Citar como:
Hans Freudenthal (1983). Didactical Phenomenology of Mathematical Structures. Dordrecht, Holland: D. Reidel Publishing Company. (Chapter 1. As An example: Length, pp. 1-27).
Defina longitud de una o más maneras.
Mencione objetos susceptibles de ser medidos respecto a la longitud.
Mencione seis situaciones en las que sea necesario medir longitudes.
Describa cómo puede medir la longitud de los siguientes objetos o personas:
(a + b) = a + b,
= 
.
.
Después de leer el capítulo responda a las siguientes preguntas:
Mencione cinco sinónimos de la palabra longitud.
Defina longitud de una o más maneras.
Mencione objetos susceptibles de ser medidos respecto a la longitud.
Mencione seis situaciones en las que sea necesario medir longitudes.
Introducción al texto de Freudenthal
Hans Freudenthal desarrolló y aplicó un método de análisis para los conceptos matemáticos. En su libro,[1] publicado en 1983, Freudenthal resume y organiza sus trabajos anteriores. Esta organización da lugar a lo que él denomina análisis fenomenológico o simplemente fenomenología, un cierto tipo de análisis que describe como una herramienta para el trabajo en matemática educativa.
Fenomenología de un concepto matemático, estructura, o idea significa describirla en su relación con los fenómenos para los que fue creado, y a los que ha sido extendido en el proceso de aprendizaje de la humanidad, y, hasta donde esta descripción esté relacionada con el proceso de la joven generación, se trata de fenomenología didáctica, una manera de mostrar al maestro los lugares en los que el aprendiz puede detenerse en el proceso de enseñanza de la humanidad (Freudenthal, 1983, pág. 1).
Freudenthal comenta que para hacer fenomenología pura de las estructuras matemáticas basta un conocimiento de las matemáticas y sus aplicaciones, y para hacer fenomenología didáctica se requiere conocer algo sobre la enseñanza. En el libro mencionado el autor expone una gran cantidad de ejemplos de estructuras matemáticas a las que aplicó análisis fenomenológicos minuciosos.
Freudenthal afirma que se pueden hacer hasta cuatro tipos de análisis fenomenológicos, los dos a los que se refiere en el párrafo anterior son la fenomenología –a la que a veces se hará referencia como fenomenología pura– y la fenomenología didáctica. Además, se tienen la fenomenología histórica y la genética. Para Freudenthal es importante tener claro que la fenomenología pura debe ser el primer paso en la secuencia de aplicación de diferentes fenomenologías, y que se puede completar y enriquecer con fenomenología histórica, después didáctica y hasta el último la genética.
El capítulo que Freudenthal dedica a la longitud es el primero de su libro “Fenomenología Didáctica de las Estructuras Matemáticas” y es además con el que pretende ejemplificar su método de análisis. Leer este capítulo puede requerir un esfuerzo más intenso de parte del lector cuya formación no haya incluido un nivel de estudios matemáticos más profundo. Sin embargo, vale la pena hacer este esfuerzo que lleva a vislumbrar cómo el análisis propuesto por Freudenthal posibilita un análisis pedagógico más fructífero de cualquier noción matemática que se requiera enseñar.[2]
Actividad inicial anterior a la lectura de este capítulo
Antes de leer el capítulo responda las siguientes cuestiones:
Enliste cinco sinónimos de la palabra longitud.Defina longitud de una o más maneras.
Mencione objetos susceptibles de ser medidos respecto a la longitud.
Mencione seis situaciones en las que sea necesario medir longitudes.
Describa cómo puede medir la longitud de los siguientes objetos o personas:
· Un árbol cuya punta es inalcanzable
· El ancho de un río
· El diámetro de una lenteja
· Un niño de 6 años
· Un edificio
· Su propia estatura
· La altura de un huevo
· El largo de la pata de un gato
· La cantidad de listón necesario para adornar la envoltura de una caja en forma de prisma rectangular
Como Ejemplo: La Longitud[3]
por Hans Freudenthal
1.1-1.11.FENOMENOLÓGICO
1.1-3. ¿Qué es longitud?
1.1. “Longitud” tiene más de un significado[4]. “Longitud y anchura” y otras expresiones incluyen en su contexto diferentes significados. Aquel en el que estoy interesado quedará más claro si, junto con la pregunta
¿qué es longitud?,
pongo otras cuantas preguntas:
¿qué es peso?
¿qué es duración?
¿qué es contenido?
“Longitud”, “peso”, “duración”, “contenido” son magnitudes, entre las cuales la longitud tiene un estatus especial.
Si yo uso la palabra longitud en el sentido, hecho más preciso aquí, quiero decir la longitud de algo, de un objeto “largo”. “Longitud” entonces es sinónimo de “anchura”, “altura”, “grueso”, “distancia”, “latitud”, “profundidad”, que están relacionadas a otras dimensiones o situaciones. Para los lados de un rectángulo “acostado” uno prefiere “longitud” y “anchura”, para uno “parado”, “ancho” y “alto”.
1.2. Sin forzarlo demasiado, he cambiado mi pregunta “¿qué es longitud?” hacia una respuesta tal como “la longitud de...es...”. Éste es un cambio típicamente matemático: transformar términos aparentemente aislados en símbolos de funciones. La pregunta
¿qué es “mamá”?
¿qué es “hermano”?
¿qué es “vecino”?
son contestadas más fácilmente de acuerdo con el patrón
madre de...es...
hermano de... es...
vecino de... es... .
Más precisamente:
madre de x es aquella que ha dado luz a x
hermano de x es toda y tal que y es un hombre y x y y tienen los mismos padres, vecino de x es toda y tal que x y y viven cerca uno del otro.
Después de todo “madre” también se puede definir de manera “aislada”:
x es madre si existe una y tal que x es madre de y.
Lingüísticamente “hombre”, “piedra”, “casa” pertenecen a la misma categoría que “madre”, “hermano”, “vecino” – como sustantivos ellos gozan de una sustancialidad, aunque aquella de “madre”, “hermano”, “vecino” difiere de aquella de “hombre”, “piedra”, “casa”. “Ser madre”, “ser hermano”, “ser vecino” toman un significado sólo por la añadidura de “de” – explícita o implícita –. En “ellos son hermanos”, “ellos son vecinos” la añadidura “de...” parece innecesaria pero no lo es: ellos son hermanos o vecinos uno del otro.
1.3. Regresando a “longitud”, interpretada en “longitud de...” como un símbolo funcional: una función que habla acerca de “objetos largos” qué tan largos son, pero no necesariamente especificado esto numéricamente, como por ejemplo en
la longitud de esta cama es 1.90 m .
El valor funcional puede ser vago: largo, muy largo, corto, muy corto, y así. La razón por la que desprecio estos valores ahora es que vamos a iniciar enfocándonos en una fenomenología de las estructuras matemáticas. ¿Son acaso “largo”, “muy largo”, “corto”, “muy corto” conceptos matemáticos? Tales cuestiones deben ser respondidas más tarde; para no complicar las cosas, yo retraso las respuestas.
Antes de continuar permítanme considerar los términos mencionados anteriormente. Todos ellos descansan en funciones:
peso: peso de (un objeto pesado),
duración: duración de (un intervalo de tiempo),
contenido: contenido de (una parte del espacio).
Permítaseme introducir las abreviaciones:
l(x): longitud de x,
p(x): peso de x,
d(x): duración de x,
v(x): contenido de x,
donde x es algo que propiamente se puede decir que tiene una longitud, peso, duración, contenido.
Nuevamente hacemos la pregunta sobre los valores posibles de la función l (y de p, d, v). No “largo corto”, “pesado ligero”, “grande pequeño”, respectivamente sino, dado que hablamos de matemáticas, valores más precisos. Esto no nos obliga a establecer algo como 1.90 m , 75kg, 7seg, 3m³ expresados en sistema métrico, o en cualquier sistema de medidas a priori. Ésta es una libertad de la cual nos podemos beneficiar para obtener una visión mas profunda. De hecho, parece que podemos ir más lejos si no aceptamos ningún sistema de medidas especial.
Llamemos a los
valores de l longitudes,
valores de p pesos,
valores de d duraciones,
valores de v contenidos,
y a los
sistemas de longitudes L,
sistemas de pesos W,
sistemas de duraciones D,
sistemas de contenidos V,
y miremos y busquemos sus propiedades.
1.5. Suma de longitudes
La primera cosa que notamos es que podemos sumar longitudes aún antes de concebirlas numéricamente. ¿Cómo se hace esto? Dadas dos longitudes a y b, nos hacemos de dos “objetos largos” x y y con longitudes
l(x) = a, l(y) = b,
respectivamente, y los componemos (en una manera que requiere una explicación detallada) en un nuevo “objeto largo” x Å y. Este objeto tiene una cierta longitud, consecuentemente llamada l(x Å y). Era nuestra intención definir la suma de las longitudes a y b y por definición ponemos
a + b = l(x Å y),
esto es para decir
1.5.1. l(x) + l(y) = l(x Å y).
En otras palabras
la longitud del compuesto es igual a la suma de las partes componentes.
