Capítulo 5. Contextos geométricos por Hans Freudenthal

Citar como:

Freudenthal, Hans. Chapter 8. “Putting into Geometrical Contexts” del libro Didactical Phenomenology of Mathematical Structures. (1983) Holland: Reidel Publishing Co. Págs. 223-249.

Introducción al texto de Freudenthal

Como se explicó en la introducción al capítulo anterior de esta antología, Longitud, Freudenthal aplicó su fenomenología didáctica a muchos conceptos matemáticos. En esta ocasión él se dedica a hablar de la geometría basándose en una crítica al trabajo de Piaget “La representación del espacio en el niño”. De modo que Freudenthal no analiza un concepto particular, sino aquellos analizados por Piaget en las investigaciones que dan lugar al libro citado.

Así, el autor nos hablará del espacio, de la recta, paralelismo, ángulos, circularidad, paralelepípedos y otros entes geométricos con su particular estilo.

Para su comprensión total, este capítulo requiere de ciertos conocimientos geométricos profundos; sin embargo, es posible leerlo consultando en algún glosario los términos que puedan no serle familiares como: proyecto Erlanger, espacio afín o proyectivo, topología u otros y, así, comprender y reflexionar sobre mucho de lo que explica Freudenthal y sobre su relación con la enseñanza de la geometría.
En el libro de Freudenthal éste es el octavo capítulo, he respetado la numeración que él utiliza para facilitar el uso de las citas.

Actividad inicial anterior a la lectura de este capítulo

Antes de leer el capítulo responda a las siguientes preguntas:

1. Busque definiciones de la palabra espacio.
2. ¿Dónde, a su alrededor, encuentra usted entes geométricos (rectas, paralelas, perpendiculares, figuras geométricas y otros)?
3. A mano alzada dibuje un círculo, dos segmentos de rectas paralelas, algunos polígonos.
4. Defina congruencia y escriba cómo le diría a un niño que dos figuras son congruentes.
5. Haga lo mismo con semejanza.
6. Enliste de cinco a diez contenidos geométricos que usted considere imprescindibles en el programa de estudios del grado escolar en el que trabaja

Contextos Geométricos

Hans Freudenthal

8.1 “La representación del espacio en el niño”[1]

El título de esta sección es el mismo que el del libro de Piaget-Bärbel Inhelder[2], el cual, a pesar de las serias objeciones sobre su acercamiento global y de muchos de sus detalles, yo valoro altamente. Aún más que cualquier otro trabajo de Piaget que toca a las matemáticas, éste merecía, de los matemáticos, una apreciación seria, más que un mero encogimiento de hombros.

Inicialmente no quería discutir demasiado a Piaget en este capítulo, pero mientras lo escribía, la necesidad de hacerlo se volvió más y más urgente. De cualquier manera voy a restringir mi diatriba sobre Piaget tanto como sea posible porque, en vista de la variedad de los aspectos que él trata, su trabajo no contiene suficientes elementos para orientarse. 

Le puse el titulo del libro de Piaget-Inhelder a la presente sección porque mis primeras consideraciones se centrarán alrededor de dos palabras contenidas en este título “espacio” y “representación”.

8.2 Espacio

“Espacio” es una expresión que desde el título hasta la última página ocurre miles de veces en el libro de  Piaget-Inhelder, muy a menudo como adjetivo. No lo puse en el título del presente capítulo y hubo razones para no hacerlo. El espacio, ya sea como un objeto mental o como un concepto, es más bien el punto final de un desarrollo, pero no en el sentido de una orientación – esto sería de nuevo una perspectiva errónea. No es sino hasta un contexto matemático avanzado que “espacio” toma un significado. En largas trayectorias la palabra “espacio” se puede tratar como un término más, y aún como objeto mental no es requerido. De ninguna manera la constitución de los objetos mentales usuales en geometría depende de la del objeto mental “espacio”,  ¡cualquier cosa que esto sea!

            La geometría griega y la filosofía no poseen un equivalente de nuestro “espacio”. El universo es finito y el hecho de que, de acuerdo a uno de los postulados de Euclides, toda línea recta pueda ser extendida indefinidamente no implica nada acerca del medio en que esto es posible. Mentalmente, tal medio pueda existir de alguna manera, pero no se pone ninguna atención en él hasta Cusanus y Newton, digamos; la raíz etimológica de espacio es spatium, lo que significa distancia. El espacio y sus análogos en otros lenguajes originalmente significaban una cosa cerrada, y para indicar el espacio muy grande la terminología moderna fue enriquecida por “espacio exterior”.

            Antes de avanzar más, voy a dar ejemplos del uso más técnico de la palabra “espacio”, con la intención de mostrar la dirección que deseo evitar.

            El espacio euclidiano –llamado así porque la geometría estudiada en y de acuerdo a Los Elementos de Euclides implícitamente presupone, al menos, algo como esto– incluye puntos, conectados por rectas, contenidas en planos, formando círculos tan largos como quieras, por todo el mundo los ángulos rectos son iguales, lo que ocurre muy lejos con los objetos geométricos puede ser predicho aquí, porque en todos los triángulos, no importa lo grande que sean, la suma de sus ángulos es igual a dos ángulos rectos. De la vecindad más cercana uno extrapola a distancias mucho más grandes, esto es el objeto mental, llamado espacio euclidiano, para el cual Euclides mismo no tenía nombre.

“Geometría” significaba originalmente medir la tierra, como fue conformada por los topógrafos, pero este uso práctico nunca fue enfatizado en la geometría griega; más bien era  tomado con menosprecio. Eratóstenes  se las arregló para medir la tierra entera a partir de un pedazo restringido de tierra, y Aristarchos hizo lo mismo con las distancias y tamaños del sol y la luna. El propio dominio de los astrónomos, sin embargo, era medir ángulos. Cómo era hecho esto, no es dicho en Los Elementos a pesar de que los ángulos de cierta medida – los ángulos rectos – ocurren en sus teoremas. Los segmentos de línea de una longitud definitiva no los encuentra uno en los elementos, y solamente con un esclavo iletrado es que Sócrates habla acerca de cuadrados de ciertas cantidades de pies[3]. Lo que cuenta en el espacio euclidiano es la igualdad y el radio de los segmentos de línea.

            El espacio euclidiano con todos sus objetos es una estructura rica, sin embargo es pobre si se compara con todo lo que percibimos alrededor,  sus colores, superficies lisas y rugosas, sonidos, olores, movimientos. Pero gracias al empobrecimiento construye un cierto contexto, el cual por algunas razones nos acomoda extremadamente bien – este es un punto que debo considerar todavía más cercanamente. De cualquier manera este contexto ha sido aceptado como geometría por siglos, este objeto mental de espacio euclidiano como si fuera un dato objetivo, a pesar de que se han hecho esfuerzos para describirlo de manera más precisa y eficientemente que como jamás lo hizo Euclides. Más preciso – esto significa axiomática como la de Pasch Hilbert`s; más eficientemente – esto significa el acercamiento algebraico desde Descartes a la versión moderna de espacio métrico lineal de tres dimensiones. En alguna otra parte[4] he delineado este desarrollo.

            Este espacio euclideano nunca ha sido un propósito en sí mismo, sino que más bien ha sido el substrato conceptual mental y matemático para lo que es realizado en él: para construcciones con un compás y una regla, o solamente con compás, o solamente con regla, para construcciones por medio de ecuaciones algebraicas o construcciones puramente mecánicas, para deducir propiedades de tales figuras, para probar o refutar hipótesis acerca  de ellas.

            En el desarrollo más reciente de la geometría un descubrimiento importante fue que con la regla solamente, uno puede avanzar bastante, por ejemplo en la teoría de la perspectiva y para todas las propiedades relevantes en perspectiva. Un principio metodológico de matemáticas, aplicado aún más sistemáticamente desde la antigüedad, es la pureza del método; en el ejemplo que acabo de citar significa que tan pronto como uno estudia las propiedades que dependen de la regla solamente, uno debe elegir un substrato que está restringido a puntos, líneas y planos en su mutua relación. Esto es entonces una estructura aún más pobre, la proyectiva, pero la relativa pobreza tiene una ventaja. La riqueza, si dispensable, puede ser un obstáculo. En el caso presente, en cierto aspecto, la pobreza era demasiado opresiva; para embellecer la estructura, el espacio tiene que ser enriquecido por puntos, líneas, y un plano al infinito, esto fue entonces el espacio proyectivo. Una variante en ese principio: si el paralelismo es incluido en los conceptos fundamentales además de la recti-linealidad, uno obtiene una estructura – el espacio afín – que es más pobre que el euclidiano y más rico que el espacio proyectivo.

            Otra evolución fue aquella hacia el espacio no euclidiano. Uno iniciaba dudando hasta donde la vecindad, como uno pensaba percibirla, determinaba la profundidad remota del espacio como había sido supuesto. Si la suma de los ángulos en un triángulo difiriera sistemáticamente del valor de dos ángulos rectos, el espacio se vería diferente – curvado, cualquier cosa que esto signifique.

            Una tercera evolución aparte del espacio euclidiano y otros espacios fue el introducirse en más dimensiones, incluso a un número infinito de dimensiones. El lenguaje geométrico se volvió un medio sugestivo y creativo para organizar dominios muy diferentes – el análisis en este caso.

            Y después las cercas se vinieron abajo: las estructuras son creadas de acuerdo a las propias necesidades, y si están relacionas a estructuras que han sido anteriormente llamadas espacio, o si involucran elementos visuales a ser descubiertos o subrayados son llamados espacios: espacios métricos, espacios topológicos, espacios discretos, y así. Hay buenas razones por las cuales los matemáticos hacen esto: la comprensión puede ser profundizada y la terminología puede ser simplificada si varias estructuras se toman juntas bajo un solo encabezado.

8.3 “Representación” – El Objeto Mental

En la versión inglesa de la representación[5] de Piaget-Inhelder ha sido traducido por “concepción” lo cual acerca aún más el énfasis hacia la formación de conceptos. No estoy seguro hasta qué punto esto es correcto.[6] Si uno mira solamente a los títulos, las introducciones teóricas y conclusiones de los capítulos y secciones del trabajo de Piaget-Inhelder, uno puede quedar convencido, de hecho, que los autores trataron de investigar el acercamiento conceptual del niño al espacio o más bien encontrar qué características del acercamiento conceptual de un adulto al espacio pueden ser rastreadas en la mente del niño. Este acercamiento conceptual donde subyace el adulto es entonces el que los autores sabían a partir de la literatura, en particular aquel acerca del programa Erlanger.

