma configuración que el contenedor y (3) el desplazamiento causado al poner un objeto en líquido. En el currículum escolar el volumen interior usualmente se expresa con el término “capacidad”. Esto está más conectado a la práctica de los problemas cotidianos. Por otro lado, el volumen desplazado es el volumen ocupado cuando el objeto se pone en un líquido. Esto puede estar relacionado con los volúmenes físicos de que Piaget y Inhelder (1974) han examinado. En el caso de un objeto cerrado y hueco el volumen ocupado difiere del volumen que su material ocupa. La dimensión geométrica del volumen enfatiza aspectos como la medición y considera los objetos sin sus características físicas. Klopfer et al., (1992) también analizan los significados múltiples del volumen y consideran que la naturaleza de la sustancia juega un papel en los acercamientos de los niños al volumen. Estas consideraciones diferentes del concepto del volumen no son discriminadas ni en los libros de texto, ni en las discusiones de los maestros con los alumnos.
Las tareas fueron desarrolladas para poner a prueba el entendimiento de los niños sobre el volumen haciendo referencia a objetos cuando alguna de sus características era variada en situaciones de naturaleza diferente.
TAREA 1
El dibujo de dos copas, una vacía y una llena con agua, se presenta a los niños. En ambos casos se les pregunta “¿A que le llamarías tú volumen de la copa?” (Fig. 1)
Esta tarea tenía como objetivo dilucidar concepciones individuales del volumen y cómo éstas se ven afectadas por la forma particular de la copa, así como por la existencia del agua. En este caso el volumen del material es el mismo que ocupa el cristal, mientras que la capacidad es diferente. En el volumen geométrico, las características como la abertura y el grueso del vidrio son ignorados, y se le ve como un objeto cerrado. La capacidad del vaso lleno es la misma que el volumen del agua. El agua se considera un distractor y esto podría dar alguna indicación de la estabilidad de las concepciones sostenidas.
En la descripción de arriba, “copa”[1] se refiere al contenedor. Más adelante en este artículo, el significado de la palabra “cristal” como material será indicado cuando ocurre. En el lenguaje griego, hay dos palabras diferentes para expresar los dos significados.
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En el cuadro en la izquierda puedes ver una copa. ¿A qué le llamarías volumen de la copa?
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En el cuadro en la izquierda puedes ver una copa con agua. ¿A qué le llamarías volumen de la copa?
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Figura 1. Tarea 1
TAREA 2 – TAREA 3 – TAREA 4
Todas estas tareas fueron desarrolladas para poner a prueba las ideas de los niños sobre el volumen a través de la comparación de diferentes objetos. Mas aún, a ellos se les pidió justificar sus respuestas para ‘persuadir a un amigo de que son correctas’. En la tarea 2, un cilindro sólido de madera y uno hueco de plástico se les presentaron , En la tarea 3, un cubo sólido de madera y uno hueco se les presentaron también. En ambas tareas, se les dejó claro que las parejas de objetos eran hechas del mismo molde. En la tarea 4, dos vasos idénticos de plástico se les presentaron, uno abierto y uno con una tapa. Una descripción exacta de las tareas se expone en la Figura 2.
En las dos primeras tareas, los pares tenían la misma forma pero estaban hechos de diferente material. Además de esto, un objeto[2] de cada pareja era sólido y el otro hueco. Para los objetos sólidos el volumen ocupado, el volumen de material y el volumen geométrico se consideran idénticos, mientras que la capacidad no tiene significado. Para los objetos cerrados y huecos el volumen ocupado es idéntico al geométrico, mientras que el volumen de material es diferente. Las tareas 2 y 3 difieren en la forma de los objetos. La última tarea fue diseñada para rebelar el efecto de que el objeto esté abierto. En el vaso abierto el volumen ocupado es el mismo que el volumen del material, mientras que en el cerrado el volumen ocupado y el geométrico son lo mismo.
El propósito de este grupo de tareas era identificar el papel de las características ya discutidas de los objetos sobre las concepciones de los niños. Más aún, el razonamiento de los niños brinda más evidencia sobre la manera en que los niños consideran al concepto de volumen.
TAREA 5
A los niños se les muestra un dibujo de dos recipientes llenos con agua hasta un orificio. Se les dice que predigan qué va a suceder si dos cubos hechos del mismo molde y materia, uno abierto y el otro cerrado, se sumergen uno en cada uno de los recipientes. Los niños tenían que marcar el nivel del agua que va a caer en dos recipientes más pequeños idénticos después de la inmersión (en la Figura 3).
El tema que queríamos explorar era cómo el volumen geométrico y el ocupado están relacionados cuando el medio de desplazamiento, el aire, ha sido reemplazado por un medio más aparente, el agua.
Tienes dos objetos. Los dos fueron hechos con el mismo molde, pero uno es de madera y el otro de plástico. El de plástico está hueco.
a) Compara el volumen de los dos objetos que ves.
b) Describe como convencerías a un amigo de que tu respuesta es correcta.
