Citar como:
Van Hiele, P.M. (2004) The Child’s Thought and Geometry in Carpenter, Dossey and Koehler (eds.) Classics in Mathematics Education Research. USA: NCTM. Págs. 60-66.
Introducción al texto de Van Hiele
En este capítulo, la introducción que se incluye es la misma que aparece en la fuente original a cargo de Douglas H. Clements un reconocido investigador de la Educación Matemática, norteamericano.
Actividad anterior a la lectura del capítulo
Antes de leer la introducción de Clements y el artículo de Van Hiele responda a las siguientes preguntas.
- ¿Qué sabe acerca del modelo de Van Hiele?
- ¿Conoce alguna teoría en la que se describan niveles de aprendizaje o comprensión? ¿Cuál es esta teoría o quién la desarrolló? ¿A qué se refiere esta teoría?
- Imagínese que usted va a desarrollar una o varias clases de geometría sobre triángulos. Elija un nivel de estudios y el grado en el que le gustaría dar esta clase. Después detalle las etapas de la clase o las clases y describa brevemente cada una de ellas. (Al menos diseñe toda la experiencia en tres etapas).
Pierre y Dina van Hiele, como educadores matemáticos en las escuelas secundarias Montessori de Holanda, se sentían descorazonados por el nivel en geometría tan bajo que tenían los alumnos y estaban intrigados por el fenómeno de “incapacidad para comunicarse” entre maestros y estudiantes. En 1957 en la Universidad de Utrecht, los van Hiele completaron sus tesis doctorales. Pierre van Hiele formuló un sistema de niveles del pensamiento en geometría. Dina van Hiele-Geldof se enfocó en un experimento de enseñanza diseñado para elevar los niveles en geometría de los alumnos.
En El Pensamiento del Niño y la Geometría, Pierre van Hiele describe su influyente teoría sobre los niveles de pensamiento geométrico. De acuerdo con esta teoría los estudiantes progresan en geometría a través de niveles de pensamiento. La teoría se basa en varios supuestos. Primero, el aprendizaje de la geometría es un proceso discontinuo caracterizado por niveles de acercamiento cualitativamente diferentes. Tales niveles de progreso, como los niveles visuales de Gestalt, van progresando e incrementándose en niveles sofisticados de descripción, análisis, abstracción y prueba. Segundo, estos niveles son secuenciales, invariantes y jerárquicos. El progreso depende de la instrucción, no de la edad. Los maestros pueden tratar los contenidos en un nivel más bajo, lo cual puede llevar a la memorización; sin embargo, no es posible que los estudiantes salten los niveles y obtengan entendimiento. Esto último requiere de pasar por ciertas fases de instrucción. Tercero, los conceptos implícitamente entendidos en un nivel, se vuelven explícitos en el siguiente nivel. Cuarto, cada nivel tiene su propio lenguaje; los maestros que no están al tanto de estas características del aprendizaje de los estudiantes pueden fácilmente malinterpretar el entendimiento de los estudiantes sobre las ideas geométricas.
Esta teoría, entonces, se basa en el constructivismo y los estudios geométricos de Piaget pero también encabeza nuevas direcciones. La teoría enfatiza el contenido matemático como el corazón de la investigación y la práctica. Claramente atribuye el desarrollo de los estudiantes al proceso de enseñanza-aprendizaje.
Las teorías son útiles si son usadas–y contestadas, atacadas y modificadas. Con este criterio, la teoría de van Hiele es una teoría útil. Ha precipitado una gran cantidad de trabajo a través de su uso, evaluación, y modificando de la teoría misma. Ha profundizado y expandido la investigación en el aprendizaje y la enseñanza de la geometría, afectando no solamente a la investigación en tópicos palpables tales como las figuras geométricas y la prueba[2], sino también sirviendo como un esqueleto teórico para la investigación en un amplio espectro de temas relacionados que incluyen la evaluación, la tecnología educativa, el uso de manipulativos, los estudiantes con necesidades educativas especiales, el análisis de libros de texto, el desarrollo del currículum. La teoría ha servido para inspirar un pensamiento creativo en escenarios educativos no conectados con la geometría, tales como el desarrollo profesional.
La teoría de van Hiele ha ofrecido a los educadores y a los investigadores un modelo importante que promueve el entendimiento conceptualmente basado en niveles de pensamiento; esto ha enfatizando la prioridad del contenido matemático, y lo ha conectado estrechamente con la educación así como con los intereses psicológicos. Es también un modelo de conexión cinegética entre teoría, investigación, práctica de la enseñanza, y el pensamiento y aprendizaje de los estudiantes.
–Douglas H. Clements
State University of New York at Buffalo
El Pensamiento de los Niños y la Geometría[3]
P. M. van Hiele
El arte de enseñar es un encuentro entre tres elementos: el maestro, el estudiante y el contenido. Como es muy difícil mantener a la vista todas estas cosas al mismo tiempo, uno tiene la tendencia a despreciar alguna de ellas, lo cual nos da una visión incorrecta de la situación. Porque si uno desprecia el contenido, uno sólo ve la relación entre el maestro y el estudiante; si uno pierde de vista al estudiante, entonces uno sólo ve la estructura del contenido. Algunas veces uno no se da cuenta suficientemente que el maestro está ahí para dirigir los estudios de los alumnos.
Sin embargo convengamos para la causa del argumento que uno debiera tomar en cuenta los tres aspectos mencionados anteriormente sin omitir ninguno. De todas maneras sigue existiendo un peligro y a mi me parece que esto no ha sido suficientemente reconocido. La dificultad que surge es que el estudiante maneja un contenido de una estructura completamente diferente que la del profesor.
Si nosotros estamos de acuerdo en que el objetivo de nuestra enseñanza es que el estudiante sepa cómo probar teoremas, es altamente improbable que el pensamiento de los estudiantes se dirija a este objetivo. Es improbable porque los estudiantes no serán capaces de bosquejar, en un sentido intrínseco, la idea de probar un teorema. De hecho, si él tuviera esa idea, entonces ya no tendría necesidad de aprenderla.
Comprender matemáticas se reduce a esto: conocer las relaciones entre los teoremas que uno estudia. En cuanto uno entienda el significado de estos teoremas, uno conoce sus relaciones al mismo tiempo.
Todo esto es muy simple y nos muestra claramente por qué las matemáticas son tan difíciles para los estudiantes. El maestro sabe las relaciones entre los teoremas, pero lo sabe de una manera distinta que los alumnos. Sus explicaciones de estas relaciones no son suficientes para hacerlas inteligibles a los estudiantes. Lo que el estudiante debe comprender en primer lugar es que existen algunas cosas que se llaman teoremas. Esto es todo lo que uno puede esperar de un estudiante que empieza. El siguiente ejemplo ilustra lo que quiero decir.
Un maestro quiere enseñar geometría plana a estudiantes que inician. Él utiliza la simetría respecto a una línea recta, con el fin de enseñarles las relaciones entre segmentos iguales o ángulos, perpendicularidad, etc. Él les enseña que los puntos del eje de simetría son invariantes, que los segmentos simétricos tienen la misma longitud, que las líneas simétricas se interceptan en el eje de simetría. Con el fin de saber si los estudiantes han entendido lo que se les ha enseñado, les pone el siguiente problema: “Sea ABC un triángulo para el cual las extensiones de sus lados se encuentran con la línea L. Construye el triángulo simétrico con respecto a L.” El maestro imagina la siguiente solución: “Las líneas AB y AC se encuentran en el eje L en dos puntos que llamaremos P y Q. Estos puntos son invariantes bajo simetría. Entonces las distancias AP y AQ son invariantes, así que uno puede construir el punto simétrico A’. De la misma manera encontramos B’ y C’.”
Todo este razonamiento, esta manera completa de concebir el material, es el razonamiento de un maestro que conoce todas las relaciones. El estudiante es completamente incapaz de desarrollar un proceso similar de pensamiento sin la ayuda del maestro. El maestro ha utilizado el hecho de que las longitudes de segmentos simétricos son iguales como base de su argumento. Tal técnica no tiene ningún significado para los estudiantes porque ellos aún no han visto un contraejemplo; ellos aún no han visto transformaciones que cambian la longitud de los segmentos.
Pero hay aún una razón más importante para nosotros para oponernos a este método de enseñanza del cual hemos dado un ejemplo: se requiere que los estudiantes razonen con la ayuda de un sistema de relaciones entre las ideas cuyos significados ellos aún no conocen. Es un asunto de “puntos”, “ejes de simetría”, “segmentos”, “encontrarse”, “invariantes”, “cambiar de longitud”, “triángulo”, “extensión”. Obviamente, el maestro ha explicado estas expresiones, ha mostrado puntos y segmentos, ha mostrado en el pizarrón lo que se entiende por extender un segmento. Posiblemente ha pedido a sus estudiantes que formulen la definición de ángulos. También es posible que la definición que los alumnos hayan encontrado no sea del todo correcta y que como resultado él haya mostrado esto por medio de un contraejemplo. Sin embargo, uno debe darse cuenta que es el maestro el que está dando el contraejemplo. Los estudiantes fallarán porque para estar en la postura de dar un contraejemplo uno debe de tener un sistema de relaciones a su disposición y ellos no lo tienen.
Espero que el pensamiento que acabo de presentar les haya mostrado claramente que el maestro razona por medio de un sistema de relaciones que solamente él posee. Empezando con este sistema, él explica las relaciones matemáticas que los estudiantes terminan por manipular de memoria. O bien los estudiantes se lo aprenden de memoria para operar con estas relaciones que no comprenden, y de las que no han visto el origen.
A primera vista parece que las cosas están en orden: los estudiantes terminarán por tener a su disposición el mismo sistema que el maestro. ¿No es éste el objetivo mismo de la enseñanza de las matemáticas, oes decir: la posesión de un sistema de relaciones idéntico para todos aquellos que las usan, apropiado para expresar argumentos, un sistema en el cual las relaciones están ligadas de una manera lógica y deductiva?
Pero no hay que ser tan optimista. Primero que nada, un sistema de relaciones estructurado de esta manera no se basa en experiencias sensoriales de los estudiantes. Aunque es posible que el sistema de relaciones por sí mismo haya inspirado algunas experiencias por parte del estudiante, las experiencias matemáticas que el estudiante ha sido capaz de tener están basadas solamente en un sistema impuesto por el maestro. Este sistema, impuesto y no entendido forma la base de su razonamiento. Como uno sabe, un sistema de relaciones que no se basa en la experiencia anterior tiene el potencial de ser olvidado en un tiempo corto.
Por lo tanto, el sistema de relaciones es una construcción independiente que no tiene relación con otras experiencias del niño. Esto significa que el estudiante sabe solamente lo que se le ha enseñado y lo que ha deducido de ello. Él no ha aprendido a establecer las conexiones entre el sistema y el mundo sensorial. Él no sabrá cómo aplicar lo que ha aprendido en una nueva situación.
Finalmente, el estudiante ha aprendido a aplicar un sistema de relaciones que se le ha ofrecido ya hecho, él ha aprendido a aplicarlo en ciertas situaciones específicas diseñadas para ello. Pero no ha aprendido a construir tal sistema por sí mismo en un dominio que aún no está estructurado. Si, por el otro lado, quisiéramos tener éxito en asegurar como resultado de nuestra enseñanza que los estudiantes sean capaces de construir por sí mismos un sistema de relaciones deductivas en un nuevo dominio, nosotros deberíamos producir el entrenamiento matemático óptimo.
En general, el maestro y los estudiantes hablan un lenguaje muy diferente. Nosotros podemos expresar esto diciendo: ellos piensan en niveles diferentes. El análisis de la geometría indica más o menos cinco niveles diferentes.
En el Nivel Base (Nivel 0) de geometría, las figuras se juzgan por su apariencia. Un niño reconoce un rectángulo por su forma y un rectángulo parece diferente que un cuadrado. Cuando uno enseña a un niño de seis años qué es un rombo, qué es un rectángulo, qué es un cuadrado, qué es un paralelogramo, él es capaz de reproducir estas figuras sin error en un geoplano de Gattagno, aún en arreglos difíciles. Nosotros hemos usado el geoplano en nuestra investigación de manera que el niño no sea perturbado por las dificultades de hacer bien los dibujos. En el nivel base, un niño no reconoce un paralelogramo si tiene la forma de un rombo. En este nivel, el rombo no es un paralelogramo, el rombo le parece a él una cosa completamente diferente.
En el Primer Nivel de geometría, las figuras son ejemplos de sus propiedades. Que una figura sea un rectángulo significa que tiene cuatro ángulos rectos, sus diagonales son iguales, y sus lados opuestos son iguales. Las figuras son reconocidas por sus propiedades. Si uno le dice a un niño que la figura que está dibujada en el pizarrón tiene cuatro ángulos rectos, ella es un rectángulo aun si la figura está mal dibujada. Pero en este nivel las propiedades aún no se han ordenado, de manera que el cuadrado no es identificado como un rectángulo necesariamente.
En el Segundo Nivel, las propiedades son ordenadas. Se deducen unas de otras: una propiedad precede o prosigue a otra propiedad. En este nivel el significado intrínseco de deducción no se entiende por parte de los estudiantes. El cuadrado se reconoce como un rectángulo porque en este nivel las definiciones de la figura se ponen en juego.
En el Tercer Nivel, el pensamiento está relacionado con el significado de la deducción, con el inverso de un teorema, con los axiomas, con las condiciones necesarias y suficientes.
Uno puede distinguir probablemente cinco niveles de pensamiento en geometría. Este número es de poca importancia para entender lo que es un nivel de pensamiento.
Estos niveles–como hemos dicho–son inherentes en la elaboración del pensamiento; son independientes del método que se use para enseñar. Es posible, sin embargo, que ciertos métodos de enseñanza no permitan alcanzar los niveles más altos, de manera que los métodos de pensamiento usados en estos niveles permanecen inaccesibles a los estudiantes. Los siguientes puntos pueden contribuir para especificar los niveles de pensamiento:
En cada nivel aparece de manera extrínseca lo que era intrínseco en el nivel anterior. En el nivel base, las figuras eran de hecho también determinadas por sus propiedades, pero alguien que piensa en este nivel no está consciente de estas propiedades.
Cada nivel tiene sus propios símbolos lingüísticos y sus propios sistemas de relaciones que conectan estos signos. Una relación que es “correcta” en un nivel puede revelarse incorrecta en otro. Piénsese, por ejemplo, en la relación entre un rectángulo y un cuadrado. Numerosos símbolos lingüísticos aparecen en dos niveles sucesivos; más aún, ellos establecen una relación entre los varios niveles y asumen la continuidad de pensamiento en este dominio discontinuo. Pero su significado es diferente: esto se vuelve manifiesto por otras relaciones entre estos símbolos.
Dos personas que razonan en dos diferentes niveles no se pueden entender entre sí. Esto es lo que pasa a menudo entre el maestro y el estudiante. Ninguno de ellos puede arreglárselas para seguir el proceso de pensamiento del otro y su diálogo sólo puede continuar si el maestro por sí mismo trata de formarse una idea de lo que los estudiantes están pensando y de adecuarse a ello. Algunos maestros hacen una presentación a su propio nivel mientras piden a los estudiantes que respondan a sus preguntas. De hecho, esto no es más que un monólogo, por que el maestro está inclinado a considerar todas las respuestas que no pertenezcan a su sistema de relaciones como estúpidas o incorrectas. Un verdadero diálogo debe ser establecido al nivel de los estudiantes. Para que esto suceda, el maestro a menudo debe, después de clase, preguntarse a sí mismo acerca de las respuestas de sus estudiantes y esforzarse de entender su significado.
La maduración que conduce a un nivel alto sucede de una manera especial. Varios estadios pueden ser revelados en ello (esta maduración se debe considerar sobre todo como un proceso de aprendizaje y no como una maduración de tipo biológico). Es entonces posible y deseable que el maestro la provoque y acelere. El objetivo del arte de enseñar es precisamente enfrentar la cuestión de saber cómo estas fases se superan, y cómo se puede ayudar para que esto realmente suceda en el estudiante.
Vamos ahora a examinar las fases que, en el proceso de aprendizaje, llevan a un nivel más alto de pensamiento.
La primera fase es de cuestionamiento: el estudiante aprende a conocer el campo que se está investigando por medio del material que se le presenta. Este material lo conduce a descubrir cierta estructura. Uno puede decir que la base del conocimiento humano consiste de esto: la humanidad se caracteriza por la revelación de estructuras en cualquier material, no importa qué tan desorganizado esté, y esta estructura se experimenta de la misma manera por diferentes personas, lo que da como resultado una conversación que ellas pueden tener sobre el tema.
En la segunda fase, la de orientación dirigida, el estudiante explora el campo de investigación por medio del material. Él ya sabe en qué dirección está dirigido el estudio; el material es elegido de tal manera que las estructuras características aparezcan gradualmente.
En el curso de la tercera fase, la explicitación tiene lugar. La experiencia adquirida está ligada a símbolos lingüísticos exactos y los estudiantes aprenden a expresar sus opiniones acerca de las estructuras observadas durante las discusiones en clase. El maestro tiene cuidado de que estas discusiones usen los términos habituales. Es durante esta tercera fase que el sistema de relaciones se va formando de manera parcial.
La cuarta fase es la de la orientación libre. El campo de la investigación es casi conocido totalmente, pero el estudiante todavía debe de ser capaz de encontrar ahí su camino rápidamente. Esto se logra dándoles tareas que deban ser completadas de diferentes maneras. Toda clase de señales se colocan en el campo de la investigación: ellos muestran el trayecto hacia los símbolos.
La quinta fase es la de integración: el estudiante se orienta a sí mismo, pero debe todavía adquirir un panorama completo de todos los métodos que están a su disposición. Así que trata de condensar en un solo dominio lo que su pensamiento ha explorado. En este punto, el maestro puede ayudar con su trabajo elaborando compendios globales. Es importante que estos compendios no presenten a los estudiantes nada nuevo, deben ser un resumen de lo que el estudiante ya sabe solamente.
Al final de esta quinta parte un nuevo nivel de pensamiento se alcanza. El estudiante tiene a su disposición un sistema de relaciones que están relacionadas al dominio explorado completo. Este nuevo dominio de pensamiento, que ha adquirido su propia intuición se sustituye por el dominio que se tenía antes, el cual tenía una intuición completamente diferente.
La objetividad de las matemáticas descansa en el hecho de que los nuevos sistemas de relaciones son acordados entre diferentes personas. Los nuevos símbolos están ligados a las mismas relaciones por muchas personas. Si uno decide que el objetivo de la educación debiera ser unificar el sistema de relaciones, uno podría restringirse a que esto sea aprendido. Y el estudiante parecería entender el razonamiento perfectamente, ya que llegaría a conclusiones correctas basado en su sistema de relaciones. Pero esto no significa que él le adjudicará el mismo significado que su cuestionador. Este significado no se puede apartar del lenguaje usado, depende también de las experiencias que llevaron a la formación del sistema de relaciones, esto es, depende de lo que sucedió en un nivel de pensamiento más bajo.
Si uno no toma el contenido de los símbolos en consideración, sino sólo las relaciones, uno podría decir que desde un punto de vista matemático, todo es perfecto. El estudiante es capaz de manejar el sistema de relaciones de deducción sin errores. Pero desde un punto de vista pedagógico y didáctico, y desde el punto de vista social, ¡uno ha equivocado al estudiante! Uno ha cometido un error pedagógico porque uno ha robado al estudiante la ocasión de hacer real su potencial creativo. Desde el punto de vista didáctico, uno se ha negado a permitir que el estudiante descubra cómo explorar nuevos dominios de pensamiento por sí mismo. Finalmente, uno ha confundido a la sociedad porque ha provisto a los estudiantes con una herramienta que ellos pueden manipular solamente en situaciones que ya ha estudiado.
La teoría de los niveles de pensamiento lleva a las siguientes conclusiones importantes.
Uno ha sido capaz de ver que los niveles de pensamiento son inherentes al pensamiento mismo; así que no son solamente la preocupación de aquellos que se ocupan de la didáctica. Los niveles de pensamiento tienen, por ejemplo, una cierta importancia para las matemáticas mismas. Uno solamente puede expresarse claramente a sí mismo en matemáticas cuando uno usa los símbolos que pertenecen a su propio nivel. Si uno manipula funciones, es de poca importancia que estén definidos por la expresión f(x) o por la ecuación y=f(x). Uno aprende a reconocer la función mientras la usa y fuera de esta actividad fluye el contenido de la noción de función. Si uno se pregunta a sí mismo en un nivel más alto, las cuestiones de qué es una función, o que es lo que realmente está haciendo, uno llegará a la conclusión de que lo que está haciendo es aparear elementos x con elementos f(x). La función no se define por f(x), ni por y=f(x), sino más bien por la simbolización de emparejar que uno puede representar, si uno quiere, