Capítulo 2. La complejidad de aprender geometría y medición por Owens y Outhred

Citar como:

Owens, Kay & Outhred, Lynne (2006) The complexity of learning geometry and measurement in Gutiérrez A. and Boero, P. (Eds.) Handbook of Research on the Psychology of Mathematics Education. Past Present and Future. 2006 The Netherlands: Sense Publishers. Págs. 83 a 115.

Introducción al texto de Owens y Outhred

Como se explicó en la introducción, este capítulo es un estado del arte preparado a partir de las presentaciones de reportes de investigación durante las reuniones anuales del PME[1]. La diferencia con el capítulo anterior es que este corresponde a la celebración de la vigésima conferencia anual de este congreso, mientras que el anterior correspondía a una década solamente.

Por lo tanto, el capítulo abarca más investigaciones y contiene más temas, ya sea porque éstos no eran considerados interesantes anteriormente o, simplemente, como en el caso de las nuevas tecnologías, no se habían desarrollado suficientemente ni teórica ni experimentalmente.

Así mismo, la selección y organización de los resultados seleccionados variará de acuerdo a los intereses o preferencias de los autores.

Actividad anterior a la lectura

1. Antes de leer este capítulo:

• Enuncie tres razones para enseñar geometría en el nivel básico de educación.
• Defina geometría de acuerdo con lo que usted sabe de esta rama de las matemáticas.
• Responda ¿Le parece importante enseñar geometría del espacio a nivel básico?
• Responda ¿En qué grado cree usted que debe iniciarse la enseñanza de la geometría?

La Complejidad de Aprender Geometría y Medición

Kay Owens & Lynne Outhred

Este capítulo ofrece un panorama de una parte de la investigación sobre geometría y medición. Otro material relevante puede encontrarse en los capítulos sobre visualización, resolución de problemas, prueba, tecnología en la educación matemática y formación de maestros.

La investigación en geometría y pensamiento espacial se originó a partir de estudios en la psicología. Inicialmente la resolución de problemas fue el foco de estos estudios y ha continuado como un área de investigación por 30 años. En los años setenta, algunos investigadores estaban interesados en la relación de las habilidades espaciales con el aprendizaje matemático y la resolución de problemas, pero otros continuaban construyendo sobre la teoría de Piaget en cuanto a que el pensamiento de los niños se vuelve más sofisticado con el tiempo (Lesh, 1978). Había también un alejamiento de los estudios de factor analítico hacia otros factores dirigidos a entender el desarrollo de las construcciones de los conceptos geométricos por los estudiantes y el papel de la imaginación visual (visual imagery). Este alejamiento dio como resultado el avance de perspectivas teóricas sobre visualización, desarrollo de conceptos y resolución de problemas en geometría.

El énfasis en la cognición y las teorías estructurales ha sido complementado por estudios más recientes en el contexto del aprendizaje. Hay una tensión continua entre los estudios de investigación que enfatizan los aspectos visuales y contextuales de la conceptualización y aquéllos que interpretan el aprendizaje en términos de teorías del desarrollo, por ejemplo, la teoría de Van Hiele (Gutiérrez, 1996; Tall, 2004). La teoría de Van Hiele ha influido fuertemente el trabajo sobre concepciones tempranas de ideas geométricas y los procesos por los cuales los niños se desplazan desde un conocimiento inicial y habilidades visuales hasta los conceptos geométricos y definiciones. Ha habido un énfasis creciente en las percepciones de formas bidimensionales de los estudiantes, particularmente acerca de sus imágenes prototípicas y representaciones. Sin embargo, ha habido menos estudios sobre las formas tridimensionales debido, en parte, a la dominancia de la investigación sobre teorías del desarrollo estructuralistas y la complejidad de la visualización (Gutiérrez, 1996).

En la última parte de los años setenta, se encontró que la geometría de las transformaciones y el movimiento de las figuras favorecían un entendimiento sobre la demostración de teoremas Euclidianos. Desde entonces hasta ahora, muchos estudios se han enfocado en el uso de tecnologías computacionales, incluyendo Logo y, más recientemente, programas de geometría dinámica. Un panorama de las investigaciones sobre tecnología y prueba puede ser encontrado en los capítulos sobre estos temas.

Resolución de problemas – investigación inicial y posterior

La investigación acerca del espacio y la geometría fue influenciada por una tendencia hacia la resolución de problemas como una manera de aprendizaje (Lesh, 1978). En un compendio de la investigación Lesh (1979) advirtió que los buenos solucionadores de problemas hacían evaluaciones tempranas del problema, lo veían desde diferentes ángulos, perseveraban, aplicaban un acervo de modelos conceptuales y metáforas estructurales y evaluaban la información relevante.

Durante la resolución de problemas, los estudiantes podían enfocarse en aspectos limitados del problema o malinterpretarlo debido a prejuicios concebidos con antelación y perspectivas auto-orientadas (Lesh, 1979). Por ejemplo, algunos alumnos de 7° grado observaban la dirección derecha desde su propia posición, en lugar de hacerlo desde una recta en el papel (Krainer, 1991; Lopez-Real, 1991). Tales interpretaciones limitadas pueden ser aminoradas si se trabaja en grupos, debido al efecto socializante de este tipo de trabajo (cf. la teoría de Vigotsky, 1978). Los grupos proveen la oportunidad para la imitación, la satisfacción, y la auto-estima así como para darse cuenta de que un problema puede resolverse de maneras diferentes (Lesh, 1979). Por ejemplo, Malara y Gherpelli (1994) encontraron que estudiantes de secundaria podían proponer problemas cuando trabajaban en grupos pero no de manera individual y que, en ocasiones, cuando los problemas eran ambiguos, la discusión en grupos los ayudaba a aclarar el texto.

Las estrategias de resolución de problemas espaciales han sido descritas por Gorgorió (1996) como (a) Estrategias estructurales para relacionar la experiencia pasada o simplificar el problema, (b) Estrategias de procesamiento (visual o verbal), y (c) Estrategias de acercamiento (global o parcial). Ella encontró algunas diferencias de género en el uso de las estrategias de estructuración. Encontró que las estrategias metacognitivas eran importantes para estudiantes de más edad a los que se les pedía resolver un problema que involucraba la construcción de un cuadrilátero, pero que tal monitoreo del comportamiento no era tan efectivo en estudiantes más jóvenes (tercer grado) (Yamaguchi, 1993). Los hallazgos de Yamaguchi han sido respaldados por Owens (1996b) quien encontró que niños de segundo grado hacían verificaciones perceptivas pero les faltaba confianza en, o no se daban cuenta de, sus estrategias. Se encontró también que la metacognición fue importante para niños de secundaria superior (Reiss, Kline & Heinze, 2001). Estos investigadores reportaron que las variables que se correlacionan con resultados en problemas geométricos (las preguntas del TIMSS) eran la habilidad espacial apoyada en tareas de razonamiento espacial, la metacognición evidente en la resolución de estas tareas, el conocimiento declarado sobre los conceptos geométricos, y el conocimiento de procedimientos para generar pruebas.

Los estudiantes usan una variedad de estrategias de discurso y dibujo cuando resuelven problemas (Robotti, 2001). Las transcripciones mostraron cómo los estudiantes formaban listas de información a partir de un diagrama basado en la observación o conceptos conocidos. Los estudiantes reducían largas listas enfocándose en el propósito de la tarea (meta-discurso). El meta-discurso desplazaba la resolución del problema hacia una nueva estrategia, propósito más claro, o deducción.

EL LEGADO DE PIAGET

Los psicólogos del desarrollo como Piaget han influido en la investigación acerca del cambio en el pensamiento (Bishop, 1979). El cambio clave está en “la progresión de un estado de relativa globalidad y falta de diferenciación a un estado de diferenciación, articulación e integración jerárquica creciente” (Werner, 1964, citado por Bishop, 1979, p. 22). Un elemento clave para causar un cambio es la intuición, sobre la que Piaget comentó: “aunque efectiva en todas las etapas y fundamental desde el punto de vista de la invención, el papel cognitivo de la intuición disminuye (en un sentido relativo) durante el desarrollo. …La formalización… limita progresivamente el campo de la intuición (en el sentido de pensamiento operacional no-formalizado)” (Beth & Piaget, 1966, p. 225).

En estudios con niños muy jóvenes se encontró que en sus pinturas eran evidentes la simetría intuitiva y la elaboración de patrones (Booth, 1984). Esta autora delineó etapas de pintura espontánea ligadas a aspectos lógico-matemáticos. Las etapas son la etapa de garabatos, la etapa topológica y la etapa de patrones geométricos, donde la última categoría muestra patrones que surgen de una repetición sistemática de un elemento, o una división del plano que resulta en una traslación, reflexión o incluso en patrones de rotación. Al nombrar el patrón, ella postuló que el pensamiento intuitivo se vuelve consciente y el patrón toma significado simbólico.

Similarmente, estudios de dibujos hechos por niños mostraron que, cerca del la edad de 2 años, los niños pueden producir diferentes clases de garabatos y muchos pueden representar un círculo y una recta cuando se les presenta una serie de diagramas a copiar. A la edad de 3 años la mayoría puede formar dos círculos separados o líneas horizontales y verticales que se cruzan y a la edad de 4 años dibujan cuadrados, líneas oblicuas que se cruzan, y círculos que se intersecan. A medida que las figuras se vuelven más complejas, la edad a la que los niños pueden reproducir las figuras varía considerablemente (Noelting, 1979). De cualquier manera, el orden de dificultad es bastante consistente, especialmente la complejidad de las líneas, el uso de líneas oblicuas y de figuras que se intersecan. Los estudiantes dominan la perspectiva gradualmente a través de la coordinación de relaciones parte-todo y dirección (Noelting, 1979; Mitchelmore, 1983).

El conocimiento desarrollado a través de experiencias de aprendizaje incidental puede proveer un antecedente para la intuición (Van Hiele, 1986) y puede explicar por qué los niños podrían reconocer triángulos rectángulos en la posición estándar con los lados más cortos en las posiciones horizontal y vertical pero no en varias posiciones oblicuas, incluso después de tener entrenamiento (Cooper & Krainer, 1990). Se encontró que el efecto del conocimiento anterior afecta el desarrollo de las estudiantes de conceptos geométricos sencillos, especialmente la reflexión sobre una línea (Schmidt, 1980). Los estudiantes no atendieron a las características importantes del diagrama y tuvieron dificultad para producir dibujos simétricos.