            Sin embargo, no estoy seguro hasta dónde, para el trabajo de Piaget-Inhelder, este acercamiento conceptual significa mucho más que un patrón organizativo y un marco teórico. Los requerimientos son diseñados más bien para observar las representaciones de los niños, Vorstellungen en el sentido de Kant, intuiciones como otros dicen, u “objetos mentales” como prefiero llamarlos. Ellos repetidamente distinguen lo perceptivo, lo representativo y – muy lejanamente – el espacio inteligible, pero el aspecto en el que se enfocan es la representación – algunas veces mentalmente y, más frecuentemente aun, registrada mentalmente-gráficamente.

8.4 El Objeto Mental en Geometría

En ninguna parte de las matemáticas los objetos mentales sirven tanto antes de, o aun sin, la formación de conceptos como en geometría. Las imágenes y la imaginería son más eficientes si ellas representan figuras en constelaciones espaciales que si  representan números. Las cantidades numéricas pequeñas pueden ser respaldadas eficientemente por imágenes, reales e imaginarias, pero este soporte no alcanza en el mundo cuantitativo y pronto es abandonado. Los números 3 y 5 son paradigmas insatisfactorios de números naturales arbitrarios y su suma y producto falla como paradigma de operaciones de pares arbitrarios de números. Por otro lado, cada triángulo que es dibujado de manera no muy específica es un buen paradigma del triángulo, cada par de segmentos de línea es un paradigma del par de segmentos de línea si el objetivo es mostrar lo que la suma o el producto de las dos longitudes es. Uno puede mostrar a otras personas lo que es un paralelogramo, un rombo, un cuadrado, lo que son las diagonales y lo que significa decir que se parten a la mitad una a la otra, qué es decir que son perpendiculares una a otra o iguales. Sin molestarse uno mismo o a la otra persona con conceptos, uno puede introducir palabras para indicarlos y restringirse uno mismo a los ejemplos para explicar lo que las palabras significan. Uno puede explorar ampliamente el dominio geométrico sin formarse conceptos, tan ampliamente que finalmente el concepto más que maduro cae en nuestro propio regazo. Uno puede incluso no ver el formalismo que caracteriza a la geometría tradicional y por un buen tiempo estar satisfecho con medios demostrativos lingüísticos y esperar por unas herramientas lingüísticas relativas y más simbólicas que se anuncian a sí mismas. Por esto y otras muchas razones la geometría es el campo en el que uno puede mirar fructuosamente en busca de síntomas de procesos de aprendizaje, siempre y cuando cada investigador cargue su propia educación geométrica como anteojeras.

            Por “educación geométrica” yo no quiero decir algo que empieza con la primera lección tradicional de geometría. Muchos objetos geométricos y conceptos se han formado anteriormente, la mayoría de ellos a la edad de la escuela primaria y algunos de ellos aun antes, aunque ellos todavía no tienen etiquetas verbales, o por lo menos no aquellas etiquetas que nosotros hemos aprendido a ponerles en nuestras lecciones de geometría.

Si uno compara esto con el contenido de la sección 8.2, se vuelve claro que mi objetivo no es la geometría, ni tampoco un sistema de geometrías. Antes de que pueda arribar al espacio o a los espacios como objetos mentales, debo tratar con objetos mentales que son entendidos como objetos geométricos, que son acomodados dentro del espacio. Como objetos geométricos, ellos, en una última etapa podrán ser puestos en un espacio, pero como objetos mentales están primero en un contexto, particularmente en un contexto geométrico. Yo he indicado anteriormente la significación didáctica de los contextos, describiendo un contexto como una condición necesaria para algo más que una acción meramente algorítmica.

8.5 El Contexto de los Cuerpos Rígidos, lo Congruente y lo Semejantemente Reproducible como un Ejemplo

No tengo duda de que la educación geométrica inicia muy temprano, y que esto tiene mucho que ver con el hecho de que el contexto geométrico nos acomoda y gusta tanto. El color parece ser un caso más sutil que la forma geométrica.

            Primero que nada, la recti-linealidad, en el ambiente natural del hombre ejemplificado por la postura recta, los miembros estirados, brazos, piernas, dedos, los tallos de las plantas y los troncos de los árboles, y el camino recto que es el más corto, el más directo. Entre las primeras herramientas hechas por los hombres, está la flecha, parangón de la recti-linealidad y, así como la civilización progresa, así más frecuentemente y más forzadamente el hombre es confrontado con objetos y procesos y llevado a acciones que sugieren o representan recti-linealidad: palos, alfileres, orillas, pasillos, dobleces, cortes, y cintas estiradas.

            La característica de ser plano[7] es quizás  aún más frecuente y sugerida de manera forzada, por el pavimento, pisos, paredes, techos, mesas, bancas, cajas.

            Él es confrontado con el paralelismo tan a menudo como lo es a la recti-linealidad, de nuevo por las fronteras de los objetos, los caminos, las rejas en divisiones planas en redes de alambre, palizadas, hileras de casas; los ángulos rectos son sugeridos por la perpendicularidad pero también por los ángulos de objetos más o menos cuidadosamente hechos. Aún en el entorno natural el hombre se ha relacionado con la simetría de espejos, la simetría poligonal y la simetría axial; así fue para el hombre de piedra quien trató de imitarlos y por este medio educó a otros a verlos y apreciarlos.

            Los objetos que sugieren círculos  son raros en el entorno natural pero existen: las secciones de cortes de los árboles, el sol y la luna llena, el horizonte. Después de que la rueda fue inventada, el hombre fue –aún en la cuna–rodeado con objetos redondos. Pelotas y cosas que ruedan sugieren esferas y cilindros, para decirle a un niño lo que es un cono, uno dirá un sombrero de payaso. Sin importar qué tan regular o irregularmente esté formado un objeto, está influido por la geometría y sugiere formas geométricas. La producción natural, la artesanía, la manufactura, y la industria nos han enseñado la congruencia y la semejanza, en particular la semejanza de juguetes que imitan el mundo de los adultos.

            Dejaré esto hasta aquí. Voy a regresar a esos ejemplos para discutir algunos detalles. Hasta aquí me han servido para dejar claro cómo el contexto geométrico aparece –quiero decir el contexto de la geometría euclidiana o, descrito fenomenológicamente, aquel de

            la geometría de los cuerpos rígidos congruente y semejantemente reproducibles.

            Ellos son obtenidos tempranamente, todos estos objetos mentales, tan tempranamente que es difícil distinguirlos de aquello que quizás es innato. Los objetos mentales como la recti-linealidad, la cualidad de ser plano, el paralelismo, la rectangularidad, el rectángulo, cuadrado, esfera, cubo, la simetría, congruencia, semejanza, son, hasta donde son objetos mentales, determinados en una manera más simple, más clara, y más aguda que los que no son geométricos como las plantas, los árboles, los animales y los colores. Si esto es debidamente concebido, nosotros no estaremos asombrados acerca de la certeza de nuestro reconocimiento de los objetos geométricos.

            A pesar del inicio temprano de nuestra educación geométrica informal, el hecho de que la formal empiece tan tarde debe ser entendida en el marco de la historia de la educación. La educación intelectual, que incluye a la geometría, era concebida generalmente como una formación de conceptos. Los objetos mentales, como un material ideal con el cual trabajar, eran despreciados frecuentemente, y aún lo son, en la teoría educativa y psicológica. O más bien, uno desprecia la distancia entre los objetos mentales y el concepto, los identifica, los confunde y por este medio no hace justicia a ninguno.

            Hay un mundo de diferencia entre nuestros ejemplos del contexto geométrico y el contexto del laboratorio, en el que los sujetos de Piaget eran situados, así como con el marco teórico del programa Erlanger. En el mundo como lo vemos las primeras y más importantes cosas son cuerpos en el espacio. Su congruencia o semejanza es por supuesto relacionada a ciertos mapeos, que pueden ser explícitos de acuerdo a las necesidades que sean sentidas. Para estar seguros, estos mapeos pueden ser extendidos al espacio total; hay restricciones de estos mapeos globales que juntos forman un grupo de semejanzas del espacio, pero esto es una idea que está a una distancia remota de donde la geometría ha sido ya suficientemente matematizada. (Admito que aún en el trabajo de Piaget-Inhelder esto no es operacional – la teoría de grupos ha sido arrastrada en un marco matemático y como un elemento organizador).

            Uno puede objetar que, en cualquier caso, el grupo de semejanzas no coincide con aquel que tenemos en mente en el contexto de los cuerpos rígidos. Esto es correcto, para decirlo en una terminología que he usado en otra conexión, la idea de grupo de semejanzas del programa Erlanger es la apoteosis de este contexto. En la siguiente sección, sin embargo, introducimos otros contextos geométricos que no quedan dentro del marco del programa Erlanger.

8.6 El Mundo de las Cajas

Con mucha elocuencia me he empeñado en convencer al lector de cómo los objetos mentales de la geometría euclidiana son forzados hacia nosotros mismos, del arco y la flecha a la cuchara del bebé a la antena de la televisión. Esta demostración, sin embargo, fue un poco simplista. Uno podría llegar a creer que no hay más que esto. Si esto ha sido entendido de esta manera he perdido mi objetivo. De hecho puse en el título de la sección la advertencia “como un ejemplo”. Hay otros contextos, sin embargo, el siguiente es uno de ellos.

            Escogí el término “cajas” para los objetos geométricos que voy a considerar (paralelepípedos rectos), porque este artículo es accesible en la variedad más rica – las tablas de madera le recuerdan a uno algo con un aspecto mucho más largo que en las otras dos dimensiones, y los ladrillos son representados por un número demasiado pequeño de modelos. Pero si hablo de cajas, uno puede pensar también en habitaciones, libros y en muchas otras cosas que uno pudiera inventar. Uno puede considerar la caja como una estructura con ocho nodos y doce aristas, pero después de dar longitudes bien determinadas, uno puede, si quiere, añadir las caras y las diagonales espaciales, usted puede numerar los vértices, orientar las aristas o combinar ingredientes y obtener más variaciones. Ellas pueden ser estructuras muy divergentes pero las conclusiones a las que quiero llegar permanecerán igual.