Cuando se considera una definición de esta clase, uno debe de prestar atención a un punto:
Para las longitudes α y β[6] hemos elegido “objetos largos” representativos x y y, respectivamente, con las longitudes prescritas. En lugar de ello pudimos haber escogido otros representantes, digamos x’ y y’, de manera que, de nuevo
l(x’) = a, l(y’) = b
lo que llevaría a un compuesto x’ Å y’. Para que la definición 1.5.1. sea significativa, debemos estar seguros que
l(x’ Å y’) = l(x Å y),
en otras palabras, que
la longitud del compuesto no depende de la elección de los representantes.
Debo de tener cuidado que mi manera de combinar “objetos largos” satisfaga esta condición.
De manera similar esto debe ser cierto para los pesos. Dados dos pesos a y b, la suma de los cuales me propongo definir, debo tomar cualesquiera dos “objetos pesados” x y y con pesos a y b, respectivamente y componerlos en un nuevo “objeto pesado” x Å y y definir
p (x) + p (y) = p (x Å y).
De nuevo, reemplazar x y y por x’ y y’ con los mismos pesos, respectivamente, no debe de cambiar el peso del compuesto. Este requerimiento parece autoevidente, y lo es por una buena razón, de hecho: nosotros nunca hubiéramos centrado la atención en longitud, peso, y otras magnitudes si esta condición no se cumpliera.
Una segunda observación: si se intenta que componer conduzca a la definición de suma, ésta debe ser llevada a cabo de forma tal que los componentes no se traslapen. Suponga que quiero añadir una longitud a a ella misma con el fin de definir a + a. Entonces para cada una de los sumandos yo necesito otro representante, así
l(x) = a, l(y) = a,
para llegar a
a + a = l(x) + l(y) = l(x Å y).
Así que no puedo utilizar un representante para cada longitud. Afortunadamente con las longitudes es muy fácil proveerse con uno, con dos, tres, o más representantes de la misma longitud; los instrumentos como la regla pueden ser aplicados repetidamente. En el caso del peso y otras magnitudes, la dificultad de obtener suficientes representantes parece mayor, pero no estamos preocupados acerca de este punto aquí.
Al llevar a cabo la operación Å como se pueden imaginar por los varios ejemplos, el orden no juega un papel y, como consecuencia, la suma de longitudes, pesos, etc., obedece a leyes de la conmutatividad y asociatividad:
a + b = b + a,
(a + b) + g = a + (b + g).
La primera propiedad establecida en los sistemas L, P, D, y V de longitudes, etc., es por tanto:
I. Una operación (+) de adición conmutativa y asociativa en L, y así sucesivamente
Orden de las longitudes
Más adelante se conectará la adición con la sustracción; esto es, “lo más pequeño de lo más grande”. Pero más “pequeño” y más “grande” son ideas de las cuales aún no hemos hablado. Ahora van a ser consideradas.
Las relaciones tales como “más pequeño más grande” pertenecen a las llamadas relaciones de orden: cualquier par a, b de elementos en L está exactamente en una de las siguientes situaciones
1.6.1 a < b, a = b, b < a
y para cada tercia de ellos, a, b, gÎ L,
si a < b y b < g entonces a < g
se cumple (la llamada transitividad).
Tal relación de orden se puede definir ahora en L por medio de la suma. Nosotros expresamos la propiedad de que
al sumar, algo solamente puede hacerse más largo,
en una fórmula
a < a + k
para cualesquiera longitudes a y k. Esto inmediatamente asegura la transitividad 1.6.2.
De hecho, si a < b y b < g, entonces existen una k y una l tales que
b = a + k, g = b +l ,
así que,
g = b +l = (a + k) + l = a + (k + l),
y por tanto
a < g.
El primer requerimiento, 1.6.1, en una relación de orden es un poco compleja. Significa
Si a ¹ b, entonces existe
ya sea, una k con b = a + k,
o una l con a = b + l,
pero no ambas.
Por un momento llamo dos “objetos largos” x, y directamente comparables si x puede ser considerado como una parte componente de y o y una parte componente de x. Entonces 1.6.4 se puede traducir como sigue en el lenguaje de los “objetos largos”:
Dados dos “objetos largos” x, y, entonces puedo encontrar “objetos largos” directamente comparables x’, y’ tales que l (x) = l (x’), l (y) = l (y’), y como quiera que sea que yo elija a estos x’, y’, una cosa es verdad:
o x’ es una parte componente de y’,
o y’ es una parte componente de x’.
La segunda propiedad que hemos establecido para los sistemas L, W, etc. es:
La definición a < a + k para las longitudes a, k determina un orden total en L, y en todos los otros espacios W, etc.
1.7. Multiplicación de longitudes
Si nosotros repetidamente sumamos la misma longitud, entonces las longitudes resultantes se pueden denotar así
1a = a,
2a = a + a,
3a = a + a + a,
y así; en general
na = a + ... + a con n sumandos.
Leyes tales como
(m + n) a = ma + na,
(mn) a = m (na),
n (a + b) = na + nb,
si es a< b entonces na< nb,
son obvias.
A partir de la suma hemos derivado elementos multiplicativos de L, etc., por enteros positivos, esto es, elementos de N+. Como inverso de esta operación uno tiene la división, lo que significa:
Dada una longitud a y un nÎN+, entonces la ecuación
nb = a
tiene una solución b. Sólo hay una b tal, dado que si
nb’ = a,
entonces
b < b’ ó b = b’ ó b’< b.
En el primero y tercer caso esto resultaría en
a = nb < nb’ = a, a = nb’ < nb = a,
respectivamente, lo cual es imposible, y nos deja con
b = b’.
La solución b de 1.7.2 toma el nombre
b = a.
a.
Entonces ésta es nuestra tercera propiedad de longitudes, pesos, etc.:
n ( a) = a.
a) = a.
Las siguientes leyes para dividir son fácilmente verificables:
(a + b) = a + b,
si a < b, entonces a < b.
a < b.
1.8. Múltiplos racionales de longitudes
Multiplicando y dividiendo elementos de L, W, etc., por elementos de N+ se pueden hacer combinaciones. Uno pone
1.8.1 m (a) = a,
a) = a,
lo que viene a dar una multiplicación de longitudes por un número positivo racional.
Dado que, sin embargo, un número racional se puede denotar de varias maneras,
=
debemos asegurar que la definición 1.8.1 es válida; esto es, tenemos que probar que
.
Esto, de hecho es verdadero. De acuerdo a 1.7.4
por tanto
.
Así que podemos multiplicar cada longitud, peso, etc., por cualquier número racional positivo r Î Q+. Encontramos fácilmente las reglas, para r,s,Î Q+, a, bÎL, etc.:
1.8.2
|
(r+s)a = ra + sa
r(sa) = (rs)a
r(a+b)= ra + rb
si a<b, entonces ra< rb.
|
1.9. Múltiplos reales de longitudes
Empezando por una longitud, peso, etcétera, digamos a, podemos formar todos sus múltiplos racionales. Ellos forman un conjunto Q+a. En Q+a dos elementos arbitrarios son múltiplos racionales uno del otro. Así que Q+a no puede cubrir todo lo que imaginamos que debe ser el sistema de medidas. De hecho la diagonal y un lado de un cuadrado no son múltiplos racionales. Sin embargo, Q+a cubre “aproximadamente” todo el sistema de longitudes, pesos, etcétera. Uno sabe de una propiedad, el llamado axioma Arquimediano:
IV. Dada un aÎ L, etc., no existe ningún elemento de L, etc., mayor que todos los elementos de Q+a, y ningún elemento de L, etc., más pequeño que todos los elementos de Q+a.
Ahora tomo un bÎ L arbitrario, etc. No necesariamente pertenece a Q+a, pero de acuerdo a IV debe estar “entre dos”. Para cada rÎQ+ alguna de
1.9.1 ra<b o ra=b o b<ra
se cumple. Ahora quiero representar b como un múltiplo real de a,
b=ua, uÎ R+
de tal manera que el orden se ajuste, esto es,
si u< v entonces ua< va para u, v ÎR+,
en particular para rÎQ+,
1.9.2 si r< u entonces ra< ua
si u< r entonces ua< ra
¿Cómo encontramos tal u? Bien, 1.9.1. origina una partición de rÎ Q+ en tres clases (la segunda puede ser vacía, o puede consistir de un elemento si b es un número racional múltiplo de a) tal partición se llama cortadura de Dedekind:
la clase inferior: las rÎ Q+ con ra<b
la clase superior: la rÎ Q+ con b< ra
Donde a lo más un rÎ Q+ puede escapar de esta división. Ahora existe un número real uÎR+ que “provoca” la cortadura, esto es decir
Si ra<b entonces r< u,
Si b<ra entonces u< r.
Si ahora ponemos
b = ua
Hemos completado los requerimientos de 1.9.2.
Ha sido demostrado que
de dos elementos dados en L, etc., cada uno es un múltiplo real positivo del otro, podemos finalizar con la propiedad.