Investigación posterior mostró que la intuición no está limitada a la niñez temprana. Por ejemplo, estudiantes terciarios[2] carecían de conexiones entre sus procesos intuitivos e imágenes mentales y las representaciones analíticas y gráficas del estado estacionario en ecuaciones de calor (Farfán y Hitt, 1990). La intuición basada en la experiencia previa fue llamada “ojo geométrico” por Fujita y Jones (2002) quienes creían se desarrollaba a partir de ejercicios prácticos previos a observar teoremas teóricos. Los Van Hiele también proporcionaron experiencias prácticas antes de moverse a la prueba deductiva (Van Hiele, 1986). Este “conocimiento primitivo” y la “elaboración de imágenes” han sido postulados como la base del aprendizaje (Kieren & Pirie, 1992).

EL MODELO DE VAN HIELE DEL RAZONAMIENTO GEOMÉTRICO

Los Van Hiele propusieron un modelo de pensamiento geométrico que comprende cinco niveles de razonamiento: ­reconocimiento (solamente percepción visual); análisis (una figura es identificada por propiedades); clasificación o deducción informal (la importancia de las propiedades es comprendida claramente); deducción formal (se construyen pruebas geométricas); y rigor (un aspecto que más tarde se mostró que era difícil de operar y diferenciar del nivel previo). El pensamiento se desarrolla a partir de un nivel visual tipo gestalt a través de niveles de sofisticación creciente que involucran la descripción, el análisis, la abstracción y la prueba. Los Van Hiele creían que la instrucción debería ajustarse a los niveles de pensamiento de los estudiantes y propusieron un modelo de enseñanza y aprendizaje que sugería cómo trasladar a los estudiantes de un nivel de pensamiento al siguiente (Hoffer, 1983). En el modelo de Van Hiele los niveles son considerados jerárquicos y discontinuos, con cada nivel dependiente del dominio del nivel anterior (Alfonso, Camacho & Socas, 1999; Clements & Battista, 1991; Lawrie, 1998). Sin embargo, Burger y Shaughnessy (1986) propusieron que los niveles eran dinámicos y continuos más que estáticos y discretos.

Clements y Battista (1991) consideraron que los niveles parecían describir el desarrollo geométrico de los estudiantes. Sin embargo, encontraron que los estudiantes podían tener dificultad para clasificar, especialmente en la transición del nivel 2 al nivel 3, y que existe también alguna evidencia de un nivel más básico que el nivel 1 de los Van Hiele (pensamiento visual). Ellos reportaron que “la investigación indica consistentemente que los niveles son jerárquicos, aunque aquí hay excepciones también” (p. 224). Se ha encontrado que el nivel 5 es distinto que los otros niveles, lo cual podría explicar por qué Van Hiele propuso también un modelo de tres niveles que colapsa los niveles 3 a 5 en uno debido a las dificultades para alcanzar estos niveles. El alcanzar los niveles no está relacionado estrictamente con la edad, y el desarrollo a través de la jerarquía es una función de la enseñanza y el aprendizaje. Ankara (1995) encontró que algunos conceptos de cuadriláteros básicos se desarrollan de acuerdo con el modelo de Van Hiele pero que el nivel al que un estudiante es asignado puede variar dependiendo de la figura geométrica involucrada.

La transición entre niveles ha sido el foco de atención de varios estudios. Algunos aspectos significativos de la transición del nivel 1 (reconocimiento basado en la perspectiva global de una figura) al nivel 2 (análisis de las propiedades de las figuras) fueron (a) la comprensión de que los aspectos de la figura son importantes (identificación de características), (b) el intento de documentar más de una característica, y (c) el agrupamiento de figuras basándose en una sola propiedad (Pegg & Baker, 1999). Como se mencionó, la transición del nivel 2 al nivel 3 ha sido identificada como problemática (Clements & Battista, 1991). Una característica distintiva del nivel 3 es la inclusión de clase –­la interrelación ente dos conjuntos cuando todos los miembros del primero son miembros del segundo (por ejemplo, los cuadrados como un subconjunto de los rectángulos). Una falta de reconocimiento de esta relación indicó que muchos estudiantes de 8° grado están en el nivel 2 (Matsuo, 1993; Currie & Pegg, 1998). Matsuo (1993) sugirió que la clasificación hecha por los estudiantes de un cuadrado como rectángulo parecía depender de la propiedad en la que ellos se enfocaran. Si su definición del concepto de un rectángulo era cuatro ángulos rectos o lados paralelos, ellos probablemente consideraran que un cuadrado pertenece a la clase de los rectángulos. Sin embargo, si ellos se enfocaban en los rectángulos como figuras que tienen dos lados largos y dos lados más cortos, el cuadrado era clasificado como un caso separado.

De Villiers (1998) argumentó que las definiciones formales se pueden desarrollar solamente en el nivel 3, dado que en este nivel los estudiantes empiezan a notar interrelaciones entre las propiedades de una figura. Él discutió permitir las definiciones visuales, no económicas y económicas en los niveles 1 al 3 respectivamente, y también consideró definiciones jerárquicas y partitivas. Las definiciones jerárquicas definen los conceptos de manera tal que la mayoría de las clases particulares forman subclases de los conceptos más generales, mientras que en las definiciones partitivas las varias subclases de los conceptos son consideradas ajenas una de la otra; por ejemplo, los cuadrados están excluidos de la clase de los rectángulos (Heinze, 2002). De Villiers encontró que muchos estudiantes preferían las definiciones partitivas más que las jerárquicas, y concluyó que los estudiantes deberían ser involucrados activamente en la formulación y evaluación de las definiciones. Se encontró que los estudiantes que fueron involucrados en la argumentación y la justificación acerca de las diferentes características de una definición matemática, cambiaban su opinión como resultado de las interacciones y discusiones con sus pares, además de darse cuenta que las definiciones de los textos no eran inviolables, y que era posible dar definiciones alternativas (Shir & Zalavsky, 2002). Las definiciones que requieren análisis (por ejemplo, tres ángulos de 90° y dos lados adyacentes de la misma longitud) animaron a los estudiantes a pensar sobre condiciones necesarias y suficientes en el nivel 3 de Van Hiele (Heinxe, 2002).

Shir y Zaslacsky (2001, 2002) comentan que entre los investigadores existe desacuerdo en cuanto hasta dónde la definición de una forma debe ser mínima en información. Ellos clasificaron los argumentos usados por los estudiantes como: (a) Matemáticos (correctos, equivalentes a la definición conocida, útiles y mínimos), (b) Receptivos (e.g. claros, basados en conceptos básicos, cortos, familiares) o (c) Figurativos (basados en propiedades). Una actividad diseñada para resaltar definiciones diferentes era considerada valiosa para involucrar a los estudiantes en la argumentación y la justificación y para darse cuenta que las matemáticas son “una disciplina humana en la que hay espacio para varias opiniones” (Shir & Zaslavsky, 2002, p. 208). En el trabajo de alumnos de 10° grado las definiciones procedimentales (orientadas a la construcción) fueron las dominantes cuando ellos usaron Cabri (Furinghetti & Paola, 2002).

Algunas entrevistas individuales indicaron que los argumentos cuasi-empíricos eran satisfactorios para estudiantes de grados 6 a 10 (De Villiers, 1991). Así que, doblar un triángulo isósceles sobre su eje de simetría era suficiente para explicar que los ángulos de la base son iguales. El repetir un experimento con ejemplos diferentes también era convincente. Sin embargo, en un grupo, De Villiers encontró que algunos estudiantes requerían una explicación que fuera lógico-deductiva. Patronis (1994) arguyó que tales “argumentos pragmáticos” no son sólo descripciones de experiencias específicas sino que proveen interpretaciones de actividad matemática y construcción social de conceptos. Por ejemplo, en una clase de alumnos de 16 años de edad se tomaron ángulos adyacentes cuya suma fuera un ángulo llano y se mostró que las bisectrices de los ángulos eran perpendiculares, usando mediciones de ángulos como “prueba”. Laborde Y Capponi (1995) mostraron que los estudiantes se mueven continuamente de lo que ellos denominan “geometría espacio-gráfica” a la “geometría teórica”. Cuando elabora una prueba, el estudiante usa la figura, alternativamente, para hacer conjeturas o controlar resultados, luego cambia a usar definiciones y teoremas, después regresa a la figura y así sucesivamente. Una investigación reciente sobre la prueba, hecha por Lin (2005), mostró que los estudiantes podían aprender prácticas eficaces tales como refutar y conjeturar en geometría

Mucha de la investigación relacionada con el trabajo de Van Hiele ha involucrado el reconocimiento de los estudiantes de las figuras y sus propiedades. En contraste, Callingham (2004) investigó las teselaciones. El progreso del conocimiento de los estudiantes sobre las teselaciones no está bien comprendido, con la excepción de un arreglo de unidades cuadradas (Outhred y Mitchelmore, 2004). Callingham utilizó los niveles de Van Hiele como una manera de describir la comprensión de los estudiantes acerca de las teselaciones. La mayoría de los estudiantes podía describir un arreglo de cuadrados en el nivel 1 o 2 (nombra las formas y, ya sea informal o técnicamente, describe la transformación) pero para otras figuras los estudiantes estaban en un nivel de visualización y sólo reconocían y nombraban las figuras.

Evaluación de los niveles de Van Hiele

Algunos investigadores han propuesto y probado maneras diferentes de evaluar los niveles de Van Hiele. Gutiérrez y Jaime (1987) administraron pruebas sobre polígonos, medición y sólidos, a futuros maestros de primaria y mostraron una jerarquía para los niveles de Van Hiele de 1 a 4, pero los autores sugirieron que un nivel 5 (rigor) justificaría una investigación posterior. El nivel de un estudiante en un tema no serviría como un vaticinio de su nivel en otro tema (Gutiérrez, Jaime y Fortuna, 1991). Ellos encontraron que el progreso del estudiante a través de los niveles podría no ser estrictamente lineal, dado que los alumnos podrían estarse desarrollando en varios niveles simultáneamente. Subsecuentemente, Gutiérrez, Jaime, Shaughnessy y Burger (1991) compararon dos maneras diferentes de evaluar los niveles, entrevista clínica versus prueba de papel y lápiz, y dos interpretaciones diferentes de la adquisición de niveles, una suponiendo niveles discretos, la otra suponiendo niveles continuos. Los autores consideraron que usar grados de adquisición de cada nivel proporciona una mejor evaluación comparado con la asignación en un solo nivel.