            Dije que los objetos mentales como congruencia y semejanza nos son sugeridos por el mundo en que vivimos. Es verdad, pero algunas veces otras clases de equivalencias son aún más fuertemente sugeridas como objetos mentales. En el mundo de las cajas a nosotros se nos ha dicho que una caja es una caja. Sí, una caja es una caja, pero no de la manera en que un cubo es un cubo, o una esfera es una esfera. Los cubos son semejantes uno al otro, como las esferas. Las cajas no. ¿Entonces qué vamos a decir de las cajas?

            Con el fin de mapear una caja en otra de una manera suave, nosotros tenemos que hacer algo con sus aristas, encogiéndolas o expandiéndolas, pero siempre por supuesto con orillas paralelas. ¿Qué clase de mapeo es éste? Tome un origen y un sistema rectangular de ejes, ponga una caja con una esquina en el origen y con sus aristas a lo largo de los ejes positivos. El mapeo de una caja en otro es expresado en coordenadas de este sistema de ejes por

f: [x₁, x₂, x₃] →  [α₁x₁, α₂x₂, α₃x₃]

una multiplicación a lo largo de las direcciones axiales con factores α₁, α₂, α₃, respectivamente. Es un mapeo que se extiende a la totalidad del espacio – los segmentos de recta paralelos al primer, segundo, tercer  eje son multiplicados por α₁, α₂, α₃, respectivamente. Déjeme ilustrarlo con dibujos en dos dimensiones, esto es, un rectángulo D en lugar de una caja, dos ejes, y α₁ = 2, α₂= 3 (Figura 83).

Fig. 83

Tal mapeo es llamado una dilatación de acuerdo a los tres ejes ortogonales – digámoslo brevemente: una dilatación. Es un mapeo afín aunque no uno muy especial, ya que los mapeos afines pueden ser descompuestos en una rotación y en una dilatación.

¿Es esto todo lo que tenemos que decir acerca de las cajas y sus múltiples relaciones? No, puedo hacer más con las cajas que cambiar sus orillas. Puedo también cambiarlas de lugar como los cuerpos rígidos. Por una traslación una caja D llega a la posición D’ que ya no está recargada contra los ejes pero con las orillas todavía paralelas a los ejes de D (figura 84). D’ también es una caja y si le aplico nuestra dilatación f, de nuevo obtengo una caja; las dos cajas fD y fD’ difieren solamente con respecto al lugar; las aristas de D y D’ fueron multiplicados por el mismo factor, así que son iguales.

Fig. 84

Además de las traslaciones, puedo aplicar rotaciones a las cajas. Al rotar D llego a una posición D” (figura 85), con orillas que ya no son paralelas a los ejes mencionados, un hecho que tiene enormes consecuencias. Si ahora D” es sujeta a la dilatación f, el resultado ya no es lo que habíamos llamado una caja – la rectangularidad se pierde.

Fig. 85

Las dilataciones aparentemente son cosas que pertenecen a las cajas. Son los mapeos que caracterizan el mundo de las cajas. Pero cada caja carga con su propio paquete de dilataciones. Una caja permanece una caja si es dilatada de acuerdo a los ejes paralelos a sus aristas. O, desde otro punto de vista: las dilataciones no forman un grupo, el producto de dos dilataciones de acuerdo a diferentes tripletas de direcciones no necesariamente es una dilatación. Si usted quiere hacer un grupo de ello, usted obtiene el grupo afín total, que trata todos los paralelepípedos igualmente, y que no aprecia las hermosa cajas rectas como tales.

 Bueno, aquí estamos: la geometría euclidiana con su grupo de semejanzas no nos permite asegurar que “una caja es una caja” y la geometría afín no sabe del todo de cajas. ¿Qué vamos a hacer con todo ello?

El error – si uno puede llamarlo error – está en extender el mapeo que transforma una caja en otra al espacio completo. He subrayado esto tan tempranamente como en la sección 7.7. Aquí se confirma nuevamente. Es a menudo insignificante y aún ofensivo el extender mapeos de figuras en el espacio unas en otras al espacio como un todo – ¡piense en el coche estacionado y en marcha, el carro cerrado y abierto! ¿Por qué entonces se hacen en otros casos y con tanto éxito? Se hace con el fin de forzar la cosa entera en un grupo, para interpretar varios mapeos de figuras, digamos esferas o cubos, unos en otros como mapeos de una estructura más grande, el espacio euclidiano en sí mismo – los mapeos extendidos, que juntos forman el grupo de automorfismos del espacio euclidiano. Sin embargo si uno trata lo mismo con cajas en lugar de con esferas, uno no tiene éxito tan placenteramente: uno queda embrollado con un grupo que no respeta la “cajidad”.

Por otro lado la sugestión de que “una caja es una caja” es vigorosa, tan vigorosa como la sugerencia de apoyar la afirmación en un buen mapeo que hace de una caja otra caja. Estos son estímulos visuales fuertes en un estadio donde no existe la mínima necesidad de extender tal mapeo al espacio como un todo.

Los mapeos aún deben ser vistos más ampliamente de forma fenomenológica, pero esto es lo más que se puede decir, que si los mapeos se presentan a sí mismos en un contexto geométrico lo que sea esto, al principio son mapeos de partes restringidas del espacio, que pueden ser indicadas o llenadas por cuerpos. Extendiendo tal mapeo al espacio entero, aun cuando esto sea posible y significativo, no es algo que se vaya sin decir – ¿qué tanto tiempo han tratado vanamente los geómetras con los teoremas de congruencia donde los mapeos pudieron hacer las cosas más fáciles? En la historia, el paso hacia los mapeos del espacio entero ha sido conscientemente tomado tan tarde como en el siglo XIX – esto es atestiguado por el espacio proyectivo, que ha sido creado con el fin de tener la habilidad de extender los mapeos proyectivos al espacio entero, y por el artificio de la geometría de Moebius donde el espacio es aumentado por un punto al infinito para dar cuenta de las inversiones y hacer a los planos y a las esferas el mismo tipo de cosas. Históricamente, el ver a los mapeos más que localmente, el incluirlos en un grupo, fue un paso extremadamente importante con enormes consecuencias; sin embargo, también con aquel programa Erlanger dogmáticamente interpretado, –un cuerpo para el matemático adulto, y un traje demasiado grande, comprado para el crecimiento, para el aprendiz joven.

Pude también haber puesto esta sección en el capítulo 7 – en o después de la sección 7.7 – como un contraejemplo de la predominancia del grupo de automorfismos de las estructuras. Después de ciertas dudas lo puse aquí, con el fin de subrayar sus significados positivos, como un ejemplo de un contexto geométrico.

Voy a dar más ejemplos, pero voy a esperar; primero quiero decir algo más de los contextos geométricos en general. Hasta este momento solamente unas pocas variantes del mundo de las cajas:

El mundo de los rodadores,

(o cilindros si usted prefiere), una secuencia continua, que se estira a partir de los discos planos a carretes delgados,

El mundo de los sombreros de tontos,

esto es, los conos,

el mundo de los techos puntiagudos,

las pirámides cuadrangulares y así sucesivamente. Historias similares a las que conté acerca de las cajas puede ser contada acerca de estos mundos.

8.7 Intermezzo – Piaget

El camino de Piaget, al menos si se contempla  la estructura de su trabajo mencionada en el capítulo 8.1, ha sido dictado por lo que él había experimentado como el punto central del programa Erlanger, o para utilizar la terminología de la sección 8.6: él compró un traje que parece un cuerpo pero que en realidad anda merodeando alrededor de sus experimentos de laboratorio, y hasta donde es operativo funciona como anteojeras.

            De acuerdo con Piaget, el desarrollo procede de una estructura pobre a una rica, de grupos grandes de automorfismos a pequeños, de acuerdo a la sucesión topológica, proyectiva, afín, similar, congruente.

            No hay razón para que esto deba ser así, de pobre a rico. Si hubiera una línea definitiva, uno podría apostar que es exactamente al revés: la estructura más rica se presenta a sí misma con el mayor aplomo; el empobrecimiento significa abstraer, quitar. Las personas y las cosas son primero objetos singulares; con nombres propios y ellos terminan como clases y etiquetas – de lo más rico a lo más pobre. Así que no es así de simple. Inicialmente todo lo que se mueve, es un carro; después VW, Duck, Peugeot se hacen ideas más importantes, pero finalmente gana “carro”. Inicialmente un hombre viejo es un abuelo; después el término es restringido a dos especímenes a lo más, tal vez con el abuelo de un amigo añadido; finalmente casi cualquier niño parece tener un abuelo. Inicialmente, Utrecht, digamos, es la vecindad cercana y el otro lado de Amsterdam – el canal de Rhine está en Holanda; entonces Utrecht se convierte en una etiqueta para un arreglo basto de calles, plazas, parques, que se ven como aquellos de la vecindad; más tarde se convierte en un nombre propio de una unidad geográfica que encierra todas esas marcas, y finalmente alguna unidad político administrativa.

            No es un asunto de tendencia a lo cada vez más abstracto, tampoco es lo contrario. Es más bien un caso para desarrollar nuevos contextos, que pueden superponerse tanto como pueden ser incomparables. En la sección 8.5 defendí el contexto de los cuerpos rígidos con argumentos que puedo haber extendido diez veces o cien veces, argumentos para su prioridad de desarrollo, pero si Piaget estuviese en lo cierto este contexto sería el escalón más alto de la escalera del desarrollo.

            Es un hecho que los niveles deben ser distinguidos para formar contextos, para colocar objetos y operaciones en los contextos – Piaget habla de lo perceptivo, lo representativo y finalmente del espacio conceptual. El admite que perceptivamente un niño puede estar en un escalón más alto de la escalera que representativamente. “Representativo” es lo que he indicado como “objeto mental”, aunque Piaget sólo lo usa en el sentido de “ser capaz de dibujar el objeto”. En la parte uno “espacios topológicos”, por ejemplo, el espacio perceptivo, es seguido del espacio gráfico en un segundo capítulo – la cualidad o más bien la falta de cualidad de dibujar se vuelve el criterio para el carácter topológico. Pero aún después, la mayoría de las veces – casi siempre –,  el registro dibujado es el único criterio de la representación mental: con el fin de probar su existencia, los objetos mentales son dibujados. Pienso que esto es equivocado, pero voy a retrasar esta discusión por el momento.

            La prioridad aclamada por Piaget del espacio topológico es también un punto que debe ser discutido. Anticipo la discusión en un aspecto: lo que es presentado como topología por Piaget, es casi nada, y uno en parte puede incluso preguntarse hasta dónde esto es topología. Toco esto aquí porque es esencial para la cuestión de qué tan lejos el desarrollo del espacio topológico debe proceder antes que el espacio proyectivo pueda empezar, una cuestión que debe ser preguntada nuevamente en relación con otras parejas de escalones de la escalera del programa Erlanger. Si tales cuestiones no son contestadas, la afirmación de que este espacio precede al otro no significa mucho, si algo.

            ¿Es topología si un niño no distingue una pelota de una papa, o si el objeto mental “esfera topológica” (superficie cerrada de genero 0) se ha formado? Parece que Piaget se satisface con la primera. Respecto a la línea recta (él dice la línea proyectiva, aunque es la ordinaria), el requerimiento de Piaget es mucho más alto. Aquí el requiere, de hecho, la formación del objeto mental línea recta, si se manifiesta el espacio proyectivo, dado que para Piaget espacio proyectivo significa la habilidad de ver y dibujar con perspectiva desde el punto de vista propio o imaginado. Este espacio proyectivo es la precondición del espacio afín, que de nuevo involucra tan poquito que uno se sorprende de que tanto progreso en perspectiva sea requerido como una precondición. Más aún, y de esto hablaremos más tarde, la habilidad de ver y  dibujar de acuerdo a la perspectiva es una cosa totalmente diferente de la constitución de objetos mentales como línea recta, plano, paralelismo, congruencia. Sin experimentos de laboratorio uno sabe que la perspectiva como una habilidad es mucho más difícil de ser adquirida y es adquirida mucho después que el contexto euclidiano que rodea al cuerpo rígido, pero saltémonos este hecho trivial.

            Para la adquisición del objeto mental línea recta Piaget hace demandas exorbitantes. En la sección 8.5 casualmente dije cómo aparecen las líneas rectas, como

flechas, troncos, palos, alfileres, orillas pasillos, dobleces, cortes, hilos estirados,

pero ninguno de estos logra la aprobación de Piaget. Las líneas rectas deben ser adquiridas como líneas de visión, y aún más fuerte, la constitución global de línea recta debe ser precedida por la constitución local de la colinealidad de tres puntos.

Ciertamente, la línea de visión – como un rayo de luz –, es extremadamente importante, y tan es así que, ciertamente, nosotros pondremos en ella la atención que merece. Sería de interés el saber cuándo esto aparece en el desarrollo.[8] Pero la línea recta como línea de visión es un estado avanzado – hay aún muchos adultos que no saben usar esta propiedad. La línea de visión es una propiedad de la línea recta pero me rehúso a hacer esta una propiedad constitutiva.

Para Piaget así lo es. ¿Por qué? Debido a la restricción del sistema. Lo proyectivo precede a lo afín precede a lo similar precede a lo euclidiano, proyectivo significa mirar y dibujar perspectivamente, la visión perspectiva tiene lugar a través de líneas rectas de visión, así es requerida que la línea recta más temprana como una línea de visión en lugar de como el objeto mental que tiene que ver con los cuerpos rígidos y sus aristas, con objetos largos flexibles en su estado preferencial, con movimientos dirigidos a un objetivo. Para satisfacer el sistema la línea recta debe ser constituida como línea de visión y no de una manera más débil.

¿Debería ser esto juzgado como una influencia desastrosa de las pseudo-matemáticas? Sí y no. No, porque puede ser apreciado que alguien ha investigado o ha tratado de investigar, cómo el entendimiento de la línea recta como línea de visión surge. Sí, porque la pseudo-teoría puede haber evitado que los investigadores buscaran el origen verdadero del objeto mental línea recta.

Ahora dejaré el espacio, así llamado, proyectivo y volveré al espacio afín de Piaget. Los experimentos sobre éste fueron realizados con las tijeras llamadas Nuremberg o tenazas flojas, En mi terminología un contexto de flexibilidad más que de afinidad. Bien, también tiene que ver con líneas paralelas, y esto puede ser determinado como afín. Uno podría incluso materializar una red flexible bidimensional como lo demuestran las tijeras de Nuremberg una especial afinidad del plano – una muy especial que aún esta dominada por la idea de flexiones ya que son las diagonales más que los lados de los compartimientos los que son variables.

Los experimentos con las tijeras de Nuremberg son hechos con el fin de observar la “conservación del paralelismo” por los sujetos. Es el único lugar del trabajo de Piaget donde la transformación es hecha explícita con respecto a qué conservación se refiere: es la conservación afín, sin embargo de una clase muy especial y en una materialización especializada. El sujeto debe predecir qué va a ocurrir cuando las tijeras sean abiertas, o abiertas más ampliamente, en particular que los rombos aparecen con la conservación del paralelismo de los lados. Tanto como puedo juzgar no se toma en cuenta hasta dónde cualquiera de los sujetos conocía ya este juguete. De cualquier manera ésta – conservación de la estructura del paralelismo bajo movimiento de las tijeras de Nuremberg – fue la interpretación original de la conservación del paralelismo, pero mientras que el experimento ocurría la interpretación se deslizaba; los experimentadores se inclinaron a entender la “conservación del paralelismo” como la habilidad de copiar líneas paralelas por medio del dibujo – en las secciones 8.9-9 vamos a separar claramente la habilidad de reproducción de la de constitución de objetos mentales, que aquí ha sido mezclada.

Aun cuando el experimento con la “conservación del paralelismo” es equivocado como tal; es producido por la misma interpretación dogmática del programa Erlanger que identificamos anteriormente: el paralelismo es un concepto afín; así que como objeto mental no está bien constituido hasta que su invariancia con respecto a la trasformación afín es establecido. En el caso de la topología Piaget no hizo muchas demandas pesadas – los mapeos topológicos nunca fueron tocados. Pero la demanda en sí misma no es justificada por ningún medio, coma la constitución de la línea recta como línea de visión. La historia al menos es prueba de lo contrario. Dado que las afinidades son un descubrimiento muy reciente, ¿podría uno concluir que los matemáticos antes de ese tiempo no tenían un buen concepto de paralelismo?

No existe la más mínima duda – en la sección 8.5 traté de convencer al lector de ello – de que el paralelismo es un objeto mental que comienza tempranamente; no debe ser difícil probar esto con buenos experimentos de “conservación”. No hay ninguna razón para que la conservación deba ser relacionada con el grupo afín. El paralelismo es percibido dentro del contexto de los objetos rígidos y la primera y mejor manera de observarlo es en el contexto. A un sujeto  se le muestran las orillas paralelas de una regla, de una hoja, de una caja y se le pregunta que les ocurrirá si el objeto se mueve. No sé hasta dónde alguien haya hecho este experimento, pero cualquiera que haya estudiado la conducta de los niños no tendrá la menor duda de que esta conservación del paralelismo se constituye tempranamente. Y esto decide la cuestión. No es más que dogmatismo el requerir otra cosa. El hecho de que el paralelismo es conservado por un grupo más grande de movimientos que los euclidianos – el grupo afín – no es argumento para requerir invariancia bajo este grupo más grande como un criterio de la constitución del paralelismo. Con el mismo derecho Piaget podría haber requerido la invariancia bajo el grupo de Moebius para la constitución mental del círculo, lo que le permite a uno considerar a las líneas rectas como una clase de círculos; o requerir para la incidencia de un punto y una recta, como objetos mentales, que la invariancia con respecto a todas las transformaciones de contacto sea establecida. Un objeto mental no tiene que esperar a ser constituido pronunciadamente hasta que su invariancia esté establecida con respecto a todos los mapeos que pueden surgir en todos los contextos posibles.

En lo anterior he tratado de hacer justicia a las exposiciones de Piaget sobre conservación del paralelismo hasta el punto en que son inteligibles y consistentes. Los experimentos tienen poco que ver con estas exposiciones; los experimentadores observaban otras cosas diferentes a la conservación y el paralelismo. Más aún, el texto teórico alrededor de los experimentos es a menudo ininteligible, posiblemente debido a sus contradicciones internas, lo cual puede ser consecuencia de la autoría doble. Los experimentadores dicen que tienen dificultades en explicar a los niños lo que significan “paralelas”, o más bien ellos fueron obligados por su sistema a tener estas dificultades (p.316):

Primero que nada, ¿cómo va uno a formular la pregunta de manera que se haga comprensible la idea de paralelismo? Presumiblemente preguntando si las líneas apuntan en la misma dirección ya que cualquier idea como la de “equidistancia” introduce nociones mucho más complicadas y medidas que a su vez dependen de supuestos acerca de paralelismo (es decir el paralelismo de líneas en ángulos rectos a las que estamos considerando, llevando así a una definición circular de paralelismo en términos de equidistancia).

Me detengo aquí por un rato para dar oportunidad al lector de pensar acerca de esto. La definición de paralelismo por equidistancia no involucra ningún círculo en absoluto, pero el razonamiento que está en el paréntesis contiene un torcimiento que merece ser enderezado. Paso sobre la pregunta de hasta dónde uno debería definir paralelismo por equidistancia, hasta dónde esto es didácticamente la mejor manera o siquiera una buena manera. De cualquier manera puede ser hecho, y ha sido hecho de la manera más adecuada por Kuno Fladt. La distancia de un punto a una recta puede ser tomada en el sentido de la distancia más corta o de la distancia ortogonal y no hay la más mínima razón para la cual la medición entre líneas paralelas sea requerida a priori. La experiencia de que en la geometría euclidiana las líneas a lo largo de las cuales las distancias son medidas, son de nuevo paralelas, es un hecho a posteriori, que a cierto nivel puede ser formulado axiomáticamente.

Pero continuemos leyendo:

Alternativamente, hablar de dos líneas “inclinadas de la misma manera” significa introducir el concepto tanto de línea recta como de orientación espacial (en el original: inclinaison ou direction). Ahora nosotros hemos visto en el capítulo VI qué tan tarde llega a ser visualizada la línea recta…

Uno estaría inclinado a decir que si “línea recta” viene tan tarde, las líneas paralelas vienen aun después, así que por qué hay un argumento posterior (indicado aquí por los puntos suspensivos, donde yo interrumpí la cita). Pero esto debería  de ser entendido como sigue: el paralelismo de líneas rectas se discute con líneas ordinarias dibujadas, mientras que las líneas que dicen que vienen después, son las líneas de visión de la llamada geometría proyectiva. Con el fin de condescender con el sistema, en el que espacio proyectivo presupone el espacio afín, las líneas rectas están prohibidas de desarrollar, pero de alguna manera deben ser permitidas, porque de otra manera no se podría hacer experimentos con líneas paralelas.

