Citar como: Sáiz Roldán, Mariana (2005). Transferencia de resultados de investigación al aula: el caso del volumen. Documento de trabajo de la autora. Disponible en: http://es.scribd.com/doc/52362622/Una-discusion-sobre-el-concepto-matematico-de-volumen-con-fines-didacticos.
En este artículo se reflexiona acerca del concepto matemático volumen, sus múltiples significados y su relación con otros conceptos tales como área, capacidad, masa, peso y con el Principio de Arquímedes, porque se considera que estas relaciones provocan confusión y dificultades para su enseñanza.
La idea de este escrito no es presentar más definiciones, o nuevos conceptos, para ser trabajados con los niños en la escuela primaria, sino mostrar, a los maestros de educación básica, los diversos significados que pueden asociarse al vocablo volumen para que ellos recapaciten en ellos como origen de muchos de los malentendidos y errores que cometen los niños al trabajar con este concepto.
El hecho de que el volumen tenga varios significados no debe paralizarnos; actualmente los maestros conocen los diferentes significados de las fracciones como fracturador, como comparador, como tasa, etc. Un concepto no tiene por qué tener un solo uso o aplicación. Los conceptos se han construido a lo largo de la historia de la humanidad con la finalidad de organizar fenómenos del mundo (ver Freudenthal, 1983) y el volumen no es la excepción.
Como el título de este trabajo afirma, se pretende transferir resultados de investigación al aula, en este caso los resultados a transferir son producto de una investigación teórica llevada a cabo para construir un Modelo Teórico Local (Filloy, 1999) en el cual insertar una investigación empírica cuyos resultados han sido presentados en otros espacios (ver por ejemplo Sáiz 2002 y 2003). Este marco teórico permitió construir instrumentos de toma de datos y analizar dichos datos; pero consideramos que ese marco teórico puede, además, brindar luz sobre los procesos de enseñanza y aprendizaje del concepto volumen en la escuela primaria.
Para iniciar el trabajo se hace una reseña breve de cómo se enseña actualmente el volumen en la escuela primaria de acuerdo con los materiales oficiales de la SEP (libro para el niño, libro para el maestro, fichero de actividades, planes y programa de estudio).
En una segunda sección se establecen algunas definiciones teóricas necesarias para poder referirse e interpretar el análisis del concepto matemático volumen que se expondrá en la tercera parte.
Por último, se hará una reflexión vinculando lo expuesto en la primera y la segunda parte, con el fin de mostrar cómo el análisis teórico aporta ideas y resultados que se pueden aprovechar en el aula, al menos, en el caso del volumen.
Aunque actualmente el estudio del volumen se inicia hasta el cuarto grado de educación primaria, desde primer grado se incluye el estudio de la capacidad. Los materiales de la SEP y las lecciones de los libros de texto de primero de primaria hacen hincapié en actividades de vaciado y llenado de recipientes de distinta forma, de modelado con plastilina y de trabajo con cajas de todos tipos. También, se invita a los niños a que busquen y observen en su entorno cuerpos distintos y a que reflexionen sobre las cualidades abstractas de lo que perciben, tales como la longitud, el área, la capacidad y el volumen.
Como se ha dicho, el estudio del volumen inicia en cuarto grado, sin embargo, sólo hay una lección sobre el tema en el libro de texto correspondiente. La lección introduce la reflexión sobre ese concepto desde un punto de vista cualitativo.
En el grado siguiente se continúa el estudio del volumen en tres lecciones, pero ya no se trata de un trabajo de tipo cualitativo, sino que se presentan problemas en los que los alumnos deben contar cubitos de un centímetro cúbico para calcular el volumen de varios prismas. La siguiente lección pone a los niños a calcular volúmenes con la unidad “ladrillo” y después a convertir sus resultados a centímetros cúbicos. Por último la lección 69 plantea la conversión de unidades de volumen a unidades de capacidad. En esta lección se hace hincapié en el conjunto de objetos capacidad medibles o recipientes.
En sexto grado hay tres lecciones, en la 27 se trabaja con áreas y volúmenes de cuerpos y un problema que pregunta sobre la capacidad de una pecera. En la lección 41 calculan volúmenes contando centímetros cúbicos. En la lección 85 se resuelven problemas de cálculo de volúmenes tendientes a que los alumnos deduzcan la fórmula para calcular el volumen de un prisma.