Jaime y Gutiérrez (1994) propusieron un marco teórico para diseñar pruebas para evaluar el modelo de Van Hiele. Ellos identificaron cuatro procesos que caracterizan los primeros cuatro niveles de Van Hiele; identificación, definición, clasificación y prueba, y evaluaron cada proceso que consideraban fundamental para el razonamiento en ese nivel. Los resultados de su prueba sobre polígonos y conceptos relacionados mostraron que muy pocos estudiantes de secundaria tenían un entendimiento intermedio o superior a los niveles 3 y 4 (Gutiérrez y Jaime, 1995). Los autores sugirieron que un factor que contribuye a ese resultado puede ser el énfasis puesto en la prueba formal cuando los estudiantes sólo razonan en los niveles 1 y 2.

Lawrie (1998, 1999) comparó dos métodos para evaluar los niveles de Van Hiele. Ella sugirió que el método de Gutiérrez, Jaime y Fortuny (1991), que supone que los niveles son continuos y que una respuesta de un estudiante puede mostrar pensamiento de más de uno de los niveles, era más apropiado para evaluar que la prueba de Mayberry, la cual supone que los niveles son discontinuos, por lo que cada ítem es diseñado para probar un nivel específico. Lawrie (1999) también encontró que no todas las preguntas en la prueba de Mayberry evaluaban el nivel para el que fueron diseñados. Sus resultados respaldan la jerarquía de los niveles de Van Hiele y mostraron que mientras más alto el nivel, más bajo el grado de adquisición. Sin embargo, algunos estudiantes de alto rendimiento malinterpretaron algunas preguntas del nivel 1, mientras que la redacción generalizada de algunas preguntas del nivel 3 contribuyó a hacerlo más difícil, y la evaluación del nivel más alto fue problemática. La evaluación de los tres niveles más altos ya había sido identificada como problemática en investigaciones anteriores (Fuys, Geddes y Tischler, 1988).

Los estudiantes para maestros en el estudio de Lawrie mostraron sólo los niveles 1 y 2 de razonamiento y sus hallazgos para estudiantes de magisterio son respaldados por el de Alfonso, Camacho y Socas (1999) cuyo estudio a profundidad con seis maestros mostró que sólo dos de ellos alcanzaban el nivel 3. Los autores concluyeron que no sólo el conocimiento geométrico, sino también los acercamientos a la enseñanza, podrían estorbar a los maestros en la implementación de un currículum de geometría basado en la teoría de Van Hiele.

El modelo de Van Hiele explica el desarrollo del aprendizaje de la geometría acerca de formas bidimensionales en la geometría pero Guillén (1996) ha propuesto una caracterización de los niveles 1 a 3 para sólidos tridimensionales. Basados en los niveles de Van Hiele, Saads y Davies (1997) diseñaron una prueba que incorporaba las categorías de percepción espacial de Del Grande (1987) para medir el entendimiento de la geometría tridimensional.

CAMBIANDO LAS VISIONES TEÓRICAS

En los años setenta los psicólogos estaban interesados en cómo las habilidades espaciales se relacionaban con el aprendizaje matemático (Schonberger, 1997). Algunos ítems sobre habilidad espacial fueron analizados en términos de factores de prueba. Típicamente tales factores incluyen orientación, reconocimiento tanto de figuras de dos dimensiones como de tres, posiciones diferentes, así como relaciones espaciales, el reconocimiento de una pieza en un diseño o el doblado de un patrón para formar una imagen tridimensional (Schonberger, 1979; Tartre, 1990).

Aunque hay una larga historia de interés en la relación entre la habilidad espacial y el conocimiento matemático (Bishop, 1989, 1989), el cambio desde los estudios analíticos a gran escala hasta las entrevistas clínicas proveyó un estímulo para reconocer las diferencias individuales en la manera en que los niños resuelven tareas espaciales. Tales estudios permitieron a los educadores estudiar los efectos de la cultura y el entrenamiento en habilidades espaciales y matemáticas, aunque puede ser que los resultados de esos estudios no sean consistentes (Bishop, 1979). Por ejemplo, en varios estudios se ha encontrado efectivo el entrenamiento (Ben-Haim, 1983; Bishop, 1979; Kwon, Kim y Kim, 2001; Owens, 1992) pero en otros menos efectivo (Malara y Iaseros, 1997). Los antecedentes del hogar y el contexto fueron evidentes en algunos estudios. Por ejemplo, Mitchelmore (1984) sugirió que las industrias de las familias daban a los estudiantes un entendimiento excepcional en simetría. Boero (2002) sugirió que las experiencias rurales afectaban los problemas de sombras, y Masinglia (1992) encontró que los instaladores de alfombras y tasadores estimaban, visualizaban arreglos espaciales y usaban medición informal. Algunas técnicas para dividir rectángulos y hacer ángulos rectos encajaban en prácticas que usaban instrumentos no-geométricos (Fioriti y Gorgorió, 2001; Masinglia, 1992). Berthelot (1994) y Bishop (1979) enfatizaron también el impacto de tres clases de espacio: (a) Micro-espacio (juguetes, dibujos, modelos), (b) Meso-espacio (habitaciones) y (c) Macro-espacio (espacio exterior) ya que existe un punto de vista diferente para cada uno. Puede decirse que cada uno de estos estudios considera el sentido espacial.

Algunos investigadores empezaron a recapacitar sobre las habilidades espaciales y el sentido espacial en términos de la imaginería (Brown y Presmeg, 1993). Las habilidades espaciales y la imaginería involucran procesos funcionales y estrategias. Bellin (1980) intentó integrar teorías con acercamientos estadio-estructuralistas (como las de Piaget y Van Hiele) y acercamientos orientados en procesos funcionales (estrategias) al desarrollo de la geometría. Él estudió a niños de seis años que emprendían actividades de transformación (dobleces, deslizamientos, giros) y encontró patrones exitosos de las estrategias usadas. Bellin concluyó que el uso de estrategias, más que una estructura cognitiva supuesta, explicaba los resultados.

La relación entre las habilidades espaciales y el aprendizaje de conceptos geométricos se intensificó por los acercamientos visuales al aprendizaje de la geometría introducidos por la programación en Logo. Logo es un ambiente computacional de final abierto (open-ended) que puede proporcionar un acercamiento alternativo al aprendizaje de los conceptos geométricos. En el estudio de Hillel (1986), los estudiantes dividían, intuitivamente, una figura en partes. Estas partes no eran necesariamente formas para las que los estudiantes tuvieran ya procedimientos de construcción con Logo, sino que podían ser partes primarias, por ejemplo, líneas. El sugirió que la carencia de conocimiento conceptual podría haber restringido el progreso y no solamente la habilidad para establecer la dirección para girar o calcular el tamaño con el programa. Con el fin de demostrar la ventaja de la retroalimentación inmediata en un micromundo basado en Logo, Edwards (1990) enumeró los cambios en el conocimiento conceptual de los estudiantes y sus habilidades para desarrollar una representación simbólica de las transformaciones geométricas. Los datos que él tenía acerca de tres estudiantes que hacían transformaciones mostraban que ellos requerían ayuda con la rotación alrededor de un punto, con la reflexión sobre una línea fuera de la figura y para deshacer una transformación (Edwards, 1994). La facilidad con la que una figura podía ser copiada era un apoyo para desarrollar el conocimiento sobre simetría de algunos estudiantes de secundaria, porque ellos, no sólo se divertían, sino que podían observar lo que pasaba, hacer preguntas e investigar (Haddas, 1990).

RAZONAMIENTO VISUAL

En un intento por reunir las varias perspectivas sobre la visualización con el desarrollo estructurado, Gutiérrez (1996) resumió gran parte del debate sobre la visualización. El notó que los procesos visuales estaban involucrados al interpretar: (a) Las representaciones externas para formar imágenes mentales y (b) La imagen mental para generar información. Ambas interpretaciones fueron asistidas por habilidades de visualización tales como la percepción figura-entorno (encajar/desencajar), la rotación mental, la percepción de la posición espacial, la percepción de relaciones espaciales y la habilidad de enfocarse en las propiedades a pesar de otras características (e.g. color, orientación o tamaño) de la imagen. Estos procesos visuales (habilidades de interpretación y visualización) forman el razonamiento visual.

El razonamiento visual fue caracterizado ya sea como local o como global por Hershkowitz, Friedlander y Dreyfus (1991). Ellos analizaron las respuestas de alumnos de grados 9° a 10° a un ítem que les pedía identificar los dibujos de lugares geométricos que satisfacían una condición dada, tras la experiencia con un paquete de software, LOCI, que ilustraba el lugar geométrico visualmente. Algunos estudiantes razonaban sistemáticamente en todos o la mayoría de los casos, pero otros cambiaban su razonamiento de caso a caso. El contexto del problema también afecta el nivel de razonamiento usado por los estudiantes. Gutiérrez y Jaime (1993) recomiendan, para promover las estrategias de los estudiantes tales como análisis y rotación de imágenes y razonamiento visual, que los estudiantes experimenten tanto con objetos concretos como computacionales y que representen formas en diferentes orientaciones.

Muchos investigadores (Brown y Wheatley, 1989, Reynolds y Wheatley, 1991; Presmeg, 1986a, 1986b) encontraron que los estudiantes usan la imaginería para construir significado matemático e hipotetizaron que la imaginería en las clases de matemáticas podría ayudar el desarrollo de unas matemáticas relacionales y llenas de sentido (Brown y Presmeg, 1993). Siguiendo el trabajo anterior de Presmeg sobre tipos de imaginería, Brown y Presmeg (1993) encontraron que los estudiantes de 5° a 11° grado mostraban muchos tipos comunes de imaginería, aunque también existían grandes diferencias entre los estudiantes en cuanto al tipo de, y la facilidad con, la imaginería usada. Los estudiantes con un mayor entendimiento relacional tendían a usar formas más abstractas de imaginería, tales como la imaginería dinámica y de patrones. Owens (1992, 1996b) mostró un rango similar de formas de imaginería durante la resolución de problemas espaciales en estudiantes más jóvenes. Ella las agrupó en los siguientes cinco grupos (Owens, 1999): (a) Estrategias preliminares o emergentes; (b) Estrategias perceptivas (se requiere usar materiales); (c) Estrategias de imaginería pictórica estática; (d) Imaginería dinámica y de patrones; y (e) Estrategias eficientes (explicadas usando tanto conocimiento visual como verbal).