…y como para el concepto de orientación [En el original: inclinaison] ésta es una materia ya sea de medir ángulos o de encontrar algún otro método para determinar la inclinación [En el original: l’identité de direction]. Pero la idea de paralelismo aparece al mismo tiempo que la de ángulos, y esto es difícilmente sorprendente dado que un par de líneas rectas se interceptan para formar un ángulo siempre y cuando no sean paralelas…

Similarmente uno podría decir: el concepto de línea recta ocurre al mismo tiempo que el de radio de curvatura porque en cuanto una línea cesa de ser recta, una curvatura finita podrá ser calculada. O: El concepto de longitud ocurre al mismo tiempo que de área, porque tan pronto la línea deja de ser delgada, se obtiene un área. Admitamos que cualquier idea tiene ligada su negación al mismo tiempo. La negación de ser paralelas puede de hecho ser formulado “formar algún ángulo (positivo)” pero esto está muy lejos de la idea de ángulo mismo, que incluye al menos conocer qué significa la igualdad de ángulos. De hecho toda esta historia es completamente contradictoria con lo que ha sido dicho unas páginas anteriores acerca de la relación entre geometría afín y proyectiva:

…y en el próximo capítulo nosotros veremos que estos conceptos gemelos [original: complémentaires] son independientes psicológicamente. Si este es el caso, necesariamente se sigue que el concepto de ángulo no puede preceder al de paralelismo, ni tampoco puede servir como medida del paralelismo de un par de líneas oblicuas.

El texto en francés es aquí incomprensible probablemente por un error del oficinista (omitió algunas palabras). El traductor intentó hacer lo mejor de éste, aunque yo hubiera preferido “sirve para medir hasta dónde dos líneas son paralelas”. El texto continúa:

Esto nos deja con la idea de idénticas en orientación [direction] pero esto es pronto desechado cuando nos damos cuenta que el concepto de orientación espacial [direction] es el fundamento [point de départ] del sistema de coordenadas en sí mismo. Y como pronto será visto en el capitulo XII, su desarrollo es un asunto extremadamente complejo y dilatado…

Un razonamiento similar podría ser: la suma es difícil por que la multiplicación descansa en ella. O: El área de un rectángulo es un concepto difícil por que se necesita la definición de integral.

Para tener la historia completa: cualquiera que alguna vez haya estado ocupado con los niños y en la educación sabe que los ángulos y las medidas angulares son objetos mentales mucho más difíciles que los de paralelismo. No es un problema de explicación, digamos a un niño de cinco años lo que las líneas paralelas son: muéstrale un ejemplo o dos, y quizás un contraejemplo. Con niños algo más grandes incluso se puede analizar exitosamente el fenómeno del “paralelismo”. Para hacer esto no necesitamos ser capaces de medir longitudes, dejemos sólo a los ángulos.

Más aun, la aclamada dependencia del paralelismo en los ángulos es inconsistente con la afirmación de que en términos de desarrollo el espacio afín precede al espacio euclidiano. Pero leamos un poco más:

En corto, no es más simple imaginar el paralelismo entre dos líneas que entre los lados de una figura cerrada y bien organizada como el rombo. Pero se puede preguntar, ¿sí ha de ser más simple de percibir aun cuando no de imaginar, verdad? Aquí el resultado de comparar estimados perceptuales [données] es algo relevante, porque el estudio real de la percepción del paralelismo lleva a la conclusión de que la idea de paralelismo precede a su percepción exacta, más que ser la consecuencia de ella como podía haberse pensado.

Wursten  [op. cit.] llevó a cabo el siguiente experimento: a veinte adultos y veinte niños con edades entre 5 – 6 y 12 –

13 años les fue pedido que compararan las longitudes de líneas oblicuas dibujadas en tarjetas. Alternativamente ellos fueron invitados a dibujar líneas verticales, horizontales, y oblicuas, o también a ajustar varas de metal en posición paralela. Los hallazgos de Wursten fueron los que siguen: primero, las paralelas nunca son enteramente percibidas sin errores, aun con los adultos experimentados. Ésta es una confirmación más del carácter intelectual, lógico [caractère rationnel] de los conceptos geométricos que gobiernan e influyen [informent et corrigent] la percepción más que ser completamente dependientes de ella…

El último subrayado es correcto, pero no como una conclusión de lo precedente. Un cierto concepto es independiente de la percepción no por que la percepción propicie errores, si no por que el concepto nos permite establecer el hecho de que la percepción es equivocada.

… Segundo, y más importante, la comparación de variaciones en los errores iniciales y constantes mostró que la percepción de la inclinación [inclinaison] y de la orientación espacial [direction] eran extremadamente pobres antes de las edades de 7 – 8. La razón por la que los niños pequeños son mejores que los adultos al comparar las longitudes de líneas apuntando en diferentes direcciones es precisamente por que para ellos es indiferente su orientación relativa.

Aquí una nota al pie de página, particularmente relevante, es añadida:

Una dificultad menor es experimentada con rectas paralelas, horizontales y verticales. De aquí que en estos dos casos se puede ver que la percepción del paralelismo precede a la idea [notion] de ello.

Tómese un buen trago[9] de ello. “Vertical” y “horizontal” significan aquí, como prácticamente en el libro entero, aun en las entrevistas con niños, direcciones no en el espacio, sino en la mesa que está entre el experimentador y el sujeto. “Vertical” es la dirección de uno al otro, “horizontal” aquella que es ortogonal a la primera, a lo largo de su pecho. Es en este mundo que el sistema de coordenadas del capítulo 13 de este libro surge. Caminar alrededor de la mesa, al menos mentalmente, rotar la mesa o los dibujos en ella, está prohibido. Es un mundo encerrado en un rectángulo. En el libro completo Représentation de l’espace chez l’enfant el espacio prácticamente no ocurre – El mundo es plano y lo más frecuente es que sea una mesa, dirección significa una orientación con respecto a las orillas de la mesa. Sólo los pequeños no pueden ser forzados a este marco. Ellos se desenvuelven mejor en los experimentos significativos, que no dependen del marco. Al despreciar el marco insignificante ellos muestran más visión matemática genuina que la que los experimentadores permiten mostrar a los sujetos más grandes y adultos.

Lo dejo aquí, pero no puedo sino preguntarme a mí mismo: ¿Es esto realmente Piaget, o él nunca vio las pruebas?

8.8 Reproducción – Simbólico e Icónico

Los investigadores – piagetianos y otros – muestran a menudo que no admiten el hecho de que la falta de nombres para los objetos mentales y las acciones – o la falta de conocimiento de los nombres convencionales – no prejuzga nada con respecto a la posesión de los objetos mentales o de las acciones mismas. Pero aun admitiendo el hecho, eso no lo protege a uno contra serias concepciones erróneas. Incluso las llamadas pruebas no-verbales no necesariamente prueban nada. Uno no puede medir hasta dónde o hasta qué grado los objetos mentales (o los conceptos) círculo, cuadrado, línea recta y así sucesivamente, están presentes haciendo que el sujeto dibuje o reproduzca de alguna otra manera esa figura. Cualquiera que ha observado a los niños, está familiarizado con las dificultades técnicas que ellos tienen para expresar sus intenciones con instrumentos de dibujo en papel o de otra manera – intenciones que simplemente pueden perderse en sus intentos fallidos. Yo no puedo comprender cómo es que algunos investigadores –incluido Piaget – se las arreglan para interpretar la insuficiencia para reproducir figuras por congruencia o semejanza como una prueba de la prioridad de la topología sobre lo euclidiano. Mientras tanto, investigadores más críticos han mostrado que los niños pequeños son definitivamente hábiles para distinguir una mejor copia de un círculo de otra más deficiente y de apreciarlos como tales. Hay un gran espacio entre reconocer las figuras como congruentes o semejantes y ser capaces de copiarlas como tales, no sólo para niños pequeños sino también para los adultos, a menos que ellos estén dotados con extraordinario talento gráfico. Sin embargo, todavía hay investigadores que olvidan estas claras diferencias.

La confusión está, sin embargo, enraizada más profundamente, en la relación entre realidad, imagen, y lenguaje, o más aún en la manera en que esta relación es experimentada. Todo mundo entiende lo que es un árbol, aunque hay casos que están en la frontera, en donde uno podría dudar entre si algo es todavía un árbol o ya no es más un árbol. Un dibujo de un árbol – dibujado o esculpido – será reconocido, al menos entre nuestro ambiente cultural – un Indio del Amazonas o un esquimal de Groenlandia lo puede ver diferente. Aquí también hay casos que están en la frontera: ¿qué tan lejos puede el artista ir en el trazado o en la manera impresionista para obtener algo aceptado como para ser la imagen de un árbol? Pero detrás de los árboles y de las imágenes de los árboles existe la palabra ‘árbol’, aceptada en todo el mundo por todas las personas de habla española (tree en caso del inglés) para designar un árbol, aunque las confusiones son posibles entre personas que lo pronuncian diferentemente. Y finalmente está la imagen grafica á-r-b-o-l (t-r-e-e) para la palabra “árbol” que en impreso o en escritura pueden verse diferentes, conocida como tal para las personas que han aprendido a leer y escribir.

En cada caso particular nosotros sabemos muy bien a cuál “árbol” se está haciendo referencia. Si la maestra pronuncia la palabra árbol, depende de la situación si el alumno apunta a un árbol, o al dibujo de un árbol, si él repite la palabra árbol o la escribe. Por supuesto la falta de comprensión es posible aunque, en general, no es seria. Más serio es que la mayoría de los autores de libros de texto de teoría de conjuntos para primaria y secundaria se encuentren en problemas o arrastren a los usuarios de sus libros a encontrarse en problemas con conjuntos cuyos elementos pueden ser árboles o dibujos de árboles o nombres o dibujos gráficos de nombres de árboles y finalmente todos ellos en el mismo diagrama de Venn.

Yo traigo esto a colación aquí, no para identificar esta clase de concepciones erróneas en las pruebas experimentales (han sido hechos, especialmente con bloques lógicos), sino porque temo que las concepciones erróneas acerca de la reproducción puedan influir desfavorablemente la comunicación entre el experimentador y los sujetos.