Antes de empezar
La primera idea que es pertinente subrayar, para comentar el modelo de enseñanza del volumen en la propuesta educativa vigente, surge de la lectura de un libro de Rouche (1992) en el que examina el sentido de la medición. En su exposición, el autor pasa de una magnitud a otra y analiza cómo el eje de la medición puede favorecer la introducción de los números, desde los naturales hasta los reales, en la enseñanza. Un aspecto remarcable de la exposición de Rouche es que, al trabajar con cualquier magnitud, inicia estableciendo el conjunto de objetos susceptibles de ser medidos respecto a tal magnitud: habla para la longitud de los objetos alargados, para el peso de los objetos pesados y así. Al retomar esta idea para el caso del volumen, observamos que el conjunto de objetos susceptibles de ser medidos respecto al volumen está formado por todos los cuerpos que nos rodean y los denominamos objetos volumen medibles (en adelante nos referiremos con las siglas OVM a estos objetos).
La idea de iniciar el tratamiento de cualquier magnitud presentando los objetos susceptibles de ser medidos respecto a esa magnitud puede considerarse que está relacionada con el concepto de dominio de una función; todas las magnitudes como la longitud, el área, la capacidad, el peso y el volumen son funciones de medida. En matemáticas, cuando se trabaja con funciones, es muy importante que el dominio de la función quede bien establecido. Trasladando esta idea a la educación básica, la recomendación es que antes de trabajar con cualquier magnitud se haga una observación y análisis que permitan constituir un conjunto variado y lo más completo posible de objetos susceptibles de ser medidos respecto a la magnitud en cuestión (establecer el dominio de la función de manera informal).
“Volumen”: un vocablo con muchos significados
En esta sección se discute acerca de los significados distintos que se asocian a la palabra “volumen”. Esto da lugar a una clasificación de tales significados. En cada caso, se considera importante describir el conjunto de objetos que son susceptibles de ser medidos respecto a cada tipo de volumen (OVM).
El volumen puede concebirse de muchas maneras distintas. Piaget, Inhelder y Szeminska (1970) distinguen tres clases de significados asociados al vocablo volumen:
1. volumen interno;
2. volumen como espacio ocupado, y
3. volumen complementario.
Los investigadores le otorgan al término volumen interno dos acepciones, las cuales usan indistintamente como si las consideraran equivalentes. La primera es “aquello que está limitado por superficies” (Ibid. pág. 355). La otra es “la cantidad de unidades de material que forman un cuerpo” (Ibid. pág. 358).
De acuerdo con esos autores, el volumen interno es una concepción primitiva de tipo cualitativo adquirida por los niños desde los cinco años aproximadamente; dicha concepción les permite entender lo que significa “el mismo espacio dentro de un cuarto” y, también, “la misma cantidad de madera” de un cuerpo sólido.
Lo anterior lleva a pensar que la clase de material encerrada por las superficies no establece ninguna diferencia cognitiva para los niños. Aunque no hemos indagado sobre esta cuestión, la postura de Piaget y su equipo no se juzga del todo convincente; en este escrito, sin embargo, no se discute el argumento de estos investigadores, ni se exploran con mayor profundidad los problemas de definición expuestos en los párrafos precedentes.
La expresión volumen interno se utilizará en este artículo para referirse a la cantidad de material que forma un cuerpo. De acuerdo con esta definición, los OVIM (hemos añadido la I de interno a OVM y continuaremos de manera análoga con otros tipos de volumen) son todos los objetos que nos rodean, sean éstos sólidos, huecos, abiertos o cerrados. En todos los casos, para medir el volumen interno se considera la cantidad de material con el que están hechos los objetos, sin tomar en cuenta el aire encerrado en un objeto hueco o en el interior de un recipiente cerrado.
El término volumen encerrado se utilizará para referirse a la cantidad de espacio limitada por una o varias superficies o cáscaras. Los OVEM son objetos huecos y cerrados; no tiene sentido hablar del volumen encerrado en un objeto completamente sólido o en un recipiente abierto.
Como se aprecia en los párrafos anteriores, el conjunto OVIM es más amplio que el conjunto OVEM. Esto nos hace pensar que, efectivamente, son nociones diferentes y pueden acarrear dificultades distintas para los niños, aunque para hacer cualquier afirmación al respecto haría falta llevar a cabo una investigación empírica que de luz sobre este asunto.
Parte de la importancia del objeto mental volumen encerrado y su significado radica precisamente en las consideraciones señaladas por Piaget et al. (Ibid., 1970, pág. 357) quienes afirman que esta noción “revela el carácter topológico de las primeras intuiciones acerca del volumen”. Para estos investigadores, las nociones topológicas preceden con mucho a las que denominan nociones euclidianas. Desde su punto de vista, el volumen de un cuerpo como noción euclidiana, es el lugar que ocupa en el espacio, mismo que es cuantificable a través de sus dimensiones lineales.
La diferencia establecida entre este objeto mental y el de volumen interno puede ejemplificarse considerando una esfera navideña. La cantidad de cristal que conforma la esfera, lo que forma la “cáscara”, es el volumen interno de la esfera. El espacio libre dentro de la esfera es el espacio encerrado. La suma del volumen interno y el espacio encerrado corresponde al volumen como espacio ocupado de la mencionada esfera.
Para Piaget, Inhelder y Szeminska (1970, pág. 360) el volumen ocupado es la cantidad de espacio ocupado por las unidades que conforman un cuerpo como un todo, en relación con otros objetos a su alrededor. De esta manera, el espacio ocupado es aquel que ya no puede ser utilizado por otro objeto.
Por resultados de la física sabemos que dos cuerpos no pueden ocupar el mismo lugar en el espacio. Así, en el caso de un sólido, toda la materia que lo conforma es su volumen ocupado y es equivalente a su volumen interno. En el caso de un objeto hueco y cerrado, además de la materia que lo forma, el espacio ocupado considera el espacio vacío que encierra, pues el objeto también ocupa ese espacio en el sentido de que no permite que otro cuerpo lo ocupe. Todo cuerpo, ocupa un lugar en el espacio por lo que el conjunto OVOM es el mismo que el conjunto OVIM, pero un cuerpo puede tener un volumen ocupado distinto a su volumen interno, recuérdese que OVIM es sólo la cantidad de material que lo forma.
Por último, se tiene el significado de volumen desplazado, el cual para Piaget y sus colaboradores (op. cit.) corresponde a la cantidad de agua desplazada al introducir un objeto en ese líquido. De nuevo, cualquier objeto es susceptible de ser medido respecto a este volumen y OVDM coincide con OVOM.
Para algunos cuerpos las mediciones de todos los tipos de volumen tienen el mismo resultado, pero para otros no. Una esfera de madera sólida, sin huecos en su interior, tiene el mismo volumen interno, ocupado y desplazado y no tiene sentido referirse al volumen encerrado de un objeto así. En el caso de una pelota llena de aire, el volumen interno es sólo el material con el que la pelota fue fabricada, el volumen encerrado sería el aire que infla la pelota, el volumen desplazado y el volumen ocupado sí serían los mismos y equivaldrían al volumen interno más el volumen encerrado.
Además de que el volumen, como se ha visto, tiene muchos significados, existe otro factor que contribuye a dificultar su aprendizaje, éste es que el concepto volumen está asociado con otros conceptos estudiados en las matemáticas mismas y en otras ciencias. De estas relaciones se comenta en la siguiente sección.
El volumen y otras propiedades de los cuerpos
Volumen y capacidad
La capacidad es una magnitud, esto es, una propiedad medible que tienen ciertos cuerpos. Como en el caso del volumen, su estudio requiere de familiarizarse con un conjunto de objetos susceptibles de ser medidos respecto a la capacidad. Como sabemos, tales objetos son los recipientes o contenedores; usando un lenguaje coloquial, la capacidad de estos objetos puede definirse como: “lo que les cabe”, o bien, “lo que contienen”.
De forma un poco más precisa, la capacidad de un recipiente es igual al volumen del objeto moldeable (cuerpo o unión de cuerpos, líquido o gas) que llena al recipiente. Esto es, la capacidad de un recipiente está relacionada con el volumen, pero no con el volumen del recipiente mismo, sino con el volumen de otro cuerpo distinto y ajeno al recipiente.
Los recipientes son, además, OVM y esto causa confusión. Aunque en general, lo que interesa conocer de un recipiente es su capacidad, en ocasiones puede ser importante conocer su volumen. Por ejemplo pensemos en una taza de cerámica; conocer su capacidad es de mucha utilidad si la vamos a usar para tomar un café, pero para un artesano puede ser importante, también, conocer su volumen interno, es decir, la cantidad de barro con la que se moldea dicha taza.
Volumen y masa
Considerar al volumen como la cantidad de material que forma un cuerpo, puede llevar a definirlo como la cantidad de materia que lo forma. “¿Podríamos afirmar que la masa de un cuerpo es la cantidad de materia que esta posee?” (Felix et al.1985, pág. 101).
Es fácil ver que una afirmación de esta naturaleza no tiene mucho sentido, pues si bien es cierto que cuanta más materia tiene un cuerpo mayor es su masa, hay que tener en cuenta que la masa es una propiedad de la materia y no la materia en sí. (...) Y esta diferencia entre ambos conceptos está más que justificada cuanto que se sabe actualmente que la masa de un cuerpo puede variar con su velocidad, cosa que no hace la materia y que, por otra parte, la masa no se conserva ya que puede transformarse en energía, en tanto que la materia sí lo hace [...] (Ibid.).
Como se observa no hay manera de concluir que el volumen interno de un cuerpo, entendido como la cantidad de unidades de material que lo forman, sea equivalente a la masa del cuerpo; sin embargo, muchas personas los consideran sinónimos.
La masa gravitatoria, o simplemente masa, es una característica de los cuerpos que le permite atraer otros cuerpos con mayor o menor intensidad. Como los cuerpos están formados por partículas, la masa del cuerpo es la masa total de las partículas que lo forman. La unidad de masa es el kilogramo y corresponde a la masa de un cilindro de platino iridiado.
El peso de un cuerpo es la fuerza con la que un cuerpo es atraído por la Tierra y su unidad de medida es el Newton, que corresponde a la fuerza gravitatoria que a un kilogramo de masa le produce una aceleración de un metro por segundo cada segundo. Sin embargo, al pesar un objeto, en la báscula se observa una escala en kilogramos, ya que, el peso de un cuerpo en la Tierra es igual a masa por aceleración de la gravedad pero, como ésta es una constante, se soslaya y se considera solamente la masa; sabiendo, de manera implícita, que el peso corresponde al producto de la masa por la constante de atracción gravitacional: 9.81 m/s2. Esto ha provocado una confusión entre estos los conceptos físicos peso y masa, esto, a su vez, puede ser causa de confusiones con el concepto volumen.
A pesar de que Freudenthal (1983, pág. 399) duda en considerar como un elemento esencial en la constitución del objeto mental volumen al principio de Arquímedes, el hecho de que algunos materiales usados en la escuela primaria, así como en algunos textos de secundaria, incluyan actividades relacionadas con esta propiedad y las evidencias de que algunos niños y algunos adultos adjudican al peso el cambio en el nivel del agua, que ocurre al sumergir un objeto en ella, obliga a comentar acerca de este principio que dice lo siguiente:
Todo cuerpo que se encuentra dentro de un fluido (líquido o gas), experimenta un empuje vertical ascendente, igual al peso del fluido desalojado por dicho cuerpo (Espino, 1942, pág. 47).
De este principio se sigue que si el empuje vertical experimentado por el cuerpo es menor que el peso del objeto, éste flota en la superficie. Si ambas fuerzas son iguales, el cuerpo permanece donde es colocado sin hundirse ni elevarse. Si el peso del cuerpo es mayor que la fuerza que experimenta, el cuerpo se hundirá. Las aplicaciones de este principio en la fabricación de vehículos marítimos son evidentes, aunque deben considerarse algunas otras variables para lograr que un barco no se hunda.
Otra aplicación del principio de Arquímedes es permitir la medición del volumen de un cuerpo de manera indirecta sumergiéndolo en agua. Como se ha dicho, al introducir el objeto en dicho líquido, ésta lo empuja hacia arriba con una fuerza cuyo valor en gramos representa, al mismo tiempo, el volumen en centímetros cúbicos que dicho cuerpo tiene, ya que es sabido que un centímetro cúbico de agua pesa aproximadamente un gramo. De manera que, si se pesa el agua desalojada por un cuerpo, el resultado en gramos corresponde al volumen en centímetros cúbicos del cuerpo.
Cuando se mide el volumen de un objeto utilizando inmersión lo que se hace es medir el volumen de agua que tal cuerpo desaloja. Basándose en el principio de impenetrabilidad, dicho volumen corresponde al volumen como espacio ocupado del objeto en cuestión. Sin embargo, esto no es claro para muchos niños y adultos, quienes creen que el peso del cuerpo determina el cambio en el nivel de líquido.
Análisis de los modelos de enseñanza del volumen en la Educación Básica
El trabajo con la capacidad, desde los primeros grados de la escuela primaria es un acierto de la actual propuesta educativa. Posponer el trabajo con el volumen hasta cuarto grado es un acierto también. Pero en este grado vale la pena subrayar la diferencia entre ambos conceptos.
El análisis aplicado a estos conceptos apunta hacia la importancia de presentarlos partiendo de la introducción, en primer grado, de un conjunto amplio de recipientes, y en cuarto, con una colección variada de objetos volumen medibles, entre ellos algunos recipientes. Aquí, sería fundamental desarrollar actividades que lleven a los estudiantes a darse cuenta de que los recipientes también son OVM, pero que hay OVM que no son recipientes.
Sobre la diferencia entre volumen y capacidad, así como es importante que los alumnos experimenten midiendo capacidades con líquidos y semillas, lo cual está planteado en la propuesta actual desde el primer grado de primaria
Sin embargo, en este acercamiento didáctico no se distingue de manera clara, que la capacidad de la caja coincide con el volumen del cuerpo construido en su interior. Por ello, es frecuente que los niños y adultos afirmen que el volumen de una caja es igual a su capacidad. Esta situación puede conducir a emplear los términos capacidad y volumen como sinónimos y a que no se distinga la medida del volumen del propio recipiente como algo diferente a la medida de su capacidad. Es necesario tener en mente que la capacidad de un recipiente es equivalente a un volumen, pero ese volumen es de un cuerpo ajeno al recipiente mismo. La capacidad del recipiente y el volumen del recipiente no están relacionados entre sí.
Es necesario que este tipo de actividades se encaminen a que los niños logren comprender que la capacidad de un recipiente está directamente relacionada con un volumen, pero ese volumen corresponde a otro cuerpo que no es el recipiente mismo, sino un cuerpo formado de agua, semillas, tierra, yeso u otro material, que llena completamente el interior del recipiente.
También vale la pena subrayar la importancia del trabajo cualitativo, previo a cualquier consideración de tipo cuantitativo. Este trabajo cualitativo puede iniciarse con la búsqueda en el entorno de objetos volumen medibles de todo tipo. Objetos huecos y sólidos, cerrados y abiertos, llenos y vacíos, de manera que todos los significados presentados en los apartados anteriores se pongan en juego.
Los aspectos cuantitativos del volumen deben postergarse; si acaso se llega al trabajo con fórmulas, en primaria bastará con estudiar el caso de algunos de los poliedros y prismas más comunes, puede pensarse, incluso, en posponer todo este trabajo hasta la secundaria.
En sexto se podría explorar la fórmula para obtener el volumen de un prisma rectangular pero, de acuerdo con Vergnaud et al. (1983), es muy poco probable que un niño de esa edad logré deducir la fórmula a partir de esas exploraciones. No obstante, trabajar con arreglos tridimensionales de cubitos puede resultar fructífero a un plazo más largo.
La utilización de la inmersión para medir volúmenes causa problemas debido a que el cambio en el nivel del líquido se asocia con el peso del objeto sumergido, y no con su volumen. Esta confusión puede deberse al procedimiento de medición mismo, en el cual está implicado el principio de Arquímedes cuyo enunciado, como se vio anteriormente, menciona al peso. También, es posible que se deba a una intuición equivocada puesta de manifiesto por muchos niños: “si pesa, se sume más”.
Otro problema, relacionado con la inmersión, es el empleo de una escala lineal para medir el volumen. Es decir, se usan recipientes graduados con una escala lineal (una especie de regla pegada al recipiente); el volumen del objeto se mide asociando a la longitud, que va de la marca en la que se encontraba el nivel de agua antes de sumergir el objeto a la marca en donde queda el nivel de agua al sumergirlo, un cierto número de unidades cúbicas.
De modo que es recomendable usar la inmersión para medir volúmenes, pero primero es deseable que los niños experimenten y observen el fenómeno de cómo el agua sube al sumergir en ella un objeto y que, sumergiendo objetos de volumen similar pero pesos evidentemente distintos, se aprecie que el nivel de agua sube lo mismo. De manera que ellos puedan concluir que es el volumen el que provoca el cambio de niveles. Posteriormente, se pueden hacer mediciones, sin pedir mucha precisión. Ni siquiera es necesario utilizar una escala con unidades convencionales, sino cualquier tira pegada al recipiente con cinco o seis divisiones y pidiendo resultados usando una de estas divisiones como la unidad.
Referente a las relaciones entre el concepto matemático volumen y el concepto físico de volumen Potari y Spiolotopoulou (1996) han subrayado las recomendaciones de otros expertos de integrar la enseñanza de las matemáticas y la de las ciencias (física, química y biología, principalmente). Aunque ellos afirman que se ha hecho poca investigación respecto a conceptos comunes de las matemáticas y otras ramas del conocimiento. Sería deseable que los maestros de educación básica y los investigadores mexicanos reflexionáramos sobre este tema también.
Para este momento de la lectura es posible que el lector se pregunte si no todo se está complicando en lugar de simplificarse. Es posible que el lector se pregunte ¿debo enseñar a los niños todos estos aspectos del volumen por separado? ¿Debo mencionar toda esta nomenclatura a los niños?
La respuesta a todas estas preguntas es siempre un “NO”. Lo que se intenta no es complicar la enseñanza del volumen, lo que se procura es mostrar que el concepto volumen es muy rico en significados, relaciones y usos; esa riqueza es lo que lo convierte en un concepto complejo de enseñar y aprender. También se pretende llamar la atención sobre todos los significados del volumen. Gracias al conocimiento de todos los significados asociados a las fracciones, en los libros de texto actuales podemos encontrar actividades y problemas diversos, para que todos los significados sean puestos en juego. La idea es que las actividades y problemas sobre el volumen que se planteen en la educación básica sean variados también y pongan en juego la mayor cantidad de significados, usos y relaciones de este concepto matemático.
Referencias
Espino F., G. (1942). Guía Elemental de Física. México: Sin editorial.
Félix E., A., de Oyarzábal, J. y Velazco, M. (1985). Lecciones de Física. México, D.F. México: Cía. Editorial Continental.
Filloy, E. (1999). Aspectos Teóricos del Álgebra educativa. México: Grupo Editorial Iberoamérica.
Freudenthal, H. (1983). Didactical Phenomenology of Mathematical Structures, Holanda: Reidel Pub. Co.
Piaget, J., Inhelder, B. y Szeminska, A. (1970). The child’s conception of geometry. Londres, GB: Routledge and Kegan Paul.
Potari, D. y Spiliotopoulou, V. (1996) Children´s approaches to the concept of volume. Science Education 80 (3): 341-360.
Rouche, N. (1992). Le sens de la mesure. Bruselas, Bélgica: DIDIER HATIER.
Sáiz, M. (2002) El pensamiento del maestro de primaria sobre el concepto matemático de volumen. Tesis Doctoral. México: DME, Cinvestav.
Sáiz, M. (2003). Algunos objetos mentales relacionados con el concepto de volumen de maestros de primaria. Revista Mexicana de Investigación Educativa. Vol. VIII, núm. 18, mayo-agosto de 2003. pp. 447-478.
Vergnaud, G., et al (1983). Une experience didactique sue le concept de volume en classe de cinquiéme (12-13 ans). Recherches en Didactique des Mathématiques, 4 (1): 71-120.