La imaginería visual es uno de los muchos procesos cognitivos que puede ayudar a resolver problemas espaciales (Owens, 1996b). Otros procesos cognitivos son poner atención selectivamente, percibir, escuchar, mirar, pensar intuitivamente, conceptualizar, y las heurísticas tales como establecer el significado del problema, desarrollar tácticas, auto monitorear y verificar, junto con procesos afectivos como éxito, confianza, interés, y tolerancia de situaciones abiertas. La importancia de su investigación es que fue realizada en el aula, y parece indicar una mayor divergencia en el pensamiento espacio-visual de lo que se podría haber esperado antes (Gray, 1999).

La importancia de aquello en lo que los estudiantes ponen atención al resolver problemas espaciales ha sido investigado ampliamente (e.g. Battista y Clements, 1992; Latner y Movshovitz-Hadar, 1999; Kieren y Pirie, 1992; Leung, 2003; Mason, 1992; Owens y Clements, 1998). Kieren y Pirie (1992) ilustraron el aprendizaje como anidado en círculos en donde el círculo más interno representa al conocimiento primitivo. Ellos conjeturaron que los estudiantes aprenden a través de “formar imágenes”, “tener imágenes”, “notar propiedades”, “formalizar”, “observar”, “estructurar” e “inventar”. Cuando es necesario los estudiantes regresan a un nivel anterior antes de progresar.

Se ha mostrado también que el programa de computadora Logo ayuda a la atención y a la extensión del razonamiento visual. Estudiantes que usaron Logo para desarrollar conceptos geométricos tales como cuadrado, rectángulo y cuadrilátero superaron a los estudiantes control (Battista y Clements, 1992). Algunos estudios de caso ilustraron la fuerza del razonamiento visual desarrollado por el uso de Logo. Por ejemplo, los estudiantes hablaban de giros iguales para hacer un cuadrado y para hacer un pavimentado de cuadrados. Logo alienta un pensamiento visual más sofisticado en estudiantes más jóvenes y también permite a estudiantes en grados más altos notar propiedades. Los estudiantes de más edad reconocieron que los cuadrados tienen propiedades específicas de los rectángulos y gradualmente desarrollaron una relación estructurada entre los rectángulos y los cuadrados. Ellos observaron que “el uso apropiado de Logo ayuda a los estudiantes para que empiecen a hacer la transición del nivel de pensamiento visual de Van Hiele al descriptivo/analítico” (p. 57).

De acuerdo con Ruiz, Lupiañez y Valdemoros (2002) la tecnología ayudó con la clasificación de formas centrando la atención de los estudiantes en la semejanza para clasificar. Su estudio mostró que algunas tareas que involucran software de computadora eran efectivas en la escuela elemental, pero otras eran más adecuadas para establecer nociones de razón y proporción en la escuela secundaria temprana. Las tareas en sí mismas eran comprometedoras y abarcaban varias áreas matemáticas. Inicialmente se hacían juicios intuitivos seguidos de comparaciones en las que los objetos (formas en la pantalla) eran sobrepuestos uno sobre el otro y se hacían comparaciones cuantitativas. Por ejemplo, en la escuela elemental, algunos conjuntos de rectángulos se sobreponían unos a otros y eran comparados. La percepción visual de la semejanza iba seguida de una medición para confirmar tal percepción.

Meissner (2001) revisó artículos teóricos que tratan con imágenes, conceptos y procesos. Él hizo referencia a (a) el trabajo de Tall y sus colegas en términos del símbolo que representa tanto al proceso como al producto; (b) La teoría de Sfard sobre la interiorización del proceso, la condensación a través de ejemplos diversos, y la ‘reificación’[3] con un concepto imagen, y (c) La teoría de Duninsky de las acciones, procesos, objeto y esquema. La contribución de Meissner a esta área es proveer diagramas que él llamó símbolos para proporcionar el pensamiento flexible asociado con ‘proceptos’[4] – conceptos preliminares a la formación  de conceptos. Él ilustró cómo los diagramas de redes y otros diagramas podían, como otros símbolos, desarrollarse como un conjunto de procedimientos con reglas (transformaciones) y actuar como ambos: proceso y objeto, así como ser extendidos, cambiados y manipulados.

Para examinar el juego entre imagen y concepto, y el papel de las imágenes prototípicas y los preceptos, podemos tomar el concepto de ángulo. Los ángulos tienen numerosos significados asociados con imágenes, metáforas y estructuras metonímicas que son construidas por los estudiantes a partir de sus experiencias, y condensadas como modelos cognoscitivos (Matos, 1994). Muchos conceptos están insertados en experiencias corporales (e.g. el modelo de un cuerpo que gira o de una trayectoria). Otras nociones son ángulos como unos puntos, como un surtidor, como un camino, como dos líneas que se conectan, como un punto de intersección, como una esquina interior, y como una abertura. Cada noción está asociada con una imagen, una metáfora y una estructura metonímica. Sin embargo, los estudiantes perciben un ángulo, inicialmente, como estático más que como un giro dinámico (Mitchelmore y White, 1996). Estos autores sugieren que, antes de abstraer un concepto general de ángulo, los estudiantes primero entiendan los ángulos en un contexto particular. Ellos mostraron que niños de 2°, 4° y 6° encontraron ángulos en una variedad de contextos distintos, algunos de los cuales eran dinámicos, como en puertas y tijeras que abren y cierran, mientras otros eran estáticos como un ángulo en una figura (Mitchelmore y White, 1998). Ellos encontraron el siguiente desarrollo en el reconocimiento de la semejanza de ángulos: (a) Contextos de paredes, cruce de carreteras, y mosaicos, (b) Tijeras, (c) Abanicos y señales de camino empinado, (d) Abrir una puerta, y pendiente de una colina, y (e) Giro de una rueda. Las tijeras, el abanico y la puerta correspondían todos a aberturas, la pendiente de una colina y la señal de empinado eran semejantes, mientras que la rueda era más difícil porque los brazos del ángulo no son visibles.

Un contexto alternativo para aprender acerca de los ángulos ha sido el software para computadora Logo. Los resultados de un estudio anterior de Kieran (1986) podrían ser explicados por las dificultades que Mitchelmore y White han articulado. El ángulo como una cantidad de giro formado por la tortuga móvil en la pantalla continuaba confundiendo a los estudiantes después de la experiencia (Kieran, 1986). Incluso un intento de resaltar el giro de la línea con rayos láser no habilitó a los alumnos para ver el tamaño del giro en lugar del ángulo estático formado por dos líneas. El concepto de ángulo y la habilidad para reconocer ángulos iguales cuando la longitud de los lados y la orientación eran cambiados no era mucho mejor en los estudiantes del grupo que usó láser que en el que no lo usó. “La mayoría de los niños no van a adquirir las ideas matemáticas poderosas subyacentes a Logo sin un buen ‘codazo’[5] de vez en cuando” (Kieran, 1986, p. 104). Ella encontró que alumnos de cuarto grado, después de un año con Logo, parecían mantener los ángulos estáticos y su medida en un compartimiento mental, y los giros dinámicos y su aportación[6] en otro, además de basarse en “claves perceptivas” más que en “conocimiento sabido”. Los alumnos de sexto grado parecían más capaces de integrar la imaginería estática y dinámica. Mitchelmore y White (1998) se refieren a este desarrollo como la abstracción del concepto de ángulo.

Noss (1986), sin embargo, encontró que usar Logo tenía un efecto significativo en comparar ángulos desiguales en orientaciones distintas y en identificar el menor ángulo en un conjunto. Los resultados de la investigación de Scally (1987) indicaron que Logo puede haber ayudado a los estudiantes a desarrollar conceptos de ángulos pero que casi todos los estudiantes estaban en los niveles 1 y 2 de Van Hiele tanto para las evaluaciones del pre-como del post-test.

Los estudiantes necesitan aprender a razonar sistemáticamente y visualmente y a estar concientes de las imágenes prototípicas. Styliniaou, Leilin y Silver (1999) exploraron las estrategias de solución al resolver problemas de visualización que involucraban desarrollos planos (patrones de armado de sólidos geométricos). Alrededor de la mitad de los alumnos de octavo grado usaban un modo mental para discurrir los desarrollos planos, mientras que otros utilizaron material concreto. En ambos modos, algunos estudiantes trabajaron sistemáticamente mientras que otros usaron el método de ensayo y error. Los estudiantes que usaron materiales concretos podían cortar una cara y ponerla sistemáticamente en varias posiciones para formar nuevos patrones. Los estudiantes que iban y venían entre dos y tres dimensiones hacían más ensayos y obtenían patrones repetidos, generalmente. Algunos acercamientos similares para hacer pentaminos fueron evidentes en el estudio de Owens (1992). Algunas dificultades inherentes en el desdoblamiento mental de sólidos tridimensionales se mostraron cuando se les pidió a algunos niños desdoblar mentalmente el tetraedro, el paralelepípedo y el cubo (Mariotti, 1991, 1993). Ella encontró que la imagen mental del tetraedro era afectada por experiencias anteriores de figuras estándar de desarrollos planos de la pirámide cuadrada (una imagen prototípica). Los estudiantes que exitosamente analizaron formas tridimensionales usando objetos mentales no fueron capaces, necesariamente, de mantener huellas de las características en el modelo físico.

Las respuestas de los estudiantes fueron las mismas independientemente que ellos usaran un modelo o un diagrama (Kopelman y Vinner, 1994). Los investigadores notaron que el avance con la edad indicaba la base social de los conceptos espaciales. Las experiencias y conceptos anteriores influían en el reconocimiento de ángulos iguales en diagramas complejos (Owens, 1999) pero no parecían ayudar a los aprendices experimentados en su entendimiento acerca de las líneas paralelas o los ángulos entre líneas que no están en el mismo plano (Kopelman, 1996).

Los estudiantes enfrentan otras dificultades visuales cuando resuelven problemas. La perpendicularidad y el paralelismo tienen un impacto sobre la realización e interpretación de dibujos y sobre la formación de conceptos. Una investigación inicial (Mitchelmore, 1983) mostró que una representación aceptable de una figura tridimensional regular requería que los niños reconocieran líneas paralelas en un sólido, darse cuenta que las rectas paralelas son claves significativas y representar el paralelismo apropiadamente. Más tarde Mitchelmore (1992) mostró que las concepciones de los estudiantes sobre la perpendicularidad no eran primitivas, desde el punto de vista perceptivo, como lo eran para el paralelismo. Algunos estudiantes pensaban que todas las rectas que se intersecaban lo hacían en ángulos rectos o no las reconocían en los rectángulos y, aun los mejores estudiantes, no reconocían a los ángulos rectos si no era con lados verticales y horizontales (por ejemplo los inscritos en hexágonos) o cuando tenían que ser imaginados para los lados no adyacentes del octágono rectangular. Se ha encontrado también que los estudiantes tienen dificultades en desencajar el ángulo de la configuración (Owens, 1996a) y del contexto cuando se abstrae el concepto de ángulo (Mitchelmore y White, 1998). Algunas experiencias con representar con gestos las direcciones de ángulos y hacer un transportador sencillo, acompañadas de una reflexión sobre la experiencia, resultaron ser benéficas en el aprendizaje del concepto de ángulo (Krainer, 1991).