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Tienes dos cubos, uno de madera y otro de papel los dos fueron hechos del mismo molde, el cubo de papel esta vacío.
a) Compara el volumen de los dos cubos.
b) Describe como convencerías a un amigo de que tu respuesta es correcta.
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Tu tienes un frasco cerrado y otro frasco idéntico que está abierto
a) Compara el volumen de los dos frascos.
b) Escribe como convencerías a un amigo de que tu respuesta es correcta.
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Figura 2. Tarea 2 – Tarea 3 – Tarea 4
TAREA 6
Un problema de la vida real, en una forma escrita, se les dio a los niños. La historia se discutió en la clase también: la mamá de María y Yiannis no está hoy en casa. Los niños pensaron en darle una sorpresa. Ellos decidieron darle un regalo, una taza llena de pequeños chocolates. Mamá tiene muchas tazas muy bonitas. Los niños querían encontrar la más grande. ¿Los puedes ayudar? Afortunadamente, hay dos clases diferentes de chocolates pequeños en el refrigerador. Yiannis quiere elegir los más grandes, pero no fue fácil. ¿Tienes alguna sugerencia? En esta situación imaginaria –que estrictamente hablando no es una tarea– los niños necesitan hacer comparaciones en términos de capacidad y en términos de volumen ocupado. Los niños tratan con estos aspectos del volumen en una situación abierta y muy familiar. La naturaleza de esta actividad tiene como objetivo traer a la luz algunos otros acercamientos de los niños al concepto de volumen.
Tenemos dos contenedores idénticos con la misma cantidad de agua dentro. A un lado de cada contenedor hay una abertura de manera que cuando el nivel de agua sube, aunque sea un poquito, el agua se desparrama y se va por un tubito y cae en dos contenedores idénticos más pequeños. Vamos a sumergir dos cubos en los contenedores – en el primero un cubo que está completamente cerrado y en el segundo un cubo, hecho del mismo molde, el cual está abierto por una cara – de modo que queden completamente cubiertos por el agua.
¿Qué piensas qué pasará?
¿Pasarán idénticas cosas o diferentes en los dos casos?
¿Puedes explicar o demostrar tus ideas en el dibujo?
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Figura 3. Tarea 5
ANÁLISIS DE LAS RESPUESTAS DE LOS NIÑOS
- TAREA 1: EL CASO DE LA COPA.
Un abanico de concepciones del volumen apareció debido a la sustancia observable del vaso, su forma y el agua que se le añade. Estos caen en una de cinco categorías que se describen abajo:
a) El volumen es el espacio ocupado por el objeto.
b) El volumen es la capacidad del objeto. Esto ha sido expresado, ya sea en términos del volumen del material dentro del vaso, “es el volumen de aire dentro del vaso”, o en términos de la potencialidad del vaso para guardar una cantidad “el espacio que ocupa la cavidad del vaso” (expresión usada en ambos, el vaso vacío o lleno).
c) El volumen está relacionado con la sustancia material del objeto. A pesar de que las respuestas de los niños no siempre mostraban que ellos consideraban el volumen y el material idénticos, ellos reconocían una relación entre estos dos conceptos. Ejemplos de este tipo de respuestas son: “el vaso vacío es el volumen” y “como volumen del vaso yo me referiría al cristal (la sustancia material) que toma parte del aire”
d) El volumen está relacionado con las propiedades geométricas del objeto. Los niños, en esta categoría, adjudican al volumen características geométricas como la forma, el tamaño y las dimensiones del vaso. Esto se ejemplifica por lo siguiente: “el volumen del vaso es redondo y no suficientemente grande”; “el volumen parece una pirámide”; “yo pienso que está hablando de qué tan grande es el vaso”; “yo llamaría el volumen con la letra mayúscula ypsilon (Y)”.
e) No clasificadas. Algunas de las respuestas de los niños no pudieron ser clasificadas en ninguna de las categorías anteriores. El siguiente ejemplo muestra cómo una niña recuerda fenómenos que son irrelevantes a la pregunta y los usa en su respuesta. “Cuando uno sirve agua en un vaso y lo pone en el refrigerador, el agua se va a congelar y su volumen se va a hacer más grande y el vaso se va a romper y su volumen ya no puede ser más grande”. A pesar del hecho de que su respuesta muestra una conciencia del comportamiento de los materiales (el agua y el cristal) en relación con el volumen, fue difícil colocarla en alguna de las cuatro categorías anteriores.
Con respecto al vaso lleno con agua, concepciones de volumen similares fueron encontradas. A pesar de que se hacía la misma pregunta, varios niños tomaron en cuenta el agua que se añadía. Como resultado, algunos respondieron por el sistema agua-cristal mientras que otros por el agua: “el volumen es el espacio que ocupan el cristal y el agua [el espacio ocupado por el sistema]”; “el vaso completo y el agua es el volumen del vaso [la materia del sistema]” y “volumen es el líquido en el vaso [la naturaleza material del agua]”.