El niño se encuentra enfrentado en una etapa temprana con dos maneras fundamentalmente diferentes de reproducir objetos y eventos – esto es, fundamentalmente diferentes desde nuestro punto de vista: el dibujo de un camión de bomberos en acción, por un lado, y por otro el texto impreso, que de acuerdo con el lector contiene la frase “carro de bomberos” y una historia acerca de extinguir un gran fuego. El niño mismo puede interpretar los dibujos y puede comprobar la autenticidad de la historia al leerlo una vez más, por el mismo o por otro lector. ¿Cómo es que el niño experimenta este contraste patente – patente para nosotros – entre los medios de reproducción icónicos y simbólicos? Yo no puedo contestar esta pregunta. ¿Es el contraste realmente sentido como tal ó ¿es que, para el niño, un dibujo resulta tan pictórico como el otro? ¿Es más hábil el adulto para ver las pinturas, de la misma manera que él puede dar pasos más largos, trepar más alto y hablar más fuerte? ‘Escribir’ y ‘dibujar’ muchas veces son usados como sinónimos por los niños, así como ‘leer’ y ‘mirar dibujos’.

Uno puede ciertamente observar en los niños, cuando uno se fija en sus medios internos y externos de expresión, un desarrollo de lo icónico a lo simbólico. Sin embargo, la cuestión que me hace cuestionarme es hasta dónde y cuándo el niño dibuja una línea frontera entre la representación icónica y la simbólica. Si un niño entre dos y cuatro años dibuja – aparentemente al azar – unas cuantas líneas y asegura que es el tío John o una casa de muñecas o si él responde a la propuesta “dibuja un…” con un sistema semejantemente desorganizado de rayones, es entonces cierto que él está ocupado icónicamente, que él tiene intenciones icónicas, o ¿actúa él en las mismas tierras legales que el adulto que dice que ve un “árbol” donde no hay nada que parezca un árbol? ¿No será más probable que un niño que empieza dibujando, o reproduciendo de alguna otra manera, cierta realidad, se está moviendo en una esfera donde lo icónico y lo simbólico aún no están separados? Una vez yo observé tal separación volviéndose consciente:

Bastian (4;8) quien es animado a iniciar tempranamente una lista de sugerencias de regalos para su cumpleaños: “¿Escribiendo con palabras o dibujando con dibujos?”

Para muchos la separación comienza tempranamente, ¿Cuánto dura el proceso? Yo estoy seguro que existen personas que nunca manejan esto completamente, que permanecen convencidos de que un árbol es llamado “árbol” porque de alguna extraña manera la palabra “árbol” es semejante a un árbol, que la palabra gráficamente reproduce el árbol – es una clase de pensamiento mágico – . De hecho, los libros de texto de teoría de conjuntos son una prueba de qué dificultades pueden tener en este campo incluso los adultos.

Aun si se dibuja una línea fronteriza entre la reproducción icónica y la simbólica, puede que no sea la misma que los adultos acostumbramos. Una imagen dibujada de una casa, que nosotros pensamos que es icónico, podría ser tomada como simbólica, o el simbolismo podría haber dominado su producción. Aun niños de escuela a los que les he pedido dibujen su propia casa, pueden producir un estereotipo que no se parezca a su propia casa, con detalles estereotipados tales como cortinas de rincón como las que ellos sólo pueden haber visto en algunas casas estándar en libros de imágenes – el símbolo de una casa.

¿Cómo es que un psicólogo se las maneja para tener a los niños produciendo e interpretando dibujos sin estar seguro de que el niño entiende las designaciones con el significado que se pretende, hasta dónde conciben ellos lo icónico con significado icónico, y lo simbólico con el significado simbólico, hasta dónde dibujan ellos las fronteras cuando se les pide y hasta dónde conocen ellos del todo tales fronteras – al menos operacionalmente?

Para el  experimentador, el dibujo de un círculo con un triángulo equilátero inscrito tiene una estructura determinada por sus experiencias geométricas; para un niño que no tiene tanta experiencia con figuras geométricas, la figura puede no tener significado, o ser ornamental, o un dibujo – icónico o simbólico – de algo, y la visión particular que tiene de la figura determina cómo reaccionará cuando se le pida copiarla. El niño puede haber visto los símbolos de Fiat PTT, BW, y reconocerlos por cierto parecido estructural, aun cuando todas sus componentes no sean del todo congruentes o semejantes. Pero el círculo con el triángulo inscrito – ¿Qué es lo que simboliza y qué detalles importan si tiene que ser copiado? ¿Debe el círculo ser realmente redondo, el triángulo inscrito precisamente equilátero, o hay alguna desviación admisible?

Los adultos que no tienen la más ligera dificultad para reconocer el símbolo de las vías de ferrocarril holandesas (figura 86) tienen una gran dificultad para dibujarla de memoria, e incluso al copiarla,  ellos repetidamente vuelven a ver el modelo. ¿Por qué? Porque es un símbolo arbitrario que no tiene un contexto claro. El círculo con el triángulo inscrito, sin embargo, puede ser colocado en un contexto geométrico, construido a partir de objetos geométricos.

Figura 86

Los investigadores ponen a los niños a copiar modelos sin verificar si ellos entienden lo que significa copiar algo. Posiblemente hasta ese momento estos niños solamente han dibujado objetos. Para copiar algo, uno debe saber qué es lo que importa. ¿Es el modelo a ser copiado un icono o un símbolo? Por ejemplo ¿el dibujo de un poste de direcciones, donde los ángulos de las varias “manos” tienen que ser respetadas pudiera en su lugar ser el símbolo de cruzamiento de vías de tren, con la disposición simétrica de los brazos cruzados? Aprender a escribir letras y figuras parece ser una pugna entre la reproducción icónica y la simbólica. Aunque los iconos de una figura geométrica, las letras b, d, p, q,  tienen diferentes valores simbólicos.

Bastiaan (5;6), que se permite todas las libertades con las imágenes de las figuras 0, 1, …,9, protestó cuando – en un texto escrito con máquina de escribir – la figura 1 era indicada por la letra l.

Saber qué es lo que importa es una precondición para el copiado – los experimentadores no tienen el hábito de decir a sus sujetos, tal vez porque en su propio mundo sucede sin decirlo, o quizás porque si lo explican, el problema sería demasiado fácil. Hasta dónde es diferente que, si el tío Sam es copiado, obtenga la altura prescrita de su sombrero de que se olviden las “barras y las estrellas”. Es una cosa diferente dibujar un conjunto de dientes, o un conjunto de dientes como el símbolo de Jimmy Carter. Hay muchas sombras entre lo icónico y lo simbólico. La caricatura puede mostrar más parecido que un retrato, pero entonces es un parecido con una persona que se ha convertido en un símbolo.

8.9 La Reproducción Desde el Contexto Geométrico

En la sección 8.5 yo traté con el contexto de lo rígido, de los cuerpos rígidos congruente o semejantemente reproducibles, en la sección 8.6 el mundo de las cajas, también reproducible, sin embargo no tan rígido; nosotros aprenderemos de otros contextos, aún menos rígidos o tan individualizados que ningún pensamiento de reproducibilidad puede surgir. De hecho, los objetos en nuestros contextos no son necesariamente cuerpos, aun si el término cuerpo no incluye la tridimensionalidad. En cualquier caso la posibilidad de reproducción es una característica importante para los objetos geométricos – la reproducción por medios accesibles o creados para este objetivo especial, algunas veces con grandes dificultades. Nosotros conocemos modelos de alambre, modelos de plastilina, modelos de cartón, de figuras tridimensionales, pero la reproducción más usual es: en el pizarrón o en el papel, en libros y sobre hojas.

La prescripción que el adulto espera observar es para representar cosas visualmente en la manera que él las ve. El arte arcaico y primitivo, sin embargo, muestra que esto no es así de fácil el ver cosas “de la manera que uno las ve”. Una teoría geométrica – perspectiva – fue creada con el fin de deducir cómo es que las cosas son vistas, y experimentalmente esta teoría puede ser confirmada por medio de una cámara, al menos hasta donde está permitido identificar el lente de la cámara con el ojo, uno con otro, así como el papel foto-sensitivo de una película con la retina. Sin embargo, desarrollar una película y procesar una imagen de retina en el cerebro parece que no son procedimientos isomorfos. En cualquier caso la imagen mental de, digamos, un cubo parece diferir considerablemente del objeto visual prescrito por la teoría de la perspectiva. Ver, interpretar, y producir dibujos en perspectiva no es una habilidad trivial, sino algo que debe ser aprendido. Por ningún motivo puedo decir cómo se ve la imagen mental de un cubo – de hecho esto depende de una variedad de circunstancias. Ciertamente involucra más y otras características que aquellas que uno ve o espera ver. Involucra todo lo que se necesite para reconocer, hacer, producir, y reproducir cubos. Ello incluye seis caras, aunque uno no puede ver más de tres al mismo tiempo y podría estar inseguro acerca del número exacto, 4, o 6, u 8. Acerca de un hombre que se tiene enfrente, uno sabe que tiene una espalda aunque esta sea invisible; acerca de una casa, que contiene cuartos y escaleras detrás de sus paredes.

Uno tiene más órganos de los sentidos que los ojos, y un dibujo puede ser usado para comunicar más que la percepción visual. El niño pequeño aún no divide su conocimiento acerca del mundo en compartimientos de acuerdo con los, así  llamados, cinco sentidos. Un niño de cinco años, icónicamente precoz amplificó sus maravillosos dibujos de aeroplanos con imágenes del ruido producido por las máquinas del jet. Un niño de seis años reprodujo la luz que gira de una ambulancia con un trío de tres focos uno hacia el frente, uno hacia la derecha, y uno a la izquierda. El deseo de expresar cosas diferentes que aquellas que el ojo percibe de acuerdo con la teoría, no es restrictivo de la niñez. El gran problema al que cada pintor se ha enfrentado es  procesar sus impresiones, de manera que reproduzca una realidad más objetiva de lo que son sus impresiones. Lo simbólico esta enredado con lo icónico; los puntos de vista son elegidos con el fin de que lo icónico haga justicia a lo simbólico – una regla aun observada por un fotógrafo.