En las secciones iniciales de este capítulo se estableció que la intuición es una noción importante para entender el aprendizaje de la geometría por parte de los estudiantes. Esta sección ha ilustrado que las imágenes prototípicas (Hershkowitz y Vinner, 1983) siguen siendo aspectos importantes de la intuición y que la investigación se ha extendido y ha mostrado cómo las imágenes prototípicas también pueden conducir a dificultades en el aprendizaje. Sin embargo, la percepción visual no es el único proceso que puede limitar el desarrollo conceptual de los estudiantes. La percepción táctil también puede presentar dificultades relacionadas con tener experiencias sobre los objetos, tomar decisiones iniciales de tipo gestalt, carecer de conexión entre la memoria a largo y a corto plazo y hasta con reconocer partes de sólidos (Jirotková y Littler, 2002). La tarea de explorar con el tacto un sólido colocado en una bolsa y después sentir el mismo sólido en otra bolsa dio como resultado un rango de caminos para la solución más amplio que lo esperado.

Interpretación y uso de representaciones diagramáticas

La interpretación de representaciones en dos dimensiones de formas tridimensionales está influenciada por las experiencias culturales y escolares (Bishop, 1983). Los estudiantes necesitan aprender convenciones sobre diagramas, ya que este conocimiento afecta su desempeño en los problemas, y también reconocer características críticas y no-críticas de una imagen (Hershkowitz, 1989; López-Real y Veloo, 1993; Harada, Gallou-Dumiel y Nohda, 2000; Dvora y Dreyfus, (2004). Las representaciones pueden tener un estatus doble: “(a) una ‘finitud’ en el sentido de una forma finita y variada en su espacio-temporalidad; (b) una forma geométrica en su ‘objetividad ideal’, separada de las restricciones materiales ligadas a su representación externa” (Mesquita, 1994, p. 271). Las representaciones construidas usando relaciones geométricas tienen las características de objetos (representaciones de un esquema mental) mientras que los diagramas topológicos o proyectivos tienen las características de ilustraciones. Cuando se trabaja en una ilustración desarrollada a partir de un contexto (más que de una lección de matemáticas), los estudiantes fácilmente codifican y usan procedimientos de control que los ayudan a “entender la geometría y las reglas de su razonamiento” (Mesquita, 1994, p. 227). Parece que los estudiantes tienden más a poner atención en el diagrama, que en la descripción verbal de un problema (Mesquita, 1996) y además, los cambios en un diagrama durante la resolución de problemas pueden ayudar a la percepción de relaciones nuevas y al reconocimiento de información redundante (Nunokawa, 1994). Wu y Ma (2005) mostraron que ciertas diferencias entre formas se aprehendían más fácilmente que otras, especialmente aquellas entre figuras de lados curvos y rectos y aquellas con ángulos obtusos.

Los diagramas ayudan a los estudiantes a poner atención en características clave. Cuando se les solicitó a futuros maestros una descripción de un sólido hecho de cubos usando “palabras y/o diagramas”, la mayoría hizo un dibujo con muchas palabras (Burton, Cooper y Leder, 1986). La mayoría de los estudiantes que reconstruyeron el sólido exitosamente, a partir de la descripción, trabajaron inicialmente con un diagrama. Cuando algunos alumnos produjeron planos ortogonales codificados para una variedad de formas policúbicas, sus estrategias abarcaron sistemas de referencia de una a tres dimensiones (Noelting, Gaulin y Puchalska, 1986). Después de la instrucción en estos sistemas codificados de representación, los niños cambiaban de representaciones verbales a gráficas y las niñas a modo mixto –81% de todos los alumnos fueron exitosos sin importar el grado ni el sexo (Ben-Chaim, 1986).

Los atributos críticos y no-críticos de un diagrama tienen un impacto en los conceptos geométricos (Vinner y Hershkowitz, 1980, 1983; Vinner, 1981). Las imágenes iniciales, es decir imágenes prototípicas, son particularmente importantes en cuanto a ser, ya sea un punto de partida o una limitante a la formación del concepto. Estos autores han mostrado que el orden de aceptación de los cuadriláteros en términos de figuras de cuatro lados fue primero, el cuadrilátero convexo con todos sus lados de longitudes diferentes, segundo, el cuadrilátero cóncavo, y tercero, el cuadrado; algunos estudiantes también seleccionaron el ‘bitrian’ (dos triángulos que tienen un vértice común). Hershkowitz y Vinner (1984) mostraron que los niveles de dificultad de diagramas específicos en tareas diferentes eran los mismos para los maestros que para los estudiantes, aunque los maestros generalmente cometían menos errores. Sin embargo, alrededor del 30% de los maestros encontraron difíciles los diagramas complejos. La orientación de una figura o una característica distractora (no común) influyeron en los maestros quienes no parecían usar las definiciones dadas, ya sea porque no estaban concientes de su falta de conocimiento o bien porque no eran capaces de analizar el diagrama adecuadamente para aplicar la definición.

Hazama y Akai (1993) propusieron niveles para clasificar dibujos de formas tridimensionales. Los niveles eran: (a) Caras inexactas, unidas en un punto o parcialmente; (b) Una o dos representaciones ortogonales de caras; (c) Caras unidas pero presentadas para formar líneas rectas; (d) Una idea de perspectiva con caras inclinadas; y (e) Dibujos con perspectiva adecuada. Los autores también notaron que los estudiantes se enfocaban en ciertas características, por ejemplo, la posición de la cara en el cuerpo (e.g. el frente), los nombres de la cara, o el punto de vista del dibujo. Los alumnos de primero y segundo tendían a usar características clave, los de tercero y cuarto completaban sus dibujos con palabras, y los de quinto y sexto añadían líneas puntadas para las aristas ocultas y medidas relevantes a las propiedades espaciales. Algunos estudiantes de todos los grados intentaron dar una perspectiva tridimensional obteniendo los alumnos mayores mejores resultados y con frecuencia moviéndose a un nivel más alto.

La resistencia para usar diagramas puede ser resultado de las expectativas de los estudiantes en cuanto a que el conocimiento matemático escolar es secuencial y no diagramático (Dreyfus y Eisenberg, 1990) y está limitado a escribir enunciados en donde cada elemento está ligado sólo a dos elementos, el anterior y el posterior a él, mientras que la información diagramática presenta la información como un grupo en el que cada elemento se puede conectar a muchos, requiriendo por tanto un pensamiento de orden mayor para evaluar la intención del diagrama. Duval (2000) también sugirió que la información semiótica podía ser socialmente construida pero requiere ser coordinada con la imaginería subjetiva del individuo para el aprendizaje matemático.

EL VALOR DE LAS REPRESENTACIONES FÍSICAS

Los niños pequeños mostraron un rango de estrategias para resolver problemas espaciales con formas representadas por cortes en cartón. Por ejemplo un cuadrado podía ser cubierto por dos triángulos rectángulos isósceles o por dos rectángulos (Mansfield y Scout, 1990). Una estrategia ineficiente usada por niños de 4 a 6 años era tomar piezas y descartarlas sin rotarlas. Las traslaciones eran usadas frecuentemente pero sólo los alumnos de alto rendimiento usaban las rotaciones y reflexiones (voltear las piezas). En general, los alumnos mayores resolvieron más problemas que los pequeños, principalmente como resultado de la persistencia, más que por el uso de estrategias más eficientes o variadas. Los niños que tenían éxito en las tareas parecían reconocer las formas que no llevaban a una solución, y reposicionaban las piezas. Un estudio similar mostró que estudiantes de niveles más bajos eran propensos a elegir una forma grande con una longitud parecida para cubrir un cuadrado en vez de manipular las formas dadas para cubrirlo (Wheatley y Cobb, 1990).

La nominación de puntos con coordenadas en geoplanos ayudó a niños pequeños a enfocarse en el análisis de las traslaciones y las simetrías de figuras. Dificultades, tales como las coordenadas inversas para un punto, fueron especialmente productivas durante el intercambio de mensajes porque los estudiantes discutían la legitimidad de invertir las coordenadas así como el efecto en las coordenadas de una traslación o una simetría (Lowenthal y Marco, 1981).

Vincent y McCrae (1991) pusieron a los alumnos a construir modelos a partir de geotiras, después a dibujar el modelo y considerar aspectos varios del modelo con el fin de verificar cómo funcionaba. Un problema requería una solución construida sobre los ángulos de un triángulo pero algunos estudiantes fallaban al visualizar el triángulo, un lado del cual no era parte del modelo físico de representación. El uso de un pantógrafo de cuatro lados rectos rígidos ligados y un triángulo elástico ilustraba cómo podían hacerse transformaciones a los materiales físicos con el fin de que los estudiantes desarrollaran sus imágenes concepto (Hasegawa, 1993). La rotación de la imagen de un cuadrilátero, el conteo de vértices, lados, el uso de transformaciones y la generalización (ilustrados por las transformaciones físicas de las aristas ligadas y los lados elásticos del triángulo) fueron todas maneras de decidir cómo clasificar la forma. Algunos modelos tridimensionales dinámicos ayudaron a los estudiantes a construir relaciones entre sólidos geométricos y sus propiedades y entre los sólidos mismos (Markopoulos y Potari, 1999). Los maestros fueron capaces de discutir propiedades variantes e invariantes de sólidos tridimensionales (Markopoulos y Potari, 2000).

Otros investigadores han usado modelos para obtener las concepciones de niños pequeños (Elia, Gagatsis y Kyriades, 2003; Hoyos, 2003; Mitchelmore y White, 1998). Estas concepciones pueden, ser desarrolladas más aún posteriormente. Por ejemplo, cuando los estudiantes hicieron cajas para acomodar algunos objetos que se les dieron (Lampen y Murria, 2001) se produjeron estrategias espaciales, asignación de significados, enfoque en factores influyentes, medición, métodos de planeación y evaluación Similarmente, cuando estudiantes jóvenes compusieron y descompusieron figuras de dos dimensiones, ellos trabajaron a partir de las partes al todo del todo a las partes en diferentes niveles de complejidad y de éxito. Los resultados de los estudiantes podrían ser clasificados en los siguientes niveles: (a) Formas combinadas en dibujos, (b) Combinaciones sintetizadas de formas en formas compuestas y (c) Finalmente se llegaba a operar sobre y a iterar tales figuras compuestas (Clements, Sarama y Wilson. 2001).

LOS EFECTOS DEL CONTEXTO DEL AULA

El contexto del aula –el problema planteado, las expectativas de la clase, los materiales, el maestro y otros estudiantes– pueden influir en el proceso de solución. Los estudiantes atienden selectivamente a aspectos de este ambiente mientras trabajan mentalmente con sus percepciones y las ligan a sus memorias existentes. Las interacciones estudiante-estudiante y estudiante-maestro en el contexto del aula podrían influir lo que los estudiantes perciben y a sus respuestas afectivas y heurísticas (Owens, 1996b).

Los aspectos de la comunicación son importantes para desarrollar la argumentación y la prueba. Primero la maestra puede plantear un problema interesante para generar comunicación sustantiva acerca del tópico entre los estudiantes y con la maestra misma (Owens, 2005). Por ejemplo Mariotti, Bartolini Bussi, Boero, Ferri y Garuti (1997) seleccionaron tres contextos bien diferentes: (a) Dibujar una mesa desde una perspectiva específica, (b) Una discusión sobre sombras y (c) Construcciones geométricas en el ambiente Cabri. Los investigadores quisieron mostrar una progresión de la discusión de los estudiantes de observaciones empíricas a la argumentación (en el sentido de que las reglas establecidas eran alcanzadas), anterior a la comunicación de la prueba o la validación. Las explicaciones de los estudiantes acerca de la longitud de las sombras fueron clasificadas después en términos de su naturaleza causal, condicional y descriptiva (Boero, 2002). Parecería importante un entendimiento razonable del fenómeno físico si los estudiantes van a dibujar el diagrama de la sombra como un triángulo rectángulo, con el rayo de sol como hipotenusa y la sombra como la base horizontal. Douek (1998) describió con detalle el uso de sombras, mostrando cómo los estudiantes construyen gradualmente el esquema de sombras, el significado de dirección e inclinación, y la representación plana del sol y la sombra moviéndose en un campo tridimensional. Los diagramas de sol y sombra de estudiantes de quinto grado y sus intentos de dibujar el diagrama del abanico son descritos como un proceso de modelación y producción geométrica por Mariotti (1996) quien subraya que la petición de un diagrama por parte de la maestra trasladó el conflicto al frente y a la necesidad de encontrar un medio de comunicar el fenómeno matemático consistentemente. Las intervenciones de la maestra pueden ser importantes en impulsar el conocimiento de los alumnos. Por ejemplo, en el estudio de Mariotti (1994) la intervención de los maestros ayudó a los estudiantes a darse cuenta de la semejanza, mientras que las percepciones de los estudiantes enfatizaban las diferencias entre los modelos.

La intervención de la maestra puede ser provocativa (apuntando a los estudiantes hacia la solución) o invocadora en cuyo caso la intervención anima a los estudiantes a reconocer la necesidad de plegarse hacia un nivel interior del entendimiento matemático (Kieren y Pirie, 1992). La intervención anima a los estudiantes a validar representando la acción matemática verbalmente, simbólicamente o figurativamente. El impacto de cada tipo de intervención en las respuestas de los estudiantes fue ilustrada por medio de ejemplos de alumnos de 14 años que comparan piezas patrones de bloques. Koyama (1996) usó un modelo de dos ejes, uno para mostrar las etapas de aprendizaje de la intuición, la reflexión y el análisis mientras que el otro muestra los niveles de entendimiento. La combinación de tareas que involucraban trayectos geométricos entre dos puntos y las prácticas reflexivas de los estudiantes fueron usados para validar las tres etapas de aprendizaje. Las intuiciones fueron modificadas por la reflexión, especialmente durante la discusión de la clase completa. Koyama (1996) ilustró cómo los estudiantes reflexionaban a niveles de entendimiento diferentes –los estudiantes de nivel más alto se daban cuenta de la estructura del problema, mientras que los estudiantes menos competentes trabajaban haciendo cálculos. En una segunda lección las intuiciones de los estudiantes fueron influenciadas por las experiencias de la primera lección y fueron más cercanas a lógico-matemáticas.

Por varios años, una cantidad de investigadores se ha enfocado en la tecnología de geometría dinámica, especialmente el grupo de investigación de Grenoble, Francia. Laborde (2001) resume los usos prospectivos de software de geometría dinámica de cuatro maneras: (a) Facilitar el dibujo con resultados similares a aquellos hechos con papel y lápiz; (b) Facilitar las tareas matemáticas que involucran hacer conjeturas y dibujar muchos ejemplos para llegar a la solución; (c) Cambiar una tarea que requiere el uso de propiedades más que la percepción para resolver el problema; y (d) Nuevas tareas a las que sólo se puede tener acceso en ambientes de geometría dinámica. Sólo los artículos recientes que ilustran cómo el software provee un contexto para el aprendizaje son discutidos en este capítulo.

Los objetos concretos (o dibujos) ayudaron a los estudiantes a establecer la generalización abstracta de un conjunto de dibujos (o figuras) (Giraldo, Belfort y Carvalho, 2004). Por esta razón, Cabri puede ayudar al desarrollo de definiciones, por ejemplo, de los cuadriláteros (Pratt y Davison, 2003). Sin embargo, los maestros requieren de habilidades para usar tecnología de geometría dinámica. Los maestros pueden usar tecnología de geometría dinámica para la instrucción directa pero es usada más efectivamente para comprometer a los estudiantes en un reto ligado a un concepto matemático (Guimaraes y Belfort, 2004). El contexto del aula también influye en el aprendizaje con geometría dinámica (Gardiner, Hudson y Povey, 1999) y la interacción, a menudo generada por un conflicto entre los estudiantes, puede ocurrir (Giraldo, Belfort y Carvalho, 2004). Las fortalezas de Cabri incluyen el acceso de claves numéricas y figurativas y la capacidad de producir y refinar objetos para encontrar una solución (Love, 1996; Hazzan y Goldenberg, 1997) pero la carencia de exactitud de la imagen puede ser un retroceso (Sinclair, 2003). Otra fortaleza es que Cabri extiende las herramientas de dibujo de líneas rectas y círculos para incluir la parábola (Love, 1996).

La intervención de la maestra apuntando la dependencia en Cabri fue necesaria para que los estudiantes progresaran cuando no podían arrastrar un punto de intersección por su dependencia de otros objetos (Jones, 1996). Los estudiantes extendieron su idea de dependencia al darse cuenta de que el tamaño de un círculo depende de su radio y que borrar un objeto borra todos los objetos dependientes. Los estudiantes relacionaron la idea de dependencia a una función que muestra una relación entre objetos.

Sin embargo, algunas definiciones ingenuas personales (e.g. “las figuras semejantes son iguales pero de tamaño diferente”) pueden conducir a actividades y a intervenciones inadecuadas para los estudiantes (Zaslavsky, 1991; Linchevsky, Vinner y Karsenty, 1992). Similarmente, si se espera que ocurra un mejoramiento en la clasificación y el reconocimiento de semejanzas en figuras como resultado de experiencias con Logo, las habilidades de los maestros al usar logo requieren mejorar (Olive y Lakenau, 1987). Más aún, Lemerise (1990) señaló que Logo (incorporado en Micromundos) provee una alternativa al acercamiento a la geometría tradicional, pero que el uso de Logo es frecuentemente rechazado porque no está ligado al programa. El acercamiento a la geometría en el currículum es demasiado diferente para que la enseñanza incorpore Logo inmediatamente. Una preocupación similar fue expresada por Love (1996) acerca del software de geometría dinámica.

MEDICIÓN

En los primeros años del PME, la medición, como un tópico en sí mismo, no es evidente. El primer artículo que era de medición principalmente estaba enfocado en los métodos utilizados para enseñar conversiones, ninguno de los cuales involucraba la medición de la longitud de manera práctica (Eisenberg, Goldstein y Gorodetsky, 1982). No fue sino hasta 1987, que hubo una sesión designada como “Medición” en la tabla de contenidos de las memorias del PME y sólo hasta el 2003 hubo una plenaria que involucraba conceptos de medición (Dougherty y Zilliox, 2003). En años recientes ha habido artículos que se han enfocado en la estructura de conceptos de medición y programas de enseñanza.

Programas para enseñar medición

El programa Mesure Up (MU) (Dougherty y Zilliox, 2003) mencionado en la plenaria está basado en la noción de que la medición puede proveer un fundamento que cohesiona a través de todas las matemáticas (Davydov, Gorbov, Mukulina, Savelyeva y Tabachnikova, 1999, citados en Dougherty y Zilliox, 2003). En el programa MU niños pequeños empiezan a describir y definir atributos físicos de objetos que pueden ser comparados y medidos en unidades que pueden ser contadas. Los alumnos de primer grado se dan cuenta que para contar, primero tienen que identificar qué unidad están usando con el fin de que tanto el proceso como el resultado adquieran sentido. El uso de cantidades continuas permite a los estudiantes estar preparados para desarrollar nociones alrededor de las propiedades de conmutatividad, asociatividad e inversión. Los estudiantes ligan simultáneamente representaciones físicas, diagramáticas y simbólicas. La investigación MU indicó que los estudiantes de tercer grado pueden usar símbolos algebraicos y diagramas abstractos y generalizados para resolver problemas (Gougherty y Slovin, 2004).

Otro programa de medición para escuelas elementales (Departamento de Educación y Entrenamiento, 2003, 2004; Outhred y McPhail, 2000; Outhred, Mitchelmore, Mcphail y Gould, 2003) está basado en un marco conceptual e incluye conocimientos y estrategias que los maestros debieran evaluar, combinados con ideas para las lecciones y planes ligados al marco teórico. El programa se enfoca en principios generales de la medición, desarrollados a través de actividades prácticas abiertas con un énfasis en el registro y la discusión. La evaluación hecha por los maestros de los estudiantes indicó un mejoramiento en conceptos de medición.

Para longitud, área y volumen la organización espacial de las unidades, en una, dos y tres dimensiones, respectivamente, es fundamental para una comprensión de la medición de la cantidad. En contraste, la estructura espacial no es importante para la masa, temperatura y tiempo, excepto en términos de leer una escala. Las secciones siguientes presentan una investigación para cada una de las cantidades espacialmente-organizadas. Casi no se encontró investigación acerca de las concepciones de los estudiantes sobre la masa, temperatura y tiempo en las memorias del PME.

Longitud

Estudios de niños trabajando con Logo impulsaron investigaciones sobre su entendimiento acerca del número y la unidad para cantidades continuas. En un estudio de Hoyles y Noss (1987), los estudiantes que usaron Logo se comportaron casi tan bien como niños de 1 a 3 años mayores en ítems sobre conservación de la longitud y combinaciones de longitud; pero los investigadores notaron que se necesitaban muchas experiencias de aprendizaje antes de que los estudiantes fueran capaces de conectar satisfactoriamente las relaciones simbólicas y el resultado visual. Campbell, Fein y Schwartz (1987) investigaron el conocimiento de niños pequeños de la relación inversa entre el tamaño de la unidad y el número de unidades. Estos autores consideraron que el ambiente de Logo permitió a los niños controlar las transformaciones de tamaño y número de las unidades, sin la destreza requerida en actividades de medición práctica. Los investigadores encontraron que los niños entendían que la distancia podía ser recorrida iterando una unidad de medida pero cuando la unidad se partía a la mitad o la distancia se incrementaba, la estimación de la longitud se volvía más difícil. Las tareas de medición mostraban una liga directa al esquema de conteo más que al de medición. Este hallazgo fue respaldado por el estudio de Cannon (1991) de estudiantes de escuela media. Cannon (1991) ppropuso una tarea en la que los estudiantes representaban longitudes equivalentes en centímetros en una regla graduada en “flugs” (1 flug = 2 cm), una tarea de agregar unidades (esta recta mide 4 unidades, dibuja una recta que mida 12 unidades de largo) y una tarea que involucraba partir una recta en un número de unidades dado. Los estudiantes eran más propensos a representar las unidades como puntos discretos en la tarea de partición, porque pensaban que el número de puntos determina el número de unidades. Inicialmente, predominó el conteo de unidades discretas, pero muchos estudiantes redefinieron sus representaciones como segmentos de línea. Stephan y Cobb (1998) también encontraron que las explicaciones de los estudiantes jóvenes de actividades de medir con pasos concernían más al número de pasos que a cantidad de espacio.

Un énfasis en puntos discretos (o marcas) en una regla fue evidente en un estudio de medición de la longitud (Braga y Outhred, 2000). Ellos presentaron a los estudiantes ítems relacionados con procesos (la técnica de usar una regla) y conceptuales (la comprensión de la construcción de una escala). Más o menos a los 10 años, la mayoría de los estudiantes podían usar una regla para medir y construir rectas con exactitud. Casi todos los errores involucraban problemas con el cero (medir a partir del extremo de la regla o del uno). Sin embargo, sólo alrededor de la mitad de los estudiantes pudo completar tareas exitosamente, tales como medir con una regla “rota”, que requería el conocimiento de lo que es una escala. Estos autores (Braga y Outhred, 2001) también mostraron que había un abismo entre el uso de los estudiantes de unidades informales de medida para medir y su comprensión de una unidad de medida formal (el centímetro).

Aunque los estudiantes podían medir usando unidades informales y podían usar una regla, muchos de los estudiantes no podían indicar las unidades de centímetro en una regla. Ellos se enfocaban en marcas, o en donde terminaba la recta; muchos de ellos también parecían tener una idea bidimensional del centímetro. Un estudio subsecuente con estudiantes mayores mostró que muchos de ellos aún no tenían un conocimiento conceptual de una escala, pero consideraban las marcas como unidades (Braga y Outhred, 2004). Los resultados indicaron que un énfasis en el conteo podía oscurecer la naturaleza lineal de las unidades, y que la mayoría de los estudiantes no entendían las relaciones entre las unidades lineales y una escala formal.

El análisis de Nuhrenborger (2001) sobre las conexiones estructurales, que los niños hacían entre las unidades lineales y los números, a través las representaciones de una regla que esos niños hicieron encontró que, al inicio de segundo grado, pocos estudiantes sabían que una regla comprende unidades diferentes, pero relacionadas. Los niños pequeños no entendían cómo las unidades están estructuradas y coordinadas; y que tratar con unidades tridimensionales, informales obscurece la naturaleza lineal de la unidad de medida. Los problemas que involucran escalas son difíciles. Maranhaa y Campos (2000) investigaron hasta dónde el conocimiento de algunos instrumentos no convencionales y unidades informales puede apoyar a los estudiantes que ya antes medían con instrumentos métricos convencionales para resolver problemas de escalas y concluyeron que tales procesos son benéficos.

En un estudio acerca de la sofisticación del pensamiento de los estudiantes acerca de la longitud, Battista (2003) examinó cómo razonan los estudiantes acerca de la longitud de una variedad de trayectos rectos y no rectos. Battista documentó niveles de razonamiento tanto de no-medición como de medición. Sus tres niveles de razonamiento de no-medición incluían usar estrategias visuales, basadas en transformaciones, o geométricas para comparar longitudes. Los niveles de medición incluían la iteración de una unidad de longitud hasta un concepto de longitud abstracto cuando los estudiantes podían usar las reglas significativamente y razonaban acerca de la longitud sin iterar unidades.

Área

Moverse de unidades unidimensionales involucra una complejidad adicional así que, no sorprendentemente, la investigación indica que los estudiantes tienen una comprensión pobre de las unidades de área y sus características espaciales. Héraud (1987) entrevistó a estudiantes a los que no se les había enseñado nada acerca del área, y encontró que su elección de una unidad de medida estaba influida fuertemente por la forma de la figura a cubrir. Él percibió que los estudiantes requieren experiencias con una variedad de unidades antes de que se den cuenta de que un cuadrado es una elección racional.

La información que los niños adquieren en la escuela depende del conocimiento que sus maestros traen a colación sobre un tema. Tierney, Boyd y Davis (1990) encontraron que muchos futuros maestros de primaria pensaban en el área solamente como largo por ancho; generalizaban la fórmula para obtener el área de un rectángulo a figuras planas distintas a los rectángulos; usaban la fórmula, pero registraban unidades lineales, en lugar de cuadradas; confundían área y perímetro; y usaban cualesquiera números que fueran visibles o contaban algo, e.g. cuadros en el perímetro. Los estudiantes para maestro pueden calcular el área como largo por ancho, pero tal elección de una multiplicación es a menudo el resultado de un pensamiento procedimental más que conceptual. En otro estudio de estudiantes para maestro, Simon y Blume (1992) encontraron que nadie en la clase parecía conectar un sentido visual del área como cantidad de superficie con un concepto abstracto de multiplicación. Los estudiantes parecían centrarse en dos cantidades, el número de rectángulos a lo largo de la longitud y del ancho, sin reconstituir estas cantidades como el número de rectángulos en un renglón y la cantidad de renglones.

La comprensión del área como la cuantificación de la superficie por los estudiantes fue investigada por Outhred y Mitchelmore (1992, 1996) quienes encontraron que pocos estudiantes jóvenes utilizaban la multiplicación para enumerar el número de elementos en un arreglo. La mitad de los estudiantes contaban elementos individuales, mientras que el 38% utilizaba la suma repetida. Estos resultados fueron replicados con una muestra más grande en Outhred y Mitchelmore (2000, 2004). La manera en que los estudiantes dibujaban cuadrados para cubrir un rectángulo y sus estrategias de enumeración parecían estar relacionadas. Los estudiantes que representaban la estructura del arreglo en términos de renglones y columnas tendían a contar en grupos (renglones y columnas) o usaban la multiplicación. Estos autores recomendaron que ligar el conteo a la estructura de arreglos podía ser una técnica poderosa para desarrollar los conceptos tanto de área como de multiplicación.

Un análisis de la comprensión de los estudiantes del área antes de ser enseñada formalmente mostró que el conocimiento de la estructura de arreglos proveía una base para obtener el número de unidades cuadradas necesario para cubrir un rectángulo (Outhred y Mitchelmore, 1996). En particular, el que los estudiantes tomaran conciencia, de que el número de unidades en cada renglón y columna podía determinar las longitudes de los lados del rectángulo fue un principio fundamental de la medición de áreas. Se encontró que el dibujar un arreglo de unidades usando dos conjuntos de rectas paralelas era más difícil que lo que se esperaba, lo cual sugiere que la estructura de una teselación de cuadrados no es obvia para los estudiantes, sino que debe ser aprendida (Outhred y Mitchelmore, 2000). Sólo un cuarto de la muestra de estudiantes de escuela media de Callingham (2004) pudo describir una teselación cuadrada en un nivel abstracto.

En la enseñanza de la medición a menudo se recomiendan actividades prácticas usando unidades informales porque pueden ser utilizadas para mostrar principios de la medición. Sin embargo, no siempre los estudiantes relacionan las actividades prácticas con la formalización.  Hart (1993) propuso algunas maneras para tender un puente sobre el espacio que separa los materiales prácticos y la formalización. El éxito de los estudiantes para resolver problemas puede ser determinado por el sistema simbólico utilizado, las herramientas accesibles y la situación problema. En un estudio por Nunes, Light, Mason y Allerton (1994) los estudiantes tuvieron acceso a dos herramientas diferentes, reglas y ladrillos. Los estudiantes que tuvieron acceso a los ladrillos, aunque insuficientes para cubrir el área, tuvieron más éxito que aquellos que usaron la regla tanto en el post-test como en el post-test retrasado (un mes después). Los autores sugieren que la fórmula que se les enseña a los estudiantes no encaja bien en los patrones que los alumnos han desarrollado por sí mismos. Sin embargo, los ladrillos también estructuran la teselación, mientras que al usar la regla los estudiantes necesitan ser capaces de visualizar el área partida. Doig, Cheeseman y Lindsay (1995) también encontraron que los estudiantes que usaban mosaicos de madera para cubrir una superficie eran doblemente exitosos que los que usaban cuadros de papel porque los mosaicos de madera encajaban juntos, estructurando la teselación.