La cantidad de niños que fueron colocados en cada categoría, tanto en el caso del vaso vacío como en el del que está lleno con agua, se pueden ver en la figura 4, donde cada punto de las elipses representa la concepción de un niño. Cada elipse bajo el encabezado “vaso vacío” representa una categoría de concepciones mientras que las tres que corresponden a las elipses bajo el letrero “vaso lleno con agua” representan la misma categoría para los tres referentes cristal, cristal-agua, y agua, respectivamente. Cada línea en la Figura 4 muestra el efecto del agua en las concepciones individuales. Las elipses vacías muestran que ciertas categorías de concepciones no se alcanzan para algunos de los referentes. Para el caso de la categoría ‘capacidad’, la referencia al agua o al sistema agua-cristal probablemente no tenga ningún sentido. La presencia del agua parece haber afectado la respuesta de los niños. Más de la mitad de los niños ven al volumen del vaso relacionado con el agua o con el sistema cristal-agua. Un incremento notable en el número de niños que consideraron el volumen relacionado con el agua o con el sistema cristal-agua también es aparente. Las diferentes propiedades del aire y del agua pueden haber llevado a los niños a interpretar el volumen del vaso de diferentes maneras.
Al examinar los cambios individuales (en la Figura 4), nosotros notamos una consistencia en la expresión de los niños “el volumen es el espacio ocupado por” pero sin tener conciencia del referente. Por el otro lado, en la categoría de la capacidad la mayoría de los niños continúan sosteniendo el mismo significado para el volumen, pero lo expresan de manera diferente en términos del referente. Por ejemplo, el espacio ocupado por el agua es el mismo que la capacidad del vaso. Los niños que se colocan en la cuarta categoría relacionaron el volumen con varias propiedades diferentes del vaso. La falta de coherencia en las concepciones de este grupo puede explicar el esparcimiento que se observa.
B. TAREA 2 – TAREA 3 – TAREA 4
En estas tareas, las concepciones no fueron examinadas a través de las expresiones directas de los niños acerca de lo que el volumen es, si no, a través de las comparaciones y justificaciones. En la tabla 1 las categorías de concepciones de los niños reveladas por las tareas se muestran.
Dos nuevas categorías emergieron en las tareas 2 y 3: la consideración del volumen como el volumen de sustancia material y la concepción acerca de que el volumen está relacionado con el peso de los objetos. Estas fueron expresadas al concluir que el volumen del objeto hueco era el menor. Las justificaciones diversas de los niños dieron como resultado la aparición de estas dos categorías. Por ejemplo, un niño que veía el cilindro de madera como con mayor volumen que el de plástico explico su elección como sigue: “yo le diría que si hiciéramos una bola con el objeto de madera ésta sería más grande que la de plástico, debido a la cosa que está adentro que la bola de plástico no tiene”: Esta transformación indica la concepción del volumen del niño como el volumen de la sustancia material y también su familiaridad con la conservación. Otra explicación, donde la referencia a la masa por parte de un niño es explícita, es la siguiente: “el objeto sólido tiene más volumen porque tiene más masa”. En Grecia la palabra “masa” no sólo tiene significado científico, sino que también se usa para referirse a la materia o a la sustancia material de un objeto. Así, que cuando el niño habla sobre “masa” le atribuye el término de sustancia material.
En la categoría de volumen como espacio ocupado, los niños veían los dos objetos como si tuvieran el mismo volumen porque “estaban hechos del mismo molde, tenían la misma forma y el mismo volumen” y “ambos son lo mismo, ya que uno no cabe dentro del otro”. La última respuesta fue clarificada con un dibujo. El niño en la categoría de capacidad dijo que el volumen del objeto hueco era más grande dado que podía ser llenado.
Las repuestas catalogadas en la categoría “peso” a menudo usan el método para pesar como justificación: “ellos tienen la misma forma pero diferente peso. Yo los pesaría y descubriría que el objeto de madera es el más pesado”. Otra respuesta interesante está basada en la creencia común de que “la madera es más pesada que el papel” mientras que otra razón dada a menudo se basaba en la solidez del objeto.
Al examinar la consistencia de las concepciones a través de las actividades 2 y 3 no notamos ninguna diferencia particular. Esto también aparece en la Tabla 1. En particular, ni la naturaleza de la materia ni la forma afectaron las respuestas de los niños. Sin embargo, sus justificaciones de la misma tarea rebelan una apreciación de factores atribuidos a la naturaleza de la materia.
La naturaleza de la tarea 4 brinda diferentes significados a la categoría de “espacio ocupado” para los vasos de plástico cerrados y abiertos. Así, los niños que son catalogados en esta categoría ven a ambos vasos cerrados lo cual es una indicación del aspecto geométrico del volumen.