V. Para cada α Î L, etc., y cada u Î R+, hay un uaÎL, etc.
Similarmente para aquellos de Q+ uno puede formular reglas para u, v ÎR+ y
a, b Î L etc.:
(u + v)a = ua + va
1.9.3 u(va ) = (uv)a
u(a + b)= u a + ub
si u < v entonces ua < va
1.10. Medición de longitudes
Rompamos un poco la exposición y no insistamos en una aproximación sistemática a las magnitudes.
Por ejemplo podríamos continuar con un tratamiento numérico de las magnitudes: se elige una unidad de medida (metro, kilogramo, segundo, metros cúbicos o alguna otra) para expresar cada longitud, peso, etc., como un múltiplo real positivo de la unidad. Entonces cada longitud, peso, etc., se representa por una medición numérica y de acuerdo a su creación nosotros encontramos la regla fundamental
Bajo la composición Å las mediciones son sumadas,
De donde se siguen, entre otras, que el objeto
más largo, más pesado,... tiene asociado como medición un número mayor.
1.11. Lo que falta aquí.
Lo anterior fue un ejemplo de fenomenología; de hecho, para la estructura matemática “magnitud”. O más bien, fue un fragmento de tal fenomenología. No se dio ninguna atención a la medición (la acción de medir); se debieron haber hecho conexiones entre diferentes magnitudes; y finalmente, lo que nunca se mencionó es que la longitud se aplica no solamente a “objetos largos” sino también a líneas quebradas y curvas. Cómo deben tratarse las línea quebradas, digamos, el perímetro de un triángulo, es algo fácil de adivinar. Las líneas curvas son un caso diferente. La aproximación clásica es mediante líneas quebradas pero me saltaré por un momento este punto y lo volveré a retomar más adelante.
1.12-1.29. FENOMENOLOGÍA DIDÁCTICA
Lo anterior no fue fenomenología didáctica. Para subrayar la diferencia empecé con una fenomenología tal cual. Pero también en lo siguiente, muchas veces la fenomenología didáctica irá precedida por fenomenología tal cual para crear el marco de conceptos y términos en los cuales pueda descansar la fenomenología didáctica.
La diferencia entre fenomenología y fenomenología didáctica pronto se hará evidente. En el primer caso, una estructura matemática se tratará como un producto cognitivo por la forma en que describe sus objetos –posiblemente no matemáticos–; en el segundo caso se tratará con su enseñanza y su aprendizaje, esto es, con el proceso cognitivo. Uno podría pensar en un paso hacia atrás: hacia una fenomenología genética de las estructuras matemáticas, que las estudie en el proceso cognitivo de crecimiento mental.
Uno podría pensar que una fenomenología didáctica se puede basar en una genética. De hecho yo hubiera sido feliz si, mientras desarrollaba la presente fenomenología didáctica, me hubiera podido apoyar en la fenomenología genética. Sin embargo éste no es el caso, y mientras más pienso en el asunto, más me convenzo que el orden inverso es el más prometedor. En la secuencia “fenomenología, fenomenología didáctica, fenomenología genética” cada elemento sirve como base para el siguiente. Para poder escribir una fenomenología de las estructuras matemáticas, se requiere un conocimiento de matemáticas y su aplicación y es suficiente; una fenomenología didáctica requiere además un conocimiento acerca de la enseñanza; una fenomenología genética es una pieza de psicología.
Toda la investigación psicológica de este tipo que conozco sufre de una deficiencia fundamental: las investigaciones de las adquisiciones matemáticas (a ciertas edades) han involucrado de una forma ingenua las estructuras matemáticas relacionadas–esto es, les hace falta un análisis fenomenológico que las preceda– y como consecuencia, están repletas de interpretaciones superficiales y, más aún, equivocadas. Por otro lado, la falta de una fenomenología didáctica que las preceda es la razón por la que tales investigaciones han sido diseñadas en la mayoría de los casos como destellos aislados más que como estadios en el proceso de desarrollo.
1.13-1.25. COMPARACIÓN DE LONGITUDES
1.13-14. La longitud expresada mediante adjetivos
1.13. Muchos conceptos matemáticos se anuncian como adjetivos. Los adjetivos que pertenecen a la longitud son: “largo, corto”, pero también “amplio, angosto”, “grueso, delgado”, “alto, bajo”, “profundo, superficial”, “lejos, cerca”, “ancho, angosto”, y, para terminar, también “alto, bajo, diminuto, insignificante”. Por supuesto la habilidad de distinguir tales propiedades precede a la habilidad de expresarlas lingüísticamente. Para el adulto es claro –al menos inconscientemente– cómo estas expresiones están relacionadas con la misma magnitud, longitud, y este adulto muchas veces presupone que el niño estará al tanto de ésta relación. Muchas veces los investigadores en este campo no están conscientes de esta dificultad. No es rebuscado preguntarse uno mismo cómo es que los niños se las ingenian para desarrollar un conocimiento a partir de estas conexiones. Un factor perturbador es el obscurecimiento de este complejo de adjetivos por el uso de “grande y pequeño”, los cuales sirven para muchas cosas (como para “niño grande” y “niña pequeña”).
Bastian (5; 3) pregunta qué tan grande es un mol. Cuando yo le muestro con las manos la longitud de un mol, él insiste, “no, me refiero a qué tan alto”. El siente un impulso de diferenciar “grande”. Claramente está consiente del hecho de que en ambos casos significa longitud.
El discernimiento[7] de que ambas expresiones significan longitud, no es del todo trivial, por ejemplo, que un árbol alto, si se corta, es largo. De hecho, aun los adultos pueden tener problemas con la equivalencia de distancias en las dimensiones horizontal y vertical, al menos respecto a la especificación cuantitativa.
¿Cómo emergió la conexión en este complejo de adjetivos?, ¿cómo se constituye el elemento común? Si se me permite adivinar, yo le atribuiría un papel decisivo a los movimientos de la mano y de los dedos que acompañan enunciados tales como así de largo, así de ancho, así de grueso y otras semejantes (Por ejemplo así de pequeño y otros más) –movimientos que se pueden hacer en diferentes direcciones y poseen diferentes intensidades pero siempre muestran el mismo carácter lineal. (Compárese esto con las expresiones mímicas de abarcar que acompañan a “así de muchos”, y también “así de grueso” y con la mímica y la expresión acústica de levantar que pertenece a “así de pesado”).
El elemento común en este complejo de adjetivos para longitud posiblemente no es aún operacional en niños pequeños que van a la escuela; como un asunto de concientización podría incluso estar ausente en muchos niños más grandes. Adquirirlo y volverse consciente de ello son condiciones indispensables para las actividades matemáticas.
1.14. Alrededor de adjetivos tales como “largo” existe un complejo de expresiones relacionadas:
más largo, el más largo, tan largo como, menos largo, no tan largo como, demasiado largo, muy largo.
Aquí de nuevo la habilidad de distinguirlos precede a la de la expresión lingüística (por ejemplo, algo no puede pasar a través de un agujero porque es demasiado grueso; el cubo más pequeño se coloca arriba del más grande). Las inhibiciones trabajan en contra de usar comparativos y superlativos – “grande” es usado cuando se quiere decir “más grande” y “el más grande”.
Los adjetivos de la última lista cumplen al comparar objetos respecto a la longitud. Esta actividad se desarrolla ampliamente antes de que sea constituido lo que los matemáticos llaman relación de orden de las longitudes, por no mencionar, volverse consciente del orden de la relación. La constitución de una relación de orden en cualquier sistema incluye al menos el funcionamiento operacional de transitividad, esto es, el derivar conclusiones fácticas de acuerdo a los patrones tales como
a tan largo como b,
b tan largo como c,
así que a tan largo como c
y
a más pequeño que b
b más pequeño que c
por tanto a más pequeño que c,
lo cual por supuesto no significa la habilidad de verbalizar o aún de formalizar la transitividad.
En contradicción con Piaget, P. Bryant* mostró que los niños pequeños (de la edad de cuatro años en adelante) poseen un conocimiento operacional de la transitividad. Por otro lado, yo he reportado acerca de niños de tercer grado que podían aplicar la transitividad de pesos en concursos de sube y baja, pero que no eran capaces de comprender una formulación de transitividad.
Muy poca, si acaso, información acerca del desarrollo del concepto de longitud se puede despender de la investigación tradicional. El pensamiento sobre esta materia es obscurecido por términos tales como la “conservación” y “reversibilidad”, que se supone cubren las ideas más divergentes, y por la falta de una fenomenología.
1.15. Mapeos de congruencia.
Una de las nociones matemáticas que ha sido absorbida por la “conservación” con el fin de mezclarla con otras muy diferentes es
La invariancia bajo un conjunto de transformaciones.
Como un agregado voy a ilustrar esta noción con algunos ejemplos:
El número de elementos de un conjunto (“cardinalidad”) es invariante bajo
transformaciones uno a uno.
La convexidad de una figura plana es invariante bajo transformaciones
afines.**
El paralelismo de rectas es invariante bajo mapeos afines.***
La diferencia entre las superficies de una esfera y un anillo es
invariante bajo deformaciones arbitrarias. (La superficie de un anillo no se
puede deformar para convertirse en la de una esfera).