El tamaño y la forma de la unidad pueden afectar el cálculo de un área. En un estudio con estudiantes de cuarto grado que se enfrentaban a la tarea de comparar dos áreas, una rectangular y otra irregular, la cual podía visualizarse como rectángulos de diferentes tamaños, se encontró que algunos estudiantes explicaban el área como “largo × ancho” mientras que otros explicaban que era un múltiplo de una unidad de área (Fujita y Yamamoto, 1993). Estos autores sugieren que los estudiantes necesitan entender la necesidad de una unidad de área universal y el proceso de usar unidades de diferentes tamaños para medir. La forma de las unidades puede también afectar la visualización de la teselación. En un estudio grande, estudiantes de nivel elemental tenían que determinar (por visualización o dibujo) cuántas unidades (cuadradas, en forma de triángulo equilátero o rectángulo, y rectángulos) se requerían para cubrir formas regulares o irregulares (Owens y Outhred, 1997). Los estudiantes tenían mayor dificultad en visualizar una teselación de unidades triangulares.

Los hallazgos de un estudio de Furinghetti y Paola (1999) indicaron que los estudiantes de secundaria poseían muchas imágenes y definiciones asociadas con el área pero no disponían una definición matemáticamente aceptable que fuera coordinada, consistente y clara. Los escritos de alumnos de séptimo grado mostraron evidencia de la confusión entre área y perímetro y la creencia de que existe una relación directa entre área y perímetro. Esta última creencia parecía más resistente al cambio que la confusión entre área y perímetro (Moreira y Contente, 1997). Kidman y Cooper (1997) encontraron que la percepción de que el área es la suma de las dimensiones de un rectángulo era común a lo largo de cuarto, sexto y octavo grado. Alrededor de la mitad de los estudiantes parecían estar usando una regla de integración auditiva (área = largo + ancho) mientras que las reglas de muchos otros estudiantes eran inconsistentes. La regla aditiva persistió cuando una pieza semicircular fue removida de un área rectangular pero no cuando la pieza removida fue rectangular. Estudiantes de octavo grado que llevaron un trabajo preliminar con figuras irregulares, antes de que se les enseñaran fórmulas para el perímetro y el área de figuras comunes mostraron un mejoramiento, aunque los estudiantes no siempre conseguían identificar dimensiones relevantes para usar en los cálculos (Comiti y Moreira, 1997). El papel de este conocimiento intuitivo o tácito ha sido explorado más aún por Frade (2005). Ella encontró que cuando el estudiante carece de un conocimiento explícito de la fórmula entonces el conocimiento tácito lo apoya para comunicarse con otros sobre el tema.

Alargamiento y reducción

El área ha sido estudiada también en términos de desarrollar la teoría de reglas intuitivas. Tsamir y Mandel (2000) postularon que cuando dos lados de un cuadrado eran alargados por un factor dado, y concomitantemente, los otros dos eran reducidos en el mismo factor, los estudiantes podían argumentar que el perímetro y el área permanecerían invariantes. A estudiantes de secundaria se les dieron dos tareas en las que las respuestas eran consistentes con la regla intuitiva (igual A-igual B) y dos en las que las respuestas iban en contra de la regla intuitiva. Para las tareas en las que la regla intuitiva no era aplicable, alrededor de una tercera parte dieron respuestas incorrectas para el área (suma y resta de una constante) y alrededor de un cuarto para el perímetro (multiplicación y división por una constante). Los argumentos incorrectos prevalecieron más entre los estudiantes más jóvenes y menos competentes.

De Bock, Verschaffel y Janssens (1996) proveyeron una explicación de porqué el área y el perímetro son tan complejos para los estudiantes, especialmente en situaciones en las que las figuras se alargan o reducen. A estudiantes de secundaria se les dieron problemas que involucraban razonamientos proporcional y no proporcional para tres tipos de figuras (cuadrados, círculos y figuras irregulares). Los estudiantes usaban un modelo lineal para resolver, no sólo los ítems proporcionales, sino también los no proporcionales dando como resultado que sólo un 2% diera respuestas correctas en estos últimos ítems. Resultados similares fueron encontrados (De Bock, Van Dooren, Verschaffel y Janssens, 2001; Mosestou, Gagatsis y Pitta-Pantazi, 2004) para problemas de alargamientos en área y volumen. De Bock et al. (2001) presentaron dos tipos de conflicto cognitivo; en uno, se presentaban respuestas alternativas y en el otro, un par ficticio daba el razonamiento correcto. Aun cuando se les decía el razonamiento correcto, sólo 25% de la muestra cambiaba su respuesta; los otros justificaban su respuesta original. Parecía que los estudiantes se aproximaban tales problemas de una forma superficial, sin hacer representaciones realistas de los problemas. La investigación sobre razonamiento proporcional y no proporcional relacionada con tareas de área y volumen indica lo poderoso del impacto del modelo lineal en el razonamiento del estudiante.

Volumen

La investigación sobre el volumen muestra una tendencia similar a la de área en cuanto a la falta de estructura de las unidades al medir. El conocimiento de las operaciones numéricas no es suficiente; los estudiantes también necesitan visualizar o construir la estructura de arreglo. La estructuración de conceptos sobre el volumen de los estudiantes fue alcanzada para un rango de tareas de dos dimensiones (pictórica) y de tres utilizando la taxonomía SOLO (Collis y Campbell, 1987). Estos autores postularon que la manera en que “los niños organizan cubos individuales para contar debería reflejar los pasos sucesivos en su habilidad para conceptualizar e integrar las tres dimensiones” (p. 292). Los niños de un nivel más bajo en la taxonomía Solo (uniestructural) primero contaban cubos visibles en las construcciones que se les mostraban dibujadas y no tenían una estrategia organizada para los cubos no visibles. En contraste, los niños en el siguiente nivel (multiestructural) empezaron a organizar su conteo por renglones, columnas o capas. Ellos encontraron también que niños “que no incluían a los cubos no visibles cuando contaban la construcción en total, pueden enfocarse en ellos cuando se les pregunta sobre alguna parte particular de la construcción.” Sin embargo, ellos encontraron que estos niños no podían organizar secuencialmente las partes visibles y no visibles para proveer una construcción del todo cuando se les pedía volver a contar los cubos. Una proporción grande de estudiantes de 4° a 6° no usaban la multiplicación para resolver ítems de cubos, sin embargo obtenían respuestas correctas en la mayoría de los ítems de multiplicación. Los autores concluyeron que las tareas de cubos requerían separar conjuntos de habilidades, maestría de las operaciones numéricas relevantes y una comprensión de la estructura interna del sólido.

La comprensión del volumen fue estudiada por Saiz (2003) quien encontró que maestros estudiantes en su muestra consideraban que los objetos volumen-medibles son aquellos para los que se pueden obtener tres longitudes. Los objetos delgados eran percibidos como superficies y por tanto no se consideraba que tuvieran un volumen medible. Los maestros consideraban que objetos de uso cotidiano no tenían volumen debido a su forma irregular. El significado dominante que los maestros tenían para volumen era el de un número obtenido al multiplicar la longitud, la anchura y la altura de un objeto.

CONCLUSIÓN

Este capítulo resalta la diversidad de estudios sobre el aprendizaje del espacio y la geometría e indica la complejidad de la tarea a la que se enfrentan los investigadores y los maestros –cómo sintetizar la investigación en una visión coherente de enseñanza y aprendizaje de la geometría y la medición. En geometría, los estudios iniciales se enfocaban en la comprensión y mejoramiento de habilidades espaciales, pero entrevistas clínicas mostraron el rango de diferencias individuales en el aprendizaje espacial. Se mostró que la resolución de problemas es una clave para que los alumnos pongan atención en las características fundamentales de las formas y en trabajar hacia la comprensión de la relación entre formas. Este desarrollo fue descrito frecuentemente en términos de los niveles de Van Hiele. Se mostró que estos niveles son continuos más que discretos y los estudios mostraron una variedad de conclusiones para apoyar a los alumnos de acuerdo con esta teoría. Sin embargo, son importantes en la educación geométrica de los estudiantes las experiencias que influyan acercamientos preliminares intuitivos y más imaginería visual compleja.

Algunos estudios que han explorado el papel de los materiales, contextos, programas de cómputo y del maestro mismo, para extender el pensamiento geométrico han encontrado que las representaciones semióticas, sociales o las representaciones individuales de las matemáticas pueden ser creadas y usadas por los estudiantes pero que ellos requieren de coordinación mental (Duval, 2000). Heinze (2002) resumió gran parte de la investigación sobre el espacio y la geometría diciendo que la noción de una imagen personal o concepto (Vinner, 1991) debería ser extendida a un esquema de concepto-entendimiento que contenga la definición del concepto, la imagen del concepto y el uso del concepto (Moore, 1994).

Los estudios sobre la medición también se enfocaron en el desarrollo de conceptos, en particular en la importancia de que los estudiantes reconozcan la estructura de las unidades cuando miden los atributos espacialmente-organizados de la longitud, el área o el volumen. Existe investigación considerable acerca de las interpretaciones de los estudiantes sobre las unidades de longitud y área y el uso de herramientas para medir pero poca investigación sobre el desarrollo de conceptos relacionados con el volumen por los estudiantes, los cuales son bastante más complejos, debido a la naturaleza tri-dimensional de la cantidad y a que se debe considerar tanto unidades líquidas como cúbicas.

La investigación indica que los estudiantes para maestros tienen muchas de las concepciones erróneas acerca de los conceptos de geometría y medición que los estudiantes a los que tal vez un día deben enseñar. El reto para los investigadores es considerar la diversidad de la investigación y consolidarla para mostrar las implicaciones y aplicaciones para los maestros, de modo que el entendimiento de los estudiantes sobre geometría y medición sea construido sobre una base firme.

Actividad Final

Responda a las siguientes preguntas después de haber leído el capítulo.

1.      ¿De qué trata este capítulo?

2.      ¿Cómo está organizado? ¿Qué coincidencias y qué diferencias tiene la organización con el Capítulo 1?

3.      Este capítulo es posterior al anterior, parte de lo aquí escrito proviene de las mismas fuentes en las que se basó Hershkowitz (capítulo 1). ¿Hay algo que mencionen los autores del Capítulo 1 que aquí no aparezca?

4.      ¿Qué reflexiones propias aportan los autores?

5.      ¿Cómo introducen en el artículo sus reflexiones?

6.      Mencione las tres secciones que le hayan parecido más interesantes y explique por qué considera que es así.

7.      Revise las preguntas de la actividad inicial y vea si aún daría las mismas respuestas.

---

[1] El Grupo Internacional para la Psicología de la Educación Matemática (Group for the Psychology of Mathematics Education) es un grupo reconocido ampliamente dentro de la comunidad de la Educación Matemática Internacional.

[2] Tertiary en el  original

[3] reification

[4] Preliminary concept formations for specific concepts

[5] Nudge=señal de advertencia.

[6] input