Figura 4. La influencia del agua en las concepciones de los niños
Esto es expresado por los niños, inicialmente, admitiendo que ambos vasos tienen el mismo volumen lo cual no se sostiene en reversa. Por ejemplo, algunos de los niños que dijeron que los dos objetos tienen el mismo volumen querían decir, ya sea que los objetos tenían la misma capacidad, como aparece en su justificación, “yo llenaría un vaso con agua y luego echaría el agua en el otro, para que mi amigo vea que ellos tiene el mismo volumen”, o bien ellos dicen que los objetos tienen el mismo peso. La existencia de la tapa jugó un papel en las respuestas de los niños y esto es aparente en algunas de sus justificaciones, “el vaso cerrado es mayor porque la tapa ocupa cierto volumen”.
TABLA 1
Concepciones de los niños en las tareas 2, 3 y 4.
Número de niños (N=38)
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Categorías
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Tarea 2
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Tarea 3
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Tarea4
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Espacio ocupado
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12
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15
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16
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Capacidad
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2
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2
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4
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El volumen de la sustancia materia
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9
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10
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5
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Peso
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11
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10
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8
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Clasificar
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4
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1
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5
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Las justificaciones de los niños. En todas las tareas anteriores los niños tienen que justificar sus selecciones para un amigo. Sus respuestas pueden ser analizadas de dos maneras: las concepciones de los niños y las maneras de razonar de los niños. En término de las concepciones de los niños, pedir a los niños que justifiquen sus respuestas no sólo les da la oportunidad de reflexionar sobre sus respuestas y clarificar sus ideas sino que también los ayuda a categorizar, y reflexionar sobre, estas concepciones. En términos de la manera de razonar de los niños se percibió que ésta es una característica de su manera de pensar y la comentamos separadamente. Las justificaciones de los niños no pueden ser consideradas ni como erróneas ni como correctas, ya que dependían de sus interpretaciones individuales sobre el volumen. En sus esfuerzos por justificar sus respuestas, los niños exhibieron acercamientos comunes que son clasificados y discutidos a continuación.
Una manera bastante primitiva de justificación que puede ser caracterizada como egocéntrica fue empleada por varios niños. Uno de ellos decía “yo le diré que yo estoy bien y que el está mal por lo que él hizo [en caso de que su amigo no esté de acuerdo con él]”
Algunos niños usan la tautología en sus argumentos repitiendo lo que han dicho para la comparación como una explicación. Otro grupo de niños, que basaron su justificación en características observables de los objetos, expresaron una actitud fenomenológica “yo les enseñaré los cubos para que ellos puedan verlos mejor”.
Algunas justificaciones más avanzadas fueron respaldadas por un experimento. La actividad más común que los niños sugirieron fue el uso de pesas para pesar los objetos, mientras que una interesante es “yo llenaría uno con agua luego lo vaciaría en el otro”: En otras maneras de razonar, los niños tomaron en cuenta las propiedades de los objetos ya sea las establecidas en la tarea o aquellas relacionadas con su experiencia personal. La mayoría de los niños usa un parámetro y su razonamiento, mientras que unos cuantos construyeron su punto de vista relacionando al menos dos parámetros. “Mi respuesta es correcta, ya que la madera es más pesada que el plástico” es un ejemplo de un razonamiento simple donde el parámetro del peso ha sido considerado. En otro caso una niña usó ambos, el peso y la solidez de los materiales para su argumento.
La mayoría de los niños usaron justificaciones similares a través de las tres tareas.
C. TAREA 5
En esta tarea, no es claro que todos los niños relacionen el agua desplazada con el volumen del objeto que fue sumergido. Sin embargo, a través de sus explicaciones, sus ideas implícitas del volumen fueron traídas a la luz. Así que comparando las respuestas de los niños en las tareas 4 y 5, notamos que, en la tarea 5, la mayoría de los niños consideraba los objetos cerrados como que ocupan más espacio que los abiertos. Esto significa que las características principales que diferencian esta tarea de la 4, el agua y los cambios anticipados asociados con la inmersión de los objetos en el agua, tienen un efecto significativo. Cuando los niños dicen que los cubos cerrados desplazan más agua que los abiertos, ellos tienden a considerar al volumen como el espacio ocupado. Esto, en el caso del objeto abierto, es el mismo que el volumen de la masa. Pocos niños explicaron su elección tomando en cuenta la cubierta (tapa) hipotética del objeto cerrado.
Es interesante resaltar la existencia de dos casos extremos. En el primer caso, dos niños dijeron que iguales cantidades de agua serían desplazadas. Esto puede significar que los niños imaginaban que el objeto abierto se había sumido de tal manera que el agua no se le metía. En el otro caso, seis de los niños ignoraron el material del objeto abierto y sugirieron que no se podía desplazar ninguna agua: “Después de que el cubo cerrado es sumergido y porque está todo cerrado del volumen que ocupa, va a hacer que el agua suba y el agua se vierta en el otro recipiente. Después de que el segundo objeto se sumerge en el agua ésta lo llenará porque está abierto, así que el nivel del agua bajará y no caerá agua alguna en el recipiente”. Aquí el niño se refiere al volumen del objeto cerrado como algo que ocupa un espacio y al mismo tiempo (la cualidad del objeto de ser cerrada) asegura la cerradura del objeto. Este niño probablemente acepta de manera implícita que la capacidad del cubo abierto es la misma que el “volumen geométrico”. Otro ejemplo claro de esta idea es: “el cubo abierto derrama el espacio que (el agua desplazada) ocupa en su interior, así que sólo caerá en el recipiente una muy pequeña cantidad de agua”.
Uno de los dos niños que predijo que el agua desplazada por el cubo cerrado es menor, justifica su respuesta: “caerá más agua en el segundo caso porque es abierto y se llenará con agua, y entonces se volverá más pesado”. El otro niño argumenta en términos de flotar y hundirse. El cubo cerrado se ve como que flota. Así que no va a desplazar mucha agua, mientras que, en el abierto, el agua se va a meter apresuradamente en él y se va a hundir más. Flotar y hundirse son temas considerados por otros niños también.
TABLA 2
Estrategias de los niños en comparación con la tarea 6
Número de niños (N=38)
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Estrategias de comparación
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Tarea 6 (taza)
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Tarea 6 (chocolates)
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Pesando
- masa
- peso
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9
(4)
(5)
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17
(3)
(14)
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A ojo
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9
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6
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Llenando
- con unidades sólidas
- con agua
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11
(8)
(3)
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____
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Comparando sus elementos
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_____
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2
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Otras estrategias
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4
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3
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No hay estrategias
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5
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10
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D. TAREA 6
A partir de un análisis sobre las respuestas de los niños, una variedad de estrategias de comparación emergieron (Tabla 2). Dos estrategias similares fueron encontradas al comparar tanto las tazas como los chocolates. Por el otro lado, la naturaleza diferente de las actividades de esta tarea se refleja en la variedad de acercamientos de los niños. En particular, las dos partes del problema requieren de diferentes interpretaciones del volumen, algo que está también determinado por los contextos diferentes de estas partes. Por tanto, cuando los niños comparan las diferentes tazas donde la capacidad es la materia de interés principal, varios de ellos usan apropiadamente métodos como “llenar”. El caso de llenar con unidades sólidas puede ser visto como un primer paso hacia la unidad de medida.
Por el otro lado, cuando ellos tienen que decidir cuál chocolate es el mayor, donde el aspecto de “espacio ocupado” del volumen debe ser considerado, nosotros encontramos un cambio en sus estrategias. En este caso, más niños usaron el método de “pesar”. Parece que los niños que usan este método no distinguen los conceptos de masa, peso y volumen.
Vale la pena mencionar algunas otras de las estrategias. Dos niños consideraron valores estéticos como los aspectos más importantes para elegir la taza. Relacionado con el “caso de los chocolates”, un niño sugirió que “Yiannis y María deberían de tratar de llenar las tazas con los diferentes tipos de chocolates. Los que sean menos en la taza son los más grandes”. En este caso, aparece una comparación de unidades de medida diferentes. El tamaño de las unidades es determinado por el número de chocolates que llenan el mismo recipiente. Un método más exacto de comparación, similar al descrito anteriormente, ocurre con líquidos. Esto se expresa implícitamente por lo siguiente: “Ellos podrían derretirlos en el horno y luego verter el líquido en dos vasos que ocupen el mismo volumen, para que puedan ver cual es el mayor”.
El método de desplazamiento (inmersión) para comparar volúmenes fue adoptado por un niño es cada caso. Cinco niños en el caso de la taza y diez niños en el caso del chocolate no mostraron ninguna estrategia. Ellos dijeron solamente que Yannis y María deberían elegir aquellos con mayor volumen.
Algunos de los niños basaron su elección en características perceptibles de las tazas o de los chocolates, como la forma o la relación volumen-masa. Algunos de ellos pudieron que ellos podían poner tazas o chocolates en orden, uno aparte del otro, y observarlos detenidamente. Más aún dos niños tomaron en cuenta las dimensiones del objeto.
Como ha sido discutido en esta tarea, algunas de las concepciones de los niños del volumen emergieron muy vagamente de sus estrategias. En conjunto es difícil distinguir categorías concernientes a estas concepciones.
E. LA DISCUSIÓN DE CLASE COMPLETA.
Descripción de la tarea. Dos vasos de diferente forma fueron dibujados en el pizarrón. Se les dijo que era posible que estos vasos pudieran guardar la misma cantidad de agua y se les pidió a los niños que sugirieran las maneras de verificarlo. Después, otra cuestión acerca de la comparación del volumen de estos dos recipientes proveyó la oportunidad para más discusión. Los niños discutieron sus sugerencias con sus pares. Casi todos los niños expresaron y analizaron sus opiniones en la discusión de la clase completa, al final de la discusión ellos votaron por la mejor sugerencia.
La forma diferente de los recipientes y la condición que fue pedida para verificar (que los recipientes tienen la misma capacidad) diferenció esta tarea de las escritas. Más aún, estos atributos pueden llevar a los niños a tomar en cuenta las diferencias entre volumen y capacidad y revelar cómo los niños relacionan estos dos conceptos. A través de esta tarea especifica, otra manera de comunicar ideas fue alentada. A través de este acercamiento, las concepciones y estrategias de los niños emergieron y fueron expresadas verbalmente. Una característica común con algunas de las tareas escritas fue el acercamiento por comparación.
Comparaciones de los niños. Una tendencia general fue encontrada en las respuestas de los niños a ambas cuestiones, una acerca de la verificación de que los dos vasos pueden contener la misma cantidad de agua y la otra acerca de comparación de los volúmenes de los dos recipientes; los niños basaron sus argumentos en métodos experimentales. Pocos niños basaron sus razonamientos en características perceptibles de los vasos como forma, tamaño y dimensiones.
Cuatro métodos experimentales de comparación fueron usados por los niños para la primera pregunta. Estos son presentados en forma diagramática en la Figura 5. El desarrollo del razonamiento lógico se expresa implícitamente a través de los métodos experimentales de los niños. Por ejemplo el primer método implicaba el uso del la propiedad conmutativa, mientras que los otros implican la propiedad transitiva. Más aún, en el último método, una consideración inicial acerca de la unidad de medida parece emerger.
Los vasos
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Recipientes usados
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Métodos de los niños
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Llene el vaso A con agua, viértalo en B. Compruebe si B ha sido llenado.
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Toma un vaso C igual a B. Vierte el agua de A en C. Compara los niveles de agua en B y C
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Toma los vasos C y D iguales a A y B, respectivamente. Vierte el agua de A en D y de B en C. Verifica si C y D han sido llenados.
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Toma dos vasos C y D iguales entre sí. Vierte el agua de A en C y de B en D. Comprueba los niveles de agua de C y D.
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Figura 5. Las comparaciones de los niños de la capacidad de dos vasos
Cuando los niños fueron alentados a pensar acerca del volumen de los dos vasos, ellos manifestaron una variedad de estrategias también. Así como en algunas tareas anteriores, a través de estas estrategias, una buena cantidad de concepciones sobre el volumen emergieron.
Entre las estrategias caracterizadas como “experimentales” la de la transformación de la forma fue la más ampliamente discutida. Ésta fue expresada de varias maneras, como la transformación de ambos vasos ya sea a la misma forma sólida (por ejemplo, pelotas o cubos) o a líquido. La naturaleza de la materia de los recipientes transformados influyó en la selección de los niños para hacer comparaciones. En el caso de la transformación a un sólido, los métodos geométricos de comparación fueron usados; mientras cuando los recipientes fueron transformados en líquidos, las maneras convencionales como usar cilindros graduados fue la adoptada. Un ejemplo interesante de esta estrategia es la sugerencia de Panagiotis para la construcción de un vaso derritiendo uno de los dos vasos dados: “Nosotros derretimos uno de los dos vasos y construimos uno nuevo de la misma forma que el otro. Vemos si sobra o no material”
A través de la estrategia de “transformación” el aspecto del volumen como volumen de la sustancia material que compone el objeto está implícito. La misma concepción fue sostenida por niños que usan la estrategia de desplazamiento (inmersión).
El método de pesar también fue utilizado lo cual indica una asociación de los conceptos de volumen y peso. En algunos casos, sin embargo, cuando los niños expresaban las estrategias adoptadas se evidenciaba una inconsistencia en sus concepciones. Por ejemplo, un niño inicialmente concebía el volumen del vaso como su peso y sugería que el método de pesar. Mas tarde, sugirió el método de desplazamiento viendo el volumen como el volumen de la sustancia material del objeto y finalmente tomó en cuenta las características perceptibles de los vasos: “el primer vaso probablemente tendrá mayor volumen ya que parece más alto y más ancho”
Un caso interesante fue el de aproximación usado por Stratos: “tomamos una caja de la misma altura y anchura del primer vaso. Nosotros tratamos de poner el segundo vaso en una caja idéntica. Si en la caja queda espacio para mover el segundo vaso libremente, decimos que éste tiene menor volumen”. Esta estrategia puede implicar un sentido más amplio del volumen geométrico.
Es de notarse que, en los casos mencionados anteriormente, no se le prestó atención a la condición de que los vasos tengan la misma capacidad. Algunos niños, sin embargo, relacionaron la capacidad de los vasos con el volumen. Ellos argumentaron, ya sea que los dos vasos tienen el mismo volumen, ya que pueden tener la misma cantidad de agua, o que “el la copa tiene mayor volumen que el vaso, porque ambos pueden contener la misma cantidad de agua y la primera tiene una base también”.
Al proseguir la discusión, se hizo claro que en las ideas de los niños ocurrió un cambio. La existencia de este cambio fue respaldada por la votación final de los niños. La mayoría de los niños votaron por la sugerencia más desarrollada rechazando sus ideas originales.
DISCUSIÓN
Como Vergnaud (1990) establece, “el concepto de volumen está hecho de diferentes propiedades y diferentes relaciones con otros conceptos matemáticos (por ejemplo, comparación de contenedores, adición-sustracción de volúmenes, medición con una unidad, algunas propiedades tridimensionales del volumen)”. También está relacionado con conceptos de la física como la cantidad y la naturaleza de la materia y el peso. Esta complejidad explica la diversidad de concepciones que los niños expresaron a través de las tareas. Aunque algunos científicos conciben y usan el volumen de una manera particular, los niños dan sus propios significados dependiendo de su experiencia personal y de la naturaleza de la actividad que ellos están llevando a cabo.
Mientras se efectuaba el análisis de las respuestas de los niños, se fue revelando que ciertos puntos comunes eran alcanzados en los intentos de los niños. Usando como base estas coincidencias, algunas categorías de concepciones fueron identificadas en cada tarea. En la primera tarea, en la que los niños definían verbalmente lo que es el volumen en dos situaciones diferentes, emergieron cinco categorías. La mayoría de los niños definieron el volumen como “espacio ocupado” y se les colocó en la primera categoría. El aspecto de volumen como “capacidad” domina los significados de los niños de la segunda categoría. Los niños de la tercera categoría relacionaron el volumen con la sustancia material del objeto. Los niños que parece que relacionan el volumen del vaso a sus propiedades geométricas se colocan en la cuarta categoría. La quinta categoría agrupa a niños que conectaron el volumen a factores irrelevantes. La apariencia de agua no cambió las categorías sino las definiciones relacionadas con otros referentes (por ejemplo, agua, el sistema cristal-agua).
En todas las otras tareas, las concepciones de los niños fueron identificadas indirectamente por sus estrategias. Aparecieron dos categorías más: el volumen es relacionado con el concepto de peso, y el volumen es el volumen de la sustancia material. Estos pueden deberse a la naturaleza de estas tareas. Sin embargo en el resto de las tareas la categorización de las concepciones de los niños no ocurrió, la mayoría de las concepciones que emergieron pueden caer en algunas de estas categorías. En el estudio de Ricco et al. (1983), las definiciones de volumen dadas por los niños también pueden ser interpretado de acuerdo con las categorías antes mencionadas. Las categorías que emergieron muestran que ciertos significados del volumen que los niños tienen son interpretaciones aceptadas del volumen, tales como “volumen es el espacio ocupado”, “volumen es la capacidad” y “volumen es el volumen de la sustancia material”. Sin embargo, ciertas concepciones de volumen están relacionadas a otros conceptos como masa, peso y tamaño, lo cual muestra las dificultades de los niños con este concepto. Un tema para consideración futura puede ser seguir explorando las maneras en que los niños relacionan o diferencian estos conceptos. Smith et al. (1985) han estudiado hasta dónde el concepto de tamaño, peso, densidad, materia y tipo de material son diferenciados por niños de edades distintas. Ellos también analizaron el concepto no diferenciado en distintas componentes y buscaron la estructura teórica diferente que ahí ocurría. Estos interesantes aspectos no fueron considerados en este estudio, donde el foco era formular una descripción general de los posibles acercamientos de los niños al volumen.
Aparte de la presencia de las concepciones, las elecciones de los niños nos ofrecen evidencia de las razones y acciones que los niños sugieren cuando enfrentan las tareas. La naturaleza de las tareas 2, 3 y 4 reveló justificaciones de los niños, mientras que la tarea 6 y la discusión general de clase mostró las estrategias de los niños. En ambas, tanto en sus justificaciones como en sus estrategias, los niños tendieron a usar sus acercamientos experimentales o su percepción.
La cantidad y la naturaleza diferente de las tareas pusieron a prueba aspectos varios del pensamiento del niño acerca del volumen. Sin embargo, como Andersson (1990) argumenta, algunas veces una descripción general podría ser formulada también con relación al pensamiento en cierta área. Los patrones comunes surgidos a través de las diferentes tareas mostraron una variedad de acercamientos posibles para el volumen que probablemente pueden ser alcanzados en otros contextos. Nosotros resumimos, en la Figura 6, los acercamientos de los niños al concepto de volumen en la forma de una red sistémica.
En la Figura 6, dos notaciones son ilustradas: la notación BAR que consiste de una recta vertical con la categoría principal a la izquierda y las subcategorías a la derecha, lo que muestra que las subcategorías son mutuamente exclusivas; la llave indica la co-selección necesaria de todos los sistemas que siguen al paréntesis. La co-selección en nuestro caso, significa que los acercamientos al concepto de volumen son caracterizados por dos aspectos, concepciones y acciones de comparación. La Figura 6 representa todas las posibles concepciones y acciones de comparación que un niño puede exhibir para una variedad de tareas. El acercamiento de cada niño a cada una de las tareas puede ser representada por una concepción particular (por ejemplo, el volumen como el espacio ocupado) y por una acción particular (por ejemplo, experimental). Teóricamente, todas las combinaciones posibles entre las concepciones de volumen y los métodos de comparación empleados pueden existir. Sin embargo, algunas combinaciones puede que no ocurran, mientras que otras pueden ocurrir en ciertas tareas. Las acciones de los niños y las acciones mostradas en esta red han sido descritas y discutidas a través del análisis.
Figura 6. La red de los acercamientos de los niños al volumen
Como ya hemos analizado, el concepto de volumen está relacionado con una variedad de factores como la forma y las propiedades geométricas, la naturaleza de la materia, la masa y el peso, y el hecho de que el objeto sea hueco y abierto. Estos hallazgos han sido ejemplificados por las respuestas de los niños. El punto más importante, sin embargo, es la repuesta a la pregunta: “¿El volumen de qué?” es cierto que en los libros de texto y en las discusiones de clases el referente es abandonado. Esto también ocurre en nuestra comunicación diaria. No sólo no se da al referente la atención apropiada en el currículum escolar, si no que el concepto de volumen se ve diferentemente en varias materias de la escuela. Por ejemplo, en matemáticas, el énfasis principal en la medición y uso de fórmulas para encontrar el volumen de sólidos geométricos. En las matemáticas de primaria con la intención de usar problemas de la vida diaria, la capacidad del sólido es considerada, pero sin discriminar que la capacidad del sólido es el volumen de líquido que el sólido puede contener. Por otro lado, la ciencia está interesada más bien en el volumen como la cantidad de sustancia material o el volumen desplazado. Como Klopfer et al. (1992) sugieren, en la ciencia física, los estudiantes tienen que ser expuestos a ejemplos que muestren diferentes contextos en los cuales sean usados diferentes interpretaciones de un mismo concepto, y a desarrollar entendimientos suficientes de cada interpretación para habilitarlos para que empaten las interpretaciones con las situaciones apropiadamente. Nosotros consideramos que tales ejemplos pueden integrar diferentes aspectos del concepto de volumen usados en las matemáticas escolares y la ciencia y ayudan a los niños a desarrollar un concepto de volumen coherente. Mcbride y Silverman (1991) recomiendan que la integración de la enseñanza de las matemáticas y la ciencia pudiera ocurrir mediante: “(a) El uso del contenido de la ciencia para proveer ejemplos concretos de las ideas matemáticas; (b) El uso de las matemáticas para ayudar a los estudiantes a alcanzar entendimientos más profundos de los conceptos de la ciencia y (c) El uso de actividades integradas de ciencia y matemáticas para proveer relevancia y motivación”: El tercer punto es probablemente el más apropiado para la educación primaria donde el concepto de volumen se introduce por primera vez. El concepto de volumen puede aproximarse de forma cualitativa y sin poner atención en que los diferentes aspectos del volumen sean explícitos para los niños.
Nosotros creemos que las tareas de este estudio proveen oportunidades para los niños para expresar, discutir y clarificar sus ideas y parece que representan ejemplos apropiados para ser usados en clase. Se tuvo la sensación de que muchas tareas usadas en este estudio proveyeron a los niños con la oportunidad de volverse conscientes de sus concepciones personales y sus inconsistencias. Más aún, los hallazgos de este estudio pueden servir en la práctica del maestro de dos maneras. Primero, ellos proveen guías para escuchar y observar las expresiones de los niños mientras discuten el volumen. Segundo, proveen recursos potenciales tanto para el contenido y organización de varias actividades de enseñanza y aprendizaje (Steffe y Kieren, 1994)
Actividad posterior a la lectura
Después de leer este capítulo responda por escrito a las siguientes preguntas.
- Vuelva a leer sus respuestas a las preguntas de la actividad anterior a la lectura.
- ¿Cambiaría algunas de sus respuestas? ¿Cuáles y por qué?
- Escriba nuevas respuestas para las preguntas planteadas antes de la lectura, si cree que hay algo que modificar.
[1] En inglés: glass que es vaso y, al mismo tiempo, cristal. En la traducción se ha preferido usar copa en lugar de vaso con pedestal (stemmed glass) y usar cristal cuando el vocablo glass se refiere al material con el que está hecho la copa, es decir, el cristal.
[2] En el original dice glass, es decir, vaso. Pensamos que es un error ya que los objetos de las tres tareas son distintos y no todos son vasos.
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