Las longitudes de segmentos de recta y las medidas de los ángulos de pares de rectas son invariantes bajo mapeos de congruencia del plano o del espacio (los movimientos y reflexiones, incluyendo las reflexiones trasladadas).
La proporción entre las longitudes de segmentos de recta y las medidas de ángulos de pares de rectas son invariantes bajo semejanzas.
La propiedad de ser un pentágono regular es invariante bajo semejanzas.
La propiedad de ser un cubo de lado uno es invariante bajo mapeos de congruencia.
La propiedad de una figura plana de representar al dígito 2 es invariante bajo movimientos, – (pero no bajo reflexiones).
La forma de una figura es invariante bajo semejanzas.
Tanto el tamaño como la forma de una figura son invariantes bajo mapeos de congruencia.
La expresión congruente es bien conocida; las figuras congruentes son, como lo eran, la misma figura colocada en diferentes lugares. En matemáticas este concepto se hace más preciso a través del de mapeo de congruencia que se extiende a todo el plano o espacio; entonces las figuras se llaman congruentes si una puede ser llevada a la otra por mapeos de congruencia.
La figura más simple es el segmento de recta. Segmentos de recta “iguales” en lugar de “congruentes” es un término más antiguo. La terminología que prevalece ahora se reserva “igualdad” a coincidencia; esto es, a identidad de hecho. Aún cuando segmentos de recta congruentes son iguales en cierto sentido; esto es, respecto a su longitud. Y de manera inversa: segmentos de recta que tienen la misma longitud pueden ser llevados uno sobre el otro por medio de mapeos de congruencia.
1.16. Cuerpos rígidos.
Los segmentos de recta son abstracciones matemáticas. Están conectados con los anteriores “objetos largos” otra vez del fenómeno del cuerpo rígido. Un cuerpo rígido puede ser desplazado, y en tanto que no esté mal fabricado, permanece congruente con él mismo bajo esta operación. La rigidez es la realización física de la propiedad que llamamos invariancia de la forma y el tamaño bajo movimientos. El hecho que en geometría se consideren preferentemente propiedades que son invariantes bajo movimientos está relacionada a la dominancia de los objetos rígidos en nuestro entorno – los moluscos preferirían otra clase de geometría.
Estoy muy seguro que la rigidez es experimentada en un estadio más temprano de desarrollo que el de la longitud y que el de longitud e invariancia de la longitud se constituyen a partir de la rigidez en lugar de lo contario. La rigidez es una propiedad que cubre todas las dimensiones mientras que la longitud requiere objetos donde una dimensión se privilegia o subraya. Sin embargo, subrayar esta única dimensión puede conducir a restringir las transformaciones que la conservan. Si se han de comparar longitudes, la movilidad libre de los cuerpos rígidos jugará su parte. La movilidad debe ser explotada completamente; todos los movimientos deben ser permitidos, no solamente las conspicuas traslaciones, también las rotaciones para poder comparar “objetos largos” en todas las posiciones. La forma de un cuerpo o recalcar una dimensión como la longitud puede no resultar si se restringen los mapeos bajo los cuales se expresa la rigidez como invariancia. Adjetivos tales como “alto, bajo” dentro del complejo de términos que indican longitud pueden jugar un papel influyente para restringir el conjunto de transformaciones; “alto, bajo”, subrayando una dirección en el espacio, puede llevar a restringir el conjunto de transformaciones a aquellas que dejan invariante la posición vertical – traslaciones a lo largo y rotaciones alrededor de la vertical – una restricción que puede impedir la comparación general de segmentos de rectas y “objetos largos”.
1.17. Semejanzas
Lado a lado con los mapeos de congruencia yo he mencionado repetidamente las semejanzas. Estas últimas juegan un papel al interpretar la percepción visual. “Lo que está más lejos, se ve más pequeño” (cuando las distancias son grandes); este es un hecho que es tomado en cuenta inconscientemente por el observador y a veces se le hace consciente de ello – un intercambio curioso que ha sido estudiado muchas veces. Si un cuerpo rígido se aleja, su forma, como la entendemos, permanece invariante; los cuerpos rígidos, cuando son visualmente concebidos, resultan invariantes aún bajo semejanzas, mientras que el radio de semejanza depende en la distancia entre el objeto y el observador.
Sin embargo, este solo hecho puede contribuir en gran parte a la constitución mental de rigidez. La invariancia sugerida por el comportamiento continuo de algunas características especialmente atractivas puede provocar la atribución de más invariancias, en particular aquellas del tamaño y la longitud.
1.18. – 20. Flexiones
1.18. La rigidez de los objetos rígidos tiene que ser entendida con una pizca de sal. Aunque sus puertas y ruedas se puedan abrir independientemente, un coche puede, globalmente y bajo ciertas circunstancias, ser considerado un cuerpo rígido. Otro caso extremo es la plastilina, que con fuerza puede ser partida y deformada. Al definir la rigidez todo depende de lo que uno quiera decir con la expresión “que no se desfigura”. A un líquido o a un gas se le puede dar otra forma sin usar ninguna fuerza, pero de acuerdo con el grado de rigidez de un cuerpo rígido se necesita más o menos fuerza. Más o menos, las partes rígidas se pueden mover una respecto de la otra, como en el caso de los cuerpos de los animales, mientras que se pueden privilegiar ciertos arreglos de las partes, por ejemplo, el estado de reposo que puede ser copiado congruentemente ad lib. Es en ese estado privilegiado en el cual las medidas de longitud de los cuerpos de los animales se definen. Las alturas de dos personas, digamos, se comparan cuando están de pie; y estamos seguros de que no cambiarán cuando se sienten, y sabremos que ellos seguirán mostrando la misma relación si se vuelven a parar.
Nosotros también juzgamos que si ellos se sientan y la persona más alta parece más pequeña, la diferencia se debe seguramente a piernas más largas – algo que debemos reconsiderar bajo el punto de vista de la suma de longitudes.
1.19. Lo que viene aquí al caso es otro principio de invariancia de la longitud, esto es decir, invariancia bajo una trasformación diferente a los mapeos planos o espaciales de congruencia. Se trata de transformar “objetos largos”, doblando o curvando con un cierto esfuerzo: dos objetos a ser comparados se acomodan uno al lado del otro o uno al inicio de otro mientras ciertas deformaciones son permitidas. Ejemplos típicos de esto son los instrumentos de medición distintos a la regla y a la vara de medir por ejemplo, la cinta métrica, el flexómetro de bolsillo – pero para pensar en un aparato más primitivo usado para medir longitudes, no se debe olvidar un pedazo de cuerda. Esto muestra maravillosamente dos maneras de comparar longitudes: en el estado estirado se mide una longitud recta, y acomodado alrededor de una forma curvilínea se mide la circunferencia.
Al contrario de los objetos rígidos considerados anteriormente, yo llamaré a esos objetos flexibles y las deformaciones admisibles de esos objetos las llamaré flexiones. Las flexiones son reversibles, esto es un hecho importante. Más aún, los objetos flexibles poseen uno o más estados privilegiados. Entre los estados privilegiados puede haber alguno en el cual el objeto es estirado y usado como objeto de medida: la cinta métrica, la regla plegable de bolsillo, y otros, y otra vez el pedazo de cuerda que puede ser encogido con un poco de fuerza y que ya en este estado resiste más fuerza aún. Nuestro propio cuerpo es de la misma clase; con el fin de medirlo uno se planta en los pies (pero no en los dedos de los pies). Similarmente, uno mide la longitud de la estaca o remo o un tapete de escalera: por extensión. O de una antena de automóvil jalándola. Una hoja de papel es flexible, aunque hay un estado bien definido de máximo alargamiento. Las substancias deformables plásticas tales como la plastilina son de nuevo diferentes un “objeto largo” hecho de plastilina, se manipula cuidadosamente, y se puede considerar flexible, a través de una transformación a pesar de que una transformación de amasar no es una flexión.
1.20. ¿En dónde podemos poner a las flexiones desde el punto de vista matemático? La contraparte matemática de los objetos rígidos (que pueden ser movidos sin desfigurarse inserviblemente) fueron las figuras geométricas sujetas a movimientos en el plano y o en el espacio, transformaciones que mapean todo congruentemente; en particular todo segmento de recta cualquiera que sea su longitud o dirección. Si nuestro objetivo es medir longitudes, este requerimiento es exagerado; para servir a la medición, los “objetos largos” necesitan mostrar esta invariancia solamente en la dirección de la longitud. Sólo en la dirección de la longitud el objeto necesita ser rígido; no tiene que ser rígido en las otras dimensiones. Esta clase de objeto es idealizado matemáticamente por lo que se llama curvas – curvas que están descritas por el movimiento de un punto o que aparecen como frontera de una figura plana. Por supuesto que las curvas que son – entera o parcialmente – rectas también se admiten: líneas rectas y líneas quebradas. Son éstas las curvas matemáticas que están sujetas a flexiones matemáticas. ¿Qué significa este término? Si se refiere a curvas, yo estoy interesado en una dimensión solamente – ni ancho ni grueso – y esta única dimensión es la que tiene que ser rígida. La longitud de arco, que es una medida que reemplaza a la longitud recta, debe ser invariante bajo flexiones. Matemáticamente, las flexiones se definen como mapeo de curvas que dejan invariante la longitud de arco.
Pero ¿qué queremos decir nosotros por longitud de arco? La respuesta parece obvia, enderezar la curva mientras que no la estiremos y leer la longitud de arco al final del segmento de línea recta. ¿Pero no es éste un círculo vicioso? ¿Qué queremos decir por enderezar sin estirar? No estirar – esto significa solamente que la longitud de arco debe ser conservada, pero aún no hemos definido longitud de arco. De hecho, es curioso que yo haya prohibido estirar solamente, y no diga nada acerca de encoger, pero por supuesto el error que ustedes pueden cometer cuando enderezan el objeto; es jalarlo demasiado y estirarlo. Esto muestra una vez más que la claridad alegada de la definición de longitud de arco enderezada no se basa en una intuición visual sino en una cinética.
Sin embargo hay otra definición de longitud de arco que merece ser considerada. Para ser comparadas, las curvas se enrollan una encima de la otra. En particular con el fin de medir la longitud de una curva ésta se enrolla sobre una línea recta. Se enrolla sí, pero por supuesto que deslizar está prohibido ¿qué significa matemáticamente no deslizar? Que las piezas que se enrollan una sobre la otra tienen la misma longitud (de arco). Esto de nuevo cierra el círculo vicioso.
No hay escape: Para definir flexiones matemáticamente tenemos que saber lo que es longitud de arco, y la longitud de arco debe de ser definida independientemente sin apelar a la mecánica.
Cómo puede hacerse esto, ya lo he dicho. Primero, uno define la longitud de un polígono – esto es, una curva compuesta de pedazos rectos – como la suma de las longitudes de tales pedazos. Dada una curva, ésta es aproximada por polígonos “inscritos”, esto es, con sus vértices en la curva. Mientras más pequeñas sean las piezas rectas que componen, lo mejor que se estará aproximado la curva. En este proceso de aproximación uno pone atención a las longitudes respectivas: a medida que la curva se va acercando a los polígonos, la longitud converge a lo que estamos considerando que es la longitud de la curva. No solamente toda la curva adquiere una longitud de arco por esta decisión, sino que también cada pedazo de la curva, y es sencillo ver (aunque la prueba requiere de un poco más de atención) que estas longitudes se comportan aditivamente: si una curva se descompone en dos curvas parciales, la longitud del total es igual a la longitud de la suma de las longitudes de las partes. Ahora está claro lo que nosotros entendemos por un mapeo que preserva la longitud de arco (una flexión): no solamente la longitud de arco total debe permanecer invariante sino la de cada pedazo también.
Es extraño que ideas intuitivas como invariancia de la longitud de arco y enderezar sin estirar requieran de un procedimiento tan sofisticado para ser explicadas matemáticamente. La razón es ahora obvia: cuando intentamos explicar la longitud de arco matemáticamente, nos sentimos obligados a renunciar a nuestras experiencias mecánicas. Es particularmente intrigante que físicamente puedo comparar dos objetos flexibles por flexión o las fronteras de dos figuras planas desenrollando una encima de la otra, incluso antes de empezar a medir longitud, mientras que nuestra definición matemática de flexión presupone la longitud de arco, lo cual incluye el procedimiento completo de medición e incluso la suma de longitudes.
1.21. Rigidez y flexibilidad
Hemos estado interesados en dos clases de mapeos:
Mapeos de congruencia en el plano o espacio, y
flexiones de curvas.
Ambas se definen matemáticamente por la invariancia de la longitud, aunque el primer requerimiento es más profundo que el segundo si se centra la atención en curvas y longitudes de arco.
El hecho de que los mapeos de congruencia y las flexiones dejen invariante la longitud está implícito en su definición. En física la contraparte de los mapeos de congruencia matemáticos y las flexiones es el movimiento de los cuerpos rígidos y el doblamiento de los cuerpos flexibles, pero hasta dónde en la práctica física algo es un cuerpo rígido (al menos aproximadamente) o un cuerpo flexible y cuáles operaciones físicas se permiten si la longitud debe ser conservada (al menos aproximadamente) son hechos físicos, que uno adquiere dependiendo de sus propias experiencias. Esta adquisición de experiencias empieza muy pronto, ciertamente desde la cuna. Es empírico y experimental, y aunque esta experimentación inicia, como Bruner dice, de una manera enactiva, en el transcurso del desarrollo se basa cada vez más y más en imágenes representativas de lo que se recolecta o persigue (la fase icónica), y se hace más y más consciente con el fin de ser verbalizado (la fase simbólica). En el contexto del fenómeno de “longitud” se requiere un análisis fenomenológico para establecer y distinguir la invariancia bajo mapeos de congruencia y flexiones, pero de cualquier manera es claro que el proceso de aprendizaje relacionado inicia en la fase enactiva (sin imágenes representativas e inconscientemente, esto es de la manera más efectiva) y los pedazos de ello pueden ser hechos conscientes en el proceso de aprender.
Bastiaan (3;9) encuentra una canica en el tapete de la entrada para limpiarse los pies: “si la empujo fuerte, rodará hasta la calle”. Esto pasa. La canica se va hasta la calle hasta la llanta de un coche estacionado en la acera. Bastiaan no puede alcanzarla. Le enseño una vara pequeña. A primera vista juzga: “no es suficientemente dura”. Es una vara suave, pero de todas maneras tiene éxito.
Este ejemplo no tiene que ver con el uso de objetos flexibles o rígidos para comparar longitudes. Lo que cuenta aquí son las experiencias con las propiedades mecánicas de las cosas. En cierto momento de su desarrollo, un niño juzga a primera vista hasta dónde algo es suficientemente “duro” para ser aplicado como una palanca para producir una cierta potencia (fase icónica), e incluso él encuentra las palabras – suficientemente duro – para expresar este hecho (fase simbólica).
No tengo la menor idea de cómo se constituye mentalmente este complejo de propiedades mecánicas; un físico hábil que observe a los niños, podría descubrir un montón de cosas en este campo. Pero existe una conjetura que me atrevo a enunciar: la rigidez precede a la flexibilidad. El ambiente sugiere fuertemente como modelo al cuerpo rígido. Algunos experimentos sorprendentes muestran que, bajo condiciones de información incompleta acerca de los fenómenos cinéticos, hay una fuerte tendencia a interpretarlos como movimientos de cuerpos rígidos.
En consecuencia creo que la longitud se constituye primero en el contexto de invariancia de los mapeos congruentes – esto es, conectado con los cuerpos rígidos – y sólo en una etapa posterior se introduce en las flexiones – esto es, de los objetos flexibles. Esto puede pasar si el niño ve comparar longitudes o incluso a medirlas con instrumentos flexibles – acomodando (“¿es la manga suficientemente larga?”) y midiendo con una cinta.
En cualquier caso es crucial poner atención al doble contexto de la invariancia de la longitud.
1.22. Hacer y romper
Dudé – injustamente como en breve se apreciará – si yo debería incluir las dos clases de transformaciones que muestran invariancia de la longitud (esto es, transformaciones de congruencia y flexiones) con una tercera, que llamaré
transformaciones de romper y hacer:
un “objeto largo” se parte en varias piezas y es rehecho.
El “objeto largo” puede ser una vara que esté rota realmente, o una cuerda que esté partida, o un bloque de trenes que es deshecho en dos o más trenes parciales. En los primeros dos ejemplos el rehacer no llevará a una restauración completa de la longitud aún cuando se haga con cuidado, con cierta pérdida en el segundo caso si las cuerdas parciales se amarran juntas. En el tercer caso la restauración puede ser completa pero puede ser que no: las partes se pueden poner en otro orden, y esto puede ser perceptible realmente si los bloques particulares se distinguen por longitud, color, u otras características.
Es un enunciado significativo y no trivial que bajo las transformaciones de romper y rehacer la longitud es invariante. Es significativo si lo que se compara son los estados inicial y final, sin dar importancia a los intermedios. De hecho, ¿cómo podría formularse la pregunta de si se admiten los estados intermedios? “¿permanecen igual de largos juntos?” si “juntos” significa sumar longitudes, esta cuestión es prematura en el estadio de simplemente comparar longitudes, y si “juntas” significa “tomadas juntas” lo que pretende la pregunta es comparar el estadio inicial con el – ahora también mental – estado final, lo cual no es novedad.
Siempre que la transformación de romper y hacer reproduce el estado inicial, la cuestión “¿son de la misma longitud?” es trivial. Más aún, la respuesta revela solamente hasta dónde el niño que fue cuestionado puede recordar el estado inicial y es capaz de comparar un estado real y uno mentalmente realizado, uno con el otro. Si el estado final no es idéntico al inicial, la respuesta también revela hasta dónde el niño sabe qué característica importa si se está trabajando con la longitud. Estas dos habilidades serán reconsideradas más adelante.
Un esclarecimiento sobre la invariancia de la longitud bajo las transformaciones de romper y hacer se puede separar en dos componentes:
primero, que al romper (partir) y hacer (componer) los “objetos largos” se
transforman en objetos largos, y
segundo, que al componer objetos largos la longitud no es influida por el orden de
las partes componentes.
De hecho, estos dos esclarecimientos forman la base para medir longitudes y reaparecerán en ese contexto. Si el segundo esclarecimiento va a ser puesto en el contexto de la invariancia de la longitud con respecto a ciertas transformaciones sobre “los objetos largos”, en lugar de las transformaciones de romper y hacer usaremos mejor el término
permutación de las partes componentes.
Ahora puedo explicar la indecisión que tenía antes de escribir esta sección. Las transformaciones de romper y hacer o de permutación de las partes componentes vistas como una tercera clase de transformaciones parecen superfluas desde el punto de vista lógico y fenomenológico. Dentro de la fenomenología de las magnitudes, y particularmente de la longitud, como se bosquejó al principio, las transformaciones de romper y hacer (permutaciones de las partes componentes) y la invariancia de la longitud asociada se pueden derivar de la congruencia de los mapeos, flexiones y de sus propiedades de invariancia. Pero esta derivación es una consecuencia de emparejar la comparación de longitudes con la medición, que es genética y didácticamente prematura. Es verdad que componer “objetos largos” ocurre en esa fenomenología como una operación especial indicada por Å, pero el contexto en el que esto ocurre es longitud más que comparación de longitudes; a saber la fórmula
l(x Å y) = l(x)+l(y).
Å ocurre ahí como una operación lógica, más que geométrica y mecánica. x Å y aparece como algo que está determinado de manera única por x y y, mientras que en las transformaciones de romper y hacer es esencial que x y y puedan ser puestos después de varias maneras y como quiera que sean compuestos se obtengan objetos de la misma longitud.
1.23–24. Distancia
1.23. Hasta ahora en nuestro análisis de fenomenología didáctica hemos considerado la longitud como una función de objetos concretos (posiblemente reemplazados por sus imágenes mentales). Esto, sin embargo, no cubre todos los casos de longitud. Longitud como la distancia entre A y B responde a la pregunta “¿qué tan lejos está B de A?” en un sentido puramente formal “¿qué tan lejos?” es una pregunta diferente a “¿qué tan largo?” En “¿qué tan lejos?” dos puntos ocurren como variables, mientras que “¿qué tan largo es el objeto?”, el objeto es la única variable. La longitud es una función de objetos completos, mientras que la distancia es una función de dos puntos “aquí” y “allá”. Estamos tan acostumbrados al procedimiento que conecta ambas que difícilmente podemos imaginar la etapa temprana en la que nosotros debimos adquirirlo a través de un proceso de aprendizaje y preguntar hasta dónde esta conexión es tan obvia para un niño como lo es para nosotros.
Si “¿qué tan lejos?” se debe reducir a “¿qué tan largo?”, un “objeto largo” debe ser colocado entre A y B, entre aquí y allá. Así que si A y B son estaciones de tren o puntos de parada a lo largo de una carretera, la conexión de vía o el pedazo de carretera pueden ser considerados como los “objetos largos” concretos para los cuales se pide su distancia. En general, si existe un trayecto concreto entre A y B, su distancia es la longitud del trayecto; si hay más de esos trayectos, debe ser estipulado cuál es al que uno se refiere. Pero ¿cuánto hay desde la parte frontal de mi cuarto en el piso de abajo hasta un salón en el piso de arriba? ¿Desde aquí al otro lado del canal, si no hay un puente visible? ¿De aquí al cielo? Sólo del contexto se puede entender lo que se quiere decir. En el contexto de la geometría, la mecánica y la óptica la distancia es medida a lo largo de una línea recta; en el contexto de la trigonometría esférica y en el contexto de la (superficie de aire) navegación, a lo largo de arcos de gran círculo, “geodésicas”, o trayectos más cortos determinados por cuerdas rectas en superficies curvas. Por supuesto, con este subrayado yo no quiero decir que la trigonometría esférica o la navegación deberían haber sido estudiadas o ejercidas con el objetivo de decidir que las longitudes deben ser medidas a lo largo de geodésicas; contextos como éste se desarrollan mucho antes de ser hechos conscientes. El valor de la recti-linealidad se sugiere al niño pequeño, enactivamente, si se le pide que venga directamente hacia tus brazos abiertos, lo icónico por todas las rectas horizontales y verticales en su ambiente, y simbólicamente por las líneas rectas de los esquemas y por la expresión “línea recta”. La parte que juega la recti-linealidad en la constitución de “la longitud” permanece inconsciente hasta que eso es discutido explícitamente. Enderezar los objetos flexibles cuando sus longitudes se van a comparar puede que sea un acto automático – de hecho, una imitación automática – y puede haber niños que así de automáticamente pongan, entre dos puntos no relacionados, un objeto mental “largo”, una regla imaginaria, o una cuerda para interpretar la distancia como longitud. Los experimentos bien conocidos donde los niños se desorientan tan pronto como una pantalla se coloca entre dos puntos pueden probar qué tan importante es este acto de insertar un “objeto largo” para reducir “¿qué tan lejos?” a “¿cuán largo?”. Pero lo que sea que estos experimentos signifiquen, si algún juicio acerca de la distancia sobre puntos no relacionados debe ser motivado, uno no puede más que hacer explícita la necesidad de conexiones rectilíneas. De este momento en adelante la significancia de la recti-linealidad para el concepto de longitud se hace cada vez más y más consciente – otra conexión entre la longitud y la recti-linealidad será indicada más adelante.
1.24. ¿Cómo aprende un niño lo que importa cuando se requiere comparar longitudes? Conjuntos de objetos de la misma clase pero de diferente longitud pueden jugar un papel importante: cucharas grandes y pequeñas (e iguales), trenes cortos y largos (e iguales), árboles altos y bajos (árboles de igual longitud). Los objetos se van a comparar a simple vista si están colocados paralelamente y lado a lado; para ser comparados deben ser puestos en esa posición, ya sea física o mentalmente, como objetos rígidos, por medio de mapeos congruentes. Esto requiere comparar objetos físicos con mentales y mentales entre sí. La memoria para la longitud funciona inicialmente de una manera muy burda, eso parece. Recordar longitudes durante períodos largos parece ser una tarea difícil. Como me sucede a mi, muchas veces estoy sorprendido de que las relaciones de longitud difieren enormemente de como yo recuerdo que eran. La comparación de objetos lado a lado va ganando precisión en el transcurso del desarrollo: la regla es acomodada cerca de la línea que va a ser medida, mientras se cumple la prescripción de dirigirse perpendicularmente a la recta. La conexión entre “longitud” y “distancia” es enfatizada, y el peso es transferido a la “distancia” si uno de los objetos a ser comparados, o ambos, tienen marcas por los cuales sus extremos pueden ser señalados. La comparación se puede hacer indirectamente usando la transitividad de la relación de orden, por ejemplo, tomando la distancia entre los dedos de una mano, entre dos manos, entre dos puntos de un par de compases, o entre dos marcas existentes o colocadas intencionalmente sobre un objeto largo, y llevándola de un lado a otro. Con todos estos métodos la longitud como una función de los objetos largos es reemplazada por la distancia como una función de un par de puntos. Aún se inicia enseñando “así de grande” o “así de pequeño” con los dedos o manos, aunque en su apariencia exagerada este gesto es una expresión más emocional de “tremendamente grande” o “miserablemente pequeño” que un medio verdadero para comparar longitudes. Los métodos más refinados de comparación de longitudes se basan en la geometría y serán tratados en ese contexto.
1.25. Conservación y reversibilidad
Antes de extender el análisis de medir[8] longitudes acometo la cuestión ya tratada en las secciones 1.12 y 1.15: cómo los psicólogos interesados en el desarrollo de los conceptos matemáticos lidian con tales conceptos, en particular con la longitud. Las investigaciones, iniciadas por Piaget, muestran el siguiente patrón. El problema general es adquirir conocimiento acerca de la génesis de conceptos fundamentales tales como número, longitud, área, forma, masa, peso, y volumen. A los sujetos se le enseñan grupos de objetos que coinciden con respecto a una o más de estas magnitudes (el mismo número de cuentas en una hilera, varas de la misma longitud, y así,) y se les pide aceptar que los objetos concuerdan con respecto a la característica A (número, longitud, o así). Luego uno de los objetos del grupo es sujeto a transformaciones que de acuerdo al punto de vista del adulto no cambian la característica A mientras que las otras cambian (por ejemplo, cambiar las distancias mutuas entre los objetos en la hilera de cuentas o curvar una vara). Después de esta operación al sujeto se le pregunta si la característica A ha permanecido invariante; si esto es afirmado uno habla de conservación y al sujeto se le clasifica como “conservador”. Los psicólogos se encuentran decepcionados razonablemente con respecto a la edad promedio de conservación de varias características, mientras que algunas personas que tienen experiencia didáctica con los niños juzgan estas edades absurdamente altas. El gran porcentaje de no conservadores en los experimentos psicológicos se alcanza por una estrategia particular: la transformación que se aplica para conservar A es elegida intencionalmente de manera que cambie otra característica de B tan drásticamente que la atención es dirigida a B (por ejemplo, si A es el número cardinal o la masa, un cambio radical en la longitud, o si A es una longitud, un gran cambio en la posición o en la forma). Lo que se está investigando, de hecho, es hasta dónde el sujeto es capaz de separar estas características definitivamente una de la otra y qué tan fuertemente puede resistir las tentaciones que lo hacen dudar. Hacer dudar es una característica general del acercamiento psicológico, en oposición al acercamiento didáctico.
De ninguna manera la pregunta con respecto al estadio de desarrollo en que los niños amaestran las invariancias de ciertas magnitudes debería ser rechazada. Por el contrario, es un mérito de Piaget el haber sido el que formuló tales problemas. El problema, sin embargo, es obscurecido por el uso de términos tales como “conservación”; muchas veces los mismos investigadores no tienen una idea clara de la clase de transformaciones con respecto a las cuales la tal llamada conservación puede ser establecida. Para cada experimento diseñado para ser aplicado a niños pequeños, uno puede encontrar una versión más sofisticada para desconcertar a los adultos. Por ejemplo, enseñe a dos adultos dos clips de papel congruentes y pregúnteles si son igual de largos; la pregunta es por supuesto respondida de manera afirmativa. Después deshaga uno de ellos, enderécelo y repita la pregunta. Cualquier cosa que él responda puede ser un error. Depende de lo que el experimentador quiere. Un sujeto adulto que reaccione a la cuestión preguntando ¿qué quieres decir (en nuestra terminología, invariancia de la longitud bajo congruencia de mapeos o bajo flexiones)? A los niños pequeños en el laboratorio no se les permite responder con preguntas. El hecho de que ellos no pregunten prueba que están intimidados (en la terminología del psicólogo, puestos a la deriva) – su comportamiento crítico ha sido eliminado por medio de la situación.
Para un buen diseño de experimentos es indispensable que el experimentador y el sujeto tengan una idea clara de la clase de transformaciones con respecto a las cuales la invariancia es establecida. Quizás los psicólogos dirían que entonces se acaba la diversión, pues la oportunidad de obtener respuestas erróneas será minimizada. Mucho mejor, diría yo. Un resultado tal coincidiría con las opiniones de las capacidades de los niños sostenidas por los didácticos.
Por supuesto esto no significa que todos los problemas sean eliminados. Yo podría enumerar bastantes problemas de desarrollo que desde el punto de vista de una fenomenología son suficientemente interesantes. Por ejemplo, a mí me gustaría saber qué tanto la constitución mental de la rigidez precede a la longitud, qué tanto la preservación de la longitud bajo mapeos de congruencia y la preservación de la longitud bajo flexiones se apuntalan o se obstaculizan la una a la otra, qué papel juegan las semejanzas en la constitución mental de la longitud y cómo es adquirida la equivalencia de “largo” y “lejos”. Así que hay muchas más preguntas que a mí me gustaría que fueran contestadas. La cuestión más urgente, pienso, es acerca de la significancia de las transformaciones de romper y hacer para la tal llamada conservación (no sólo de la longitud). Si es posible confiar en mi propia experiencia sistemática, yo las consideraría como cruciales. Sin embargo, para contestar a tales preguntas, se requiere un diseño de experimentos muy diferente al de las instantáneas[9], registrando qué porcentaje de sujetos de cierta edad “conservan”. También se requiere una mentalidad más positiva que la de tratar de ponerle trucos al niño para hacer que se equivoque.
Otro término vago que es usado comúnmente en tal clase de investigación es “reversibilidad”. Originalmente estaba relacionado con respuestas dadas por sujetos cuando los investigadores los motivaban para que se pronunciaran sobre la conservación. Por ejemplo, una de dos cuerdas de igual longitud es encogida mientras que otra permanece recta; al sujeto se le pregunta si aún son igual de largas. Si esto se afirma, se le pide al sujeto que dé razones. Si responde “si lo vuelvo a enderezar, es de nuevo lo mismo”, entonces muestra “reversibilidad”; esto es, la capacidad de revertir mentalmente la transformación, lo que es considerado un buen argumento para la igualdad de la longitud. Por supuesto, no es ningún argumento, y a pesar de que es interpretado por el experimentador como tal, probablemente no es lo que el sujeto quería decir. De la igualdad de las condiciones iniciales y finales nada se puede derivar acerca de las condiciones intermedias. Si el sujeto hubiera dicho, “ellos son iguales porque yo obtuve una de la otra solamente arrebujándola”, la respuesta hubiera sido tan buena, o incluso más directamente relacionada con el punto, que el argumento de la reversibilidad. El sujeto, sin embargo, pudo no haber sido considerado como verdadero conservador, porque le faltaba la reversibilidad.
Esta “reversibilidad” como una prueba de la “conservación” es el significado original, pero subsecuentemente ha sido usado en muchos otros sentidos no relacionados mutuamente. Hay, sin embargo, investigadores que también rechazan el argumento de la reversibilidad. Ellos postulan respuestas estándares que deben ser dadas con el fin de establecer la conservación. Entonces la pregunta “¿por qué es esto tan largo como esto otro”? si el sujeto ha de ser clasificado como conservador no debe responder con un argumento material sino con uno formal; él debe responder algo así como “porque tienen la misma longitud”. A la pregunta “¿por qué tienen el mismo contenido?”, la respuesta debe ser “porque ellos incluyen partes iguales del espacio”. Está por demás decir que tales investigadores están más lejos aun de unas matemáticas con sentido.
La falta de perspectiva sobre las dificultades con la equivalencia entre “largo” y “lejos” ya ha sido mencionada. A veces éstas son incrementadas por un énfasis en despreciar intencionalmente trayectos que conectan – un patrón en el plano que sugiere un sistema de trayectos o dos puntos en la orilla de una mesa redonda que invitan a caminar a lo largo de la orilla – donde el experimentador quería decir, por supuesto, trayectos rectos.
Estos detalles deberían ser suficientes. Yo ciertamente no juzgaría todas las investigaciones que tengo en la mira como inútiles, pero muchas de ellas padecen por haber establecido los énfasis incorrectamente. El método de las instantáneas no debe ser rechazado pero para ser aplicado requiere de una teoría de antecedentes – o al menos ideas – acerca del desarrollo intermedio. Tales teorías existen, pero son tan vagas y generales que cualquier cosa puede ser acomodada en ellas y no proveen criterios para atribuir relevancia a ciertas cuestiones o conjuntos de cuestiones.
Lo que está faltando aquí puede ser claro parabólicamente. Supongamos que alguien está investigando el desarrollo de la flora durante el año por medio de instantáneas. En los árboles y arbustos nota varias clases de botones en varios estadios. En las siguientes instantáneas identifica las hojas y los pétalos en los mismos lugares. Más tarde, lo primero permanece ahí y lo último ha sido reemplazado por fruta. Después, la fruta, y finalmente las hojas, también han desaparecido. Él no ha prestado atención a los estambres, a los pistilos y a los insectos y no sabe de dónde viene la fruta y a dónde se fueron las hojas. Quizá ni siquiera sepa que las hojas y las flores estaban encerradas en los botones. Su fenomenología fue demasiado fragmentaria, nunca supo qué era lo que tenía que ver, y hay una buena posibilidad de que interprete erróneamente lo que ha visto. Tal vez los términos como crecer, florecer, dar fruto, están faltando en su vocabulario, o significan estados más que procesos. Ideas acerca del desarrollo le hubieran dado una oportunidad mayor de notar lo esencial.
1.26-29. MEDICIÓN DE LONGITUDES
1.26. Varas
La medición de longitudes requiere instrumentos – varas de medir o reglas. Al principio el instrumento de medición será más pequeño que la cosa que va a ser medida. Señalamientos sobre lo contrario, en la literatura de la psicología, son debidos a malos entendidos acerca de la medición, o a experimentos artificiales.
La primera vara de medir que he visto que los niños usan es el paso. Por un tiempo a ellos no les preocupa hasta dónde la longitud de todos los pasos es la misma. La mayoría de las veces ellos cuentan un paso hasta muchos (el paso cero como uno). Desde el principio es claro que menos pasos significan un intervalo más corto, aunque no está tan claro que la composición de intervalos va de la mano con la suma del número de pasos. Más o menos al mismo tiempo en que se empiezan a medir distancias por pasos, o un poco antes, uno nota la actividad de brincar sobre un cierto número de piezas en patrones de mosaicos, para ver qué tan lejos se puede brincar. No estoy diciendo que esta sea realmente una actividad de medición, sin embargo esta clase de brincos pueden influir la medición con pasos.
Bastiaan (4;10) espontáneamente midió el ancho del pasillo con pasos. “Estos son seis más”. Yo demostré que yo lo puedo hacer con un solo paso. Él hace lo mismo con dos pasos. Él continúa midiendo con pasos.
Bastiaan (6; 5) ha hecho una gran construcción de carreteras, puentes, paredes y túneles en un cajón de arena. Para hacer un dibujo de la construcción mide distancias con sus dos dedos índices paralelos a una distancia fija (más o menos de un decímetro), poniendo el índice izquierdo en la marca hecha por el índice derecho
Bastiaan (7; 6) mide distancias con una cuarta entre su pulgar y el dedo pequeño que él sabe que es de un decímetro.
Medir con un instrumento de medición significa ir acomodando el instrumento congruentemente un cierto número de veces hasta que la longitud que se va a medir se acaba. Si el objeto a ser medido es una distancia entre dos puntos, la recti-linealidad del trayecto debe ser practicada a medida que se va aplicando el instrumento una y otra vez. Es sorprendente que aún los niños de doce años menosprecian esto. Si la línea recta entre dos puntos está bloqueada, el trayecto se reemplaza parcialmente por uno paralelo. Es un hecho sobresaliente que el paralelismo usualmente se observa mejor que la recti-linealidad de la continuación en el caso en que no hay bloqueo. De hecho lo último es más difícil. Para hacer esto de manera razonable, uno tiene que desarrollar cierta técnica, que requiere – desafortunadamente – más visión geométrica de la que está siendo enseñada en la escuela primaria.
Hay una gran variedad de varas de medir. La mayoría de las unidades de longitud tradicionales se toman del cuerpo humano: pulgada (que significa pulgar), dedo, palma, pie, codo largo y codo corto, yarda, paso, doble paso, y otra; para distancias más grandes el estadio (= 100 fathos = 600 pies), la milla romana ( = 1000 dobles pasos ), una hora de camino. Las llamadas medidas métricas están relacionadas por potencias de 10: metro, kilómetro, centímetro, milímetro, micrómetro, picómetro[10]. En variación con ellos: un año luz, un parsec[11].
1.27. Cambio de vara de medir
Si el objeto a ser medido no es cubierto al aplicar congruentemente la vara de medir un número – digamos n – de veces el problema que surge es qué hacer con el sobrante. En la mayoría de los casos uno se resignará a que un pedacito sobró o falta, lo que significa que el objeto es un poco más largo o un poco más corto que n veces la unidad. Similarmente al caso en que el residuo se ve como la mitad, un tercio o dos tercios de la unidad no son problemáticos. Para tener más precisión, se requiere un procedimiento más sistemático. Dos sistemas son familiares: fracciones comunes y decimales. Una variación menos común es la de fracciones binarias (o fracciones en cualquier otra base). Un sistema más natural, ahora obsoleto debido a su complejidad, es la de fracciones continuas, como yo he dicho en todas partes. Si a1 es la unidad de medida y a0 el objeto a ser medido,
a0 = p1a1 + a2,
después, el residuo a2 (< a1) se usa como la nueva unidad,
a1= p2a2 + a3,
y así se sigue, esperando que tarde o temprano la división se termine, esto es
an-1 = pnan.
Entonces an es una medida común de a1 y a0, y yéndose para atrás uno encontrará, digamos,
a0= ran,
a1=san.
Lo cual implica
a0=
a1.
a1.
Es una ventaja de este procedimiento el que involucre una búsqueda sistemática de un denominador, siempre y cuando a0 sea un verdadero múltiplo racional de a1; esto es, si el procedimiento termina realmente. Pero esto puede que no pase. Entonces el procedimiento tiene que ser detenido en un cierto estadio, el residuo se desprecia, y la longitud de a0 es expresada aproximadamente en términos de a1.
Con el método de las fracciones decimales uno solventa el problema de encontrar un denominador que sirva. La unidad de medida se divide una y otra vez en diez partes iguales (aun si tal partición no está marcada en el instrumento de medida), y uno tiene solamente que ver qué tan frecuentemente la unidad subdividida cabe en el residuo. Es una desventaja del método decimal que aún longitudes fraccionales simples como 
de la unidad sólo pueden indicarse aproximadamente.
de la unidad sólo pueden indicarse aproximadamente.
La longitud es uno de los conceptos por el que las fracciones decimales se pueden introducir operacionalmente. Este tema será resumido en el capítulo sobre fracciones.
1.28–29. Medición de longitud en una etapa temprana
1.28. Los términos que debieran ocurrir temprano en la medición de longitudes son “doble”, “tres veces”, “la mitad” “un tercio”. A mí me sorprendió que un niño de 5-6 años que entendía la longitud razonablemente no conocía estos términos, o al menos, no relacionados con la longitud; la dominancia del adjetivo “grande” parece bloquear el aplicar “el doble” y “la mitad” a la dimensión lineal.
Bastiaan (5;3), en un cierto momento durante una caminata recta al otro lado de nuestro canal entre dos puentes y a una distancia más grande de uno que del otro, no entiende la pregunta “¿estamos a la mitad?”, pero más tarde indica espontáneamente el punto donde “empieza la mitad” (esto es, la segunda mitad).
Términos como “medio lleno” (de un vaso) y otros similares funcionan tempranamente y mejor.
La aditividad de la longitud es todavía un problema a esta edad. Un objeto largo es vuelto a medir nuevamente después de haber sido medido con un segundo objeto. No se nota que la segunda medición da otra longitud para la primera pieza.
Uno debería darse cuenta que éstas no son cosas triviales –saber
cómo son compuestas las longitudes,
que los resultados son de nuevo longitudes,
que pedazos de longitudes son de nuevo longitudes,
que la medida de la longitud de una parte es más pequeña que la de todo, y
que la medición de la longitud se comporta aditivamente bajo la composición.
1.29. La longitud de objetos flexibles se mide después de estirarlos. La circunferencia de las figuras curvas se mide por medio de objetos flexibles – una cuerda – que se acomoda a lo largo. También se puede hacer desenrollando la cuerda sobre una línea recta. No es para nada trivial que esto conduzca al mismo resultado. La longitud que surge de desenrollar un círculo es sobreestimada bastante por los niños e incluso por los adultos.
Inversamente, dar vuelta a una rueda puede ser usado para medir distancias (expresadas por el número de revoluciones de una rueda de bicicleta o de una rueda de medir).
El conocimiento geométrico puede llevar a métodos más sofisticados para medir distancias. Algunos de ellos son posibles en una edad temprana. Consideraremos esta cuestión posteriormente.
Leer y diseñar mapas con datos de distancia no necesariamente presupone el conocimiento del radio o razón.
La relación entre distancias y las veces necesarias para cubrirlas no necesariamente presuponen el conocimiento de la velocidad.
Subir escaleras se puede poner en relación con la distancia.
Las distancias en una red de calles son accesibles tempranamente.
Actividad final
Después de leer el capítulo responda a las siguientes preguntas:
Mencione cinco sinónimos de la palabra longitud.Defina longitud de una o más maneras.
Mencione objetos susceptibles de ser medidos respecto a la longitud.
Mencione seis situaciones en las que sea necesario medir longitudes.
Compare sus respuestas con las que escribió antes de leer el capítulo.
Comente acerca de las diferencias entre sus respuestas dadas antes y dadas después. Si no hay diferencias comente por qué no las cambió.
[2] Los dos capítulos tomados del libro de Freudenthal están escritos en el mismo formato que él utilizó en la versión original, ya que el formato mismo es una herramienta del método o, al menos desde mi punto de vista, permite una lectura más ordenada y clara del capítulo.
[3] Freudenthal inicia su libro aplicando una fenomenología didáctica al concepto de longitud; usa el concepto de longitud como ejemplo para su método de análisis.
[4] Freudenthal da aquí como ejemplos algunas expresiones en inglés que incluyen a la palabra “length” que estamos traduciendo como longitud. Las dos primeras expresiones no tienen traducción en español o, más bien, su traducción literal no tiene sentido y su traducción literaria no incluye a la palabra “longitud”. Las expresiones son “At length” que significa “finalmente, después de un lapso de tiempo considerable”, y “going to the utmost length” que significa “hacer todo cuanto sea posible, hasta el límite, para conseguir un propósito”.
[5] Las notas de la traductora llevan números, las notas con asteriscos son notas que Freudenthal inserta en su texto.
* Las magnitudes dirigidas serán consideradas incidentalmente en la Secciones 15.9-12. De otra manera “magnitud” es entendida siempre de manera clásica. En este contexto, “racional” y “real” siempre significan “racional positivo” y “real positivo”.
[6] En el libro del que se tomó el texto para traducirlo dice textualmente: “Fort he lengths x and y we have chosen representative “long objects” a and y respectively…” pero creo que es un error tipográfico, y para ser congruente con lo que dice al inicio e 1.5 he puesto las letras griegas para representar las longitudes. (N. de. T.)
* P. Bryant, Perception and understanding in young Children, London
*** Si el lector no se está al corriente de los que es un mapeo afín, puede leer, en lugar de lo anterior, proyección paralela.
[8] Itálicas en el original. Textualmente dice: “Before extending the analysis of measuring lengths” pág. 21.
[9] Se ha elegido esta palabra para traducir ‘snapshots’ que es como Freudenthal se refiere a los episodios que reportan Piaget y sus seguidores.
[10] Picometre (en el original) = 1 metro × 1012.
[11] Unidad de medida equivalente a 3.26 años luz.