Algunos niños de cinco a seis años dibujan casas con un frente con fachadas de frente y de lado. Esto parece un intento de perspectiva aunque también puede ser una imitación de un método de dibujo mal entendido. También puede atestiguar una reflexión, pero aún no gobernada por la perspectiva: desde cientos puntos de vista uno puede ver, de hecho, dos lados de una casa, pero todavía no interesa cómo es que esto sucede en detalle. Es difícil darse cuenta de lo que es adquirido al hacer preguntas al tiempo que el niño produce respuestas ad hoc:

Bastiaan (4;3) ha dibujado una casa con muchos cuartos y apartamentos. Solamente hay un baño. Cuando se le pregunta sobre ello él contesta: “todos los baños son iguales, ¿o no”?

La instrucción geométrica tradicional ni siquiera enfrenta el problema de la reproducción. Se espera que el niño haya atrapado de alguna manera y aceptado los métodos de reproducción del adulto. Un cubo es dibujado en el pizarrón, supuestamente en perspectiva, pero para evitar una apariencia demasiado extraña, con aristas paralelas. Después esto puede ser justificado matemáticamente viendo desde una distancia infinita, como ellos dicen, pero un cubo visto de tan lejos sería infinitamente pequeño. Aunque todas las contradicciones sean eliminadas de los métodos de reproducción de los adultos, incluso aquellas que pueden ser solamente justificadas por su utilidad e intuición, tales como la representación usual (figura 87) del globo con ecuador y polos –contrario a la perspectiva pero sugerente y convincente.

Figura 87

La perspectiva es représentation de l’espace, no en el sentido de un objeto mental sino de reproducción en un pedazo de papel, un método adquirido por imitación, que es sistemáticamente ejercitado al enseñar al alumno a ver lo que él ve – líneas, planos, luz, sombra – y que es finalmente racionalizado en una teoría completamente desarrollada. Pero para subrayarlo una vez más, la perspectiva primaria no es un contexto geométrico sino una clase de reproducción, lado a lado de otras, y esto permanece inalterado por un tiempo largo.

Esto no es cierto para la perspectiva solamente. Inicialmente, y hasta un nivel muy alto, la reproducción es un asunto de imitación, aún antes del jardín de niños. Tan pronto como el niño se pone en contacto con niños más grandes, su método de reproducción es influenciado. De hecho, los adultos también producen a veces los métodos de dibujo de bebé junto con el más familiar lenguaje de bebé con el fin de ser imitados.

Daphne (5;1) me da el dibujo de una casa con dos chimeneas que como es usual fue dibujado ortogonal a los planos del techo, más que verticalmente. Yo la tomo y la llevo a la ventana y le muestro un techo con una chimenea. Inmediatamente ella hace una corrección al dibujo. Esta reacción espontánea es asombrosa. Claramente su dibujo original no era otra cosa que la imitación de lo que ella había visto de otro niño.

Un dibujo más o menos complejo de un niño es una composición de partes más o menos obligatorias, combinado de una manera más o menos funcional – la reproducción de una estructura combinatoriamente flexible; lo que cuenta es la combinación de las partes: los ojos están en la cabeza, las orejas y los brazos, tal vez también la panza esta sistemáticamente conectada a ella, uno a la derecha y otro a la izquierda, uno detrás del otro, uno delante de otro. Las partes pueden tener significado icónico, pero su presencia y la ocasión es simbólica. Esto es todavía un contexto geométrico, no topológico sino más bien combinatorio, con partes determinadas por la flexibilidad de la estructura. Las relaciones de tamaño son reproducidas simbólica más que icónicamente – de nuevo esto no es un asunto de objetos mentales defectuosos sino de principios de reproducción (como en el caso de la perspectiva) donde lo simbólico es dominante o no separado aún de lo icónico.

Como sea que uno mire un cubo o que le de vuelta, uno no puede ver más de tres caras al mismo tiempo. Para ser un cubo, se necesitan seis. La técnica que da cuenta de esto, es la de desarrollos planos. En el desarrollo plano del cubo uno puede ver las seis caras al mismo tiempo, y mientras no esté claro, uno pude indicar las aristas que tienen que ser unidas, mentalmente o con cinta adhesiva. Esto también es una reproducción del cubo, no una perspectiva sino una combinatoria de partes que respetan la semejanza de la reproducción. En los planos arquitectónicos es lo mismo: cada piso del edificio es indicado separadamente a escala, en ellos la combinación de las partes está marcada por signos especiales, así como por escaleras y elevadores; flexibilidades, tales como puertas y ventanas también pueden ser indicadas. Otro método involucra tres planos de proyección; del plano, elevación frontal, elevación lateral.

Llamemos a esta clase de reproducción, que es combinación de partes icónicas y da cuenta de las flexibilidades – compositoria. Es más flexible que la perspectiva; y en geometría es al menos igual de importante para reproducir objetos. Los métodos del niño son predominantemente compositorios. Si él quiere dibujar el interior de una casa con dos pisos, una vez que el cuarto de enfrente del piso de abajo ha sido dibujado se tiene que resolver el problema de la composición de los cuartos de la parte de atrás del piso de abajo y del cuarto frontal del piso de arriba. De alguna manera él lo resuelve –puedes decir que de una manera primitiva, sino fuera por el hecho de que los adultos tampoco saben cómo hacerlo. Hay técnicas de reproducción requeridas para resolverlo, como el caso del desarrollo plano del cubo, los planos arquitectónicos, la geometría descriptiva, o la sofisticación artística.

Pero lo que quiero subrayar aquí es que el método de composición en la reproducción, por ejemplo, de un cilindro por medio de un rectángulo y dos círculos, ó un cono con un triángulo y un círculo, que de algún modo están relacionados uno con el otro, de ninguna manera es testimonio de objetos mentales defectuosos. Por el contrario, esta manera de reproducir puede probar una visión de los objetos mentales mejor que la reproducción por medio de la perspectiva adquirida por imitación.

Otro método de reproducción es el topográfico, como se usa en los mapas geográficos, redes de ferrocarril, mapas de carreteras, la mayoría de ellos a escala, pero no icónicos, con ciudades, pueblos y villas indicadas con puntos demasiado grandes, mientras que los ríos, las carreteras, las vías del tren se muestran con líneas demasiado delgadas; con aeropuertos simbolizados por dibujos de aeroplanos, las fuentes y los ferris con otro símbolos. ¿Es entonces una idea loca el que un niño de cinco o seis años que dibuja una red de calles, el colocar las señales de alto y prioridad como si estuvieran en la tierra? El simbolismo en la topografía del adulto es más sutil pero es simbólico y muy a menudo convencionalmente simbólico. Si nosotros no deducimos a partir de la reproducción topográfica del adulto la conclusión de que ciertos objetos mentales, como la perpendicularidad, están faltantes, nosotros no estamos autorizados para imputar al niño tales deficiencias.

 8.9 Desprendiéndose de y Poniéndose Dentro de, un Contexto Geométrico

Los ejemplos del contexto de los cuerpos rígidos en la sección 8.5 mostraron cómo los contextos geométricos aparecen. La producción natural, las artesanías, la manufactura y la industria nos han familiarizado con figuras geométricas su congruencia y semejanza, con recti-linealidad, ortogonalidad, simetría, paralelismo. Las mesas, las puertas, las hojas de papel, las ventanas, las camas son producidas rectangularmente y nos imponen el rectángulo como objeto mental; nosotros estamos preparados para aceptar el nombre “rectángulo” y nombrar a cada rectángulo (incluso un cuadrado) rectángulo. Por supuesto las cosas no son tan simples a veces. ¿Es un diamante un rombo o un cuadrado? El pararse en una esquina puede ser una propiedad más importante que tener la misma forma. Un rectángulo largo se ve diferente que uno alto, un cilindro que está acostado se ve diferente de uno que está parado – consecuencias típicas de una instrucción geométrica guiada, más que por los objetos, por sus dibujos. Los rombos en los rompecabezas, los cubos y cilindros de las cajas de construcción, se ajustan mejor al contexto de los cuerpos congruentemente y semejantemente reproducibles y rígidos.

Los contextos no deben ser tomados como algo dado, pero una vez entendidos, pueden funcionar confiablemente. Esto presupone que las características que importan en el contexto son paradigmáticamente claras.

Un niño entiende tempranamente qué cosas deben ser clasificadas como sillas, pero en un cierto contexto a una silla se le puede asignar el ser una locomotora o un barco. Palabras como triángulo, cuadrado, rectángulo pueden estar llenas de sentido usadas por niños pequeños, aún para reconocer estas estructuras geométricas donde están oscurecidas por la rugosidad, la imprecisión y las esquinas redondeadas. Una banca (sin respaldo) hecha de tres tablas paralelas con dos intersecciones puede verse como un rectángulo o como tres de ellos dependiendo de su preferencia. La gestalt que forma procedimientos que están activos aquí, no se restringe solamente a la geometría. No difieren en nada de aquellos por los cuales interpretamos una constelación como un cazo, o una nube como un elefante.

El contexto requerido para reconocer y reproducir figuras puede ser determinado más o menos filosamente por los datos, y quién quiera interpretar el comportamiento de otros en tales actividades, debería primero analizar cómo los resultados son determinados por el contexto sugerido.

Supóngase que a una persona se le da material, digamos platos, que difieren con respecto a

forma externa – triángulos, círculos, cuadrados y así sucesivamente,

acabado – esquinas redondeadas o filosas, superficie rugosa o pulida, con ranuras o agarraderas y así sucesivamente,

forma interna – con números de agujeros varios de varios tamaños y formas (triangulares, redondos, cuadrados) y en varios arreglos,

grosor

color o colores,

materia –madera, plástico, metal.

Algunas conclusiones pueden ser obtenidas a partir de la manera en que un sujeto clasifica el material. Por ejemplo, uno espera que algunos sujetos o sujetos de clase de edad clasifiquen primariamente y por preferencia de acuerdo a cierto criterio, y uno prueba hipótesis de este comportamiento. Al variar el número de objetos que representan a cierta clase, subrayando más o menos algunas diferencias entre las características de la clase, controlando la distribución de las características sobre las clases, emparejando características más o menos cercanas una con otra, uno puede influir en los resultados de manera decisiva. Puede suceder que el grosor sea la característica más notoria, porque solamente hay dos clases de grosor, o porque hay diez de ellas que están regularmente graduadas. Si se admiten solamente dos o tres colores extremadamente diferentes, el énfasis puede ser transferido al color. Si el material es apropiadamente elegido la característica más impactante puede ser grande o pequeño, o picudo y redondo, o con hoyos redondos y no redondos.

Los criterios geométricos de clasificación pueden ser

congruencia,

semejanza,

afinidad,

equivalencia combinatoria,

equivalencia de flexión,

equivalencia topológica,

pero el contexto geométrico en que tales criterios deben ser aplicados, no es del todo auto-evidente. Uno puede decir a un niño de 5 años que no tome en cuenta el grosor, el color, el acabado, pero sí tales instrucciones faltan, aún un niño de 13 años podría ser incapaz de poner el material en un contexto geométrico, y esto pasaría ciertamente si son incluidos distractores suficientemente fuertes. Esta clase de experimento, si es tomado con el fin de investigar los desarrollos hacía el contexto geométrico o fuera del contexto geométrico es inútil a priori.

Los etologistas han experimentado con dibujos más o menos vagos de búhos mostrados a pájaros cantores para provocar conductas de miedo, espanto. Ellos pueden decirte qué tan lejos pueden llegar al eliminar ciertas características, la cresta de un macho, el color rojo de la panza de un rival putativo es la señal para defender su territorio. El hombre – niño, adolescente, adulto – reconoce lugares, cosas, personas e identifica clases con el fin de clasificar, por medio de un pequeño número de criterios que raramente se vuelven conscientes. Pero con respecto a los objetos geométricos, el desarrollo mental puede llevar a hacer conscientes los criterios de reconocimiento y clasificación.

Al menos así parece. Sin expresarlo verbalmente, uno puede hacerse a sí mismo y a los otros absolutamente conscientes de lo que es un triángulo, un círculo; lo que son líneas que se interceptan, cuál es la estructura de un cubo. Pero es mucho menos claro el por qué suscribimos a un dado de marfil con orillas y vértices redondeados la forma de un cubo o, dicho más agudamente, de un dado de madera con orillas y esquinas filosas. ¿Cuáles son los criterios? ¿Cómo es que el dado es colocado en el contexto geométrico donde es juzgado que representa un cubo? – de hecho, también funciona igual de bien en el contexto del juego y la probabilidad. ¿Cómo podemos ser capaces de estar de acuerdo acerca de qué tan mal ha sido dibujado un rectángulo para ser aceptado como tal, dónde termina la tolerancia y dónde se hacen requerimientos más agudos?

Bastiaan (5;6) describe la forma de un pedazo de madera que dice que necesita, como “el frente de un carro”. Parece que él quiere decir un rectángulo. Aunque los adultos no lo dirían de esa manera, es correcto que la parte frontal de muchos carros es burdamente un rectángulo.

Bastiaan (6:0) dice acerca de una lata vacía de cerveza que está un poco comprimida de dos lados y muestra una sección más o menos cuadrada: “esto es un cuadrilátero”

¿Por qué son ellos rectángulos y cuadrados (esto es lo que quiso decir)?. Uno podía haber continuado la conversación: “Un rectángulo tiene esquinas picudas, pero esta lata está toda curveada” pero yo mismo tenía que admitir que eso era más o menos cuadrado, y él hubiera contestado lo mismo. Bajo ciertas circunstancias “rectángulo” “cuadrado” pueden ser descripciones excelentes de las cosas.

Bastiaan (6:2) juega con una vara con un surco longitudinal y dos tapas de botella que encontró en el bosque, como si fueran una ametralladora y dos balas. “¿Cómo se ve una bala?” él pregunta aunque sabe cómo dibujarla de hecho. Yo digo: “un cilindro con una punta de cono” yo no creo que él conozca la palabra cilindro. Sin embargo solamente me pregunta que qué es un cono. Yo digo: “un sombrero de payaso”. Luego le dejo que muestre cilindros: pedazos de troncos de árboles y botes de basura. También le enseño discos planos. Él acepta que son cilindros aunque con la reserva: “debemos llamarlos discos” yo le pregunto qué es lo que ves si tu cortas un cilindro “de esta manera”. Sus respuestas no tienen nada que ver con la forma geométrica; están relacionadas con los casos particulares. Lo ayudo con la palabra “círculo”, la cual aparentemente él no conoce. Yo le muestro ejemplos como la sección de un árbol, el aro de una canasta de básquet, un botón y le menciono el sol y la luna (o él también lo hizo), y finalmente le enseño el agujero circular en la tapa de la lata de cerveza. Él protesta: “esto es un poco largo. De hecho era elíptico – una deferencia de menos de 10%. Al día siguiente él usaba la palabra “círculo” correctamente.

Las secciones de árboles se veían mucho menos como círculos que el agujero en el metal. Pero entonces no protestó; sobre el agujero lo hizo. ¿Por qué? Claramente uno no puede pedir demasiada forma geométrica de la sección de un árbol como la puedes pedir del agujero simétrico formado por una curva suave. La sección de un árbol no pretende ser un círculo pero el agujero casi circular sí y consecuentemente tiene que ser juzgado con un criterio más agudo – algo como esto debe haber sido los antecedentes de su evaluación.

En la oportunidad que yo relaté en la sección 1.28 explicaba a Bastiaan lo que es una mitad – él no conocía esta palabra, al menos no la relacionaba con longitud o distancia – rompiendo una vara (no exactamente) a la mitad; él protestó porque su mitad era más larga. De nuevo aquí observamos la presencia del objeto mental y la prueba del ejemplo – el primer ejemplo – por el objeto mental.

¿O acaso abuso del término “objeto mental” y debería más bien hablar de imaginaciones visuales? Bien, son imaginaciones visuales pero diferentes de aquellas que nosotros tenemos de los animales, los árboles, las piedras. El contexto de la geometría implica que ellas son imaginaciones normativas, algo como las ideas de Platón, aunque yo no quisiera argüir acerca del origen de estas normas – no importa hasta dónde son objetivas, genéticamente determinadas o adquiridas por el desarrollo.

¿Estoy autorizado a llamar imaginaciones a “objetos mentales” que tienen este grado de exactitud”? Esto es una pregunta que no tiene sentido. Mejor haré otra pregunta. ¿Cuál es el siguiente paso en el desarrollo? ¿El concepto de círculo, cuadrado, mitad? ¿Una definición como “el círculo es el lugar geométrico de…”, o en un estilo moderno “el círculo con centro M y radio r es…”? ¡No! El siguiente paso es una pregunta – la pregunta es cómo hacer un círculo, cómo producir un cuadrado, cómo partir algo a la mitad. Uno puede sugerir la respuesta manejando material, o permitiendo al niño elegir del material que se le ofrece. Uno podría pretender una construcción mental haciendo la pregunta más aguda: “¿Cómo lo puedes hacer más preciso?”.

Bastiaan (6;4) Pregunta: “¿Dónde esta el centro de Holanda?” (Posiblemente él ha escuchado acerca del Utrecht como tal.) Yo le digo que no es fácil determinarlo, y después: “¿Cuál es tu centro?” Él muestra su punto más alto. Yo argumento que más bien debería estar en la panza. Después le pregunto acerca del centro de un mosaico de un pavimento (Figuras 88 y 89). Primero él niega su existencia. Después el muestra lo que es aproximadamente el centro. Le digo que lo haga más preciso. Él produce el surco entre la siguiente hilera de mosaicos y la corta en lo que estima es la línea media entre los otros dos lados. Yo le explico que es más fácil con líneas oblicuas. Él dibuja las diagonales, yo menciono la palabra diagonal. En una banca le pregunto que indique la diagonal de su base. Él dibuja una línea que forma un ángulo de 45° con los lados del rectángulo. Yo muestro indignación. Él se corrige a sí mismo inmediatamente.

Figuras 88 y 89

¿Es que el contexto de geometría no es entendido hasta que la cuestión de la construcción precisa surge para ser respondida? De cualquier manera la cuestión es característica de un cierto contexto. Aun entonces la respuesta puede ser diferente de acuerdo con qué tanta precisión es medida mentalmente – esto también requiere un contexto.

Resumiendo: ¿Qué síntomas indican la habilidad de entender un contexto geométrico y de poner objetos en él?

Mostrar conocimiento de lo que importa en el contexto, por medio de

el reconocimiento,

la clasificación,

la reproducción material,

el dar nombre,

la reproducción mental,

de objetos mentales y procesos y

haciéndose consciente a uno mismo y describiendo

estas actividades.

¿Y cómo es determinado “lo que importa en el contexto”? por

la naturaleza, la artesanía, la manufactura, la reproducción industrial, los ejemplos paradigmáticos, la explicitación.

Actividad final

Después de leer el capítulo responda a las siguientes preguntas:

1. ¿Qué objetos mentales de la geometría cree usted que se pueden trabajar en preescolar?
2. ¿Qué objetos mentales de la geometría cree usted que se pueden trabajar en la primaria o en el grado en que trabaja?
3. Vea los dibujos que hizo y pregúntese si esos dibujos demuestran su conocimiento sobre los conceptos relacionados.

4.      Lea nuevamente los 15 últimos renglones del capítulo y describa una serie de actividades que permitan a sus alumnos enriquecer su objeto mental relacionado con alguno de los conceptos que les debe enseñar de acuerdo con el currículum oficial.

Lea sus respuestas a las preguntas que respondió antes de leer el capítulo y analice si lo que leyó y las preguntas anteriores lo llevan o no a modificar

 esas respuestas.

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[1] En francés en el original “La représentation de l’espace chez l’enfant”.

[2] Nota insertada por el autor: Paris, 1948. English Translation: The child’s Conception of Space, Routledge & Kegan Paul, London, 1960. – Para algunas citas se ha usado esta versión en inglés, aunque en algunos lugares no coincide con la original en francés; en un lugar ha ser citado, sin embargo, la traducción es mejor que – el incomprensible – texto francés.

[3] Así lo hace Theaitetos cuando cita a Old Theodoros.

[4] Mathematics as an Educational Task (Obra de Freudenthal).

[5] Représentation (en francés en el original).

[6] Otro trabajo – J. Piaget, Barbel Inhelder y Alina Szeminska. La geometría espontánea del niño, París, 1948 – El inglés se ha convertido en la versión La concepción del niño de la geometría. Uno correctamente podría dudar hasta dónde hay algo de geometría espontánea en este trabajo pero de cualquier manera “la concepción de geometría” no tiene sentido. En la nota al pie de página a la sección 8.1 las diferencias entre versiones son señaladas como un hecho general: de hecho ellas son muy frecuentes.

[7] Flatness

[8] Cuando leía los reportes o experimentos del laboratorio de Piaget, me asombraba que nunca se mencionara si los sujetos cerraban un ojo cuando estaban intentándolo.

[9] Take a long draught of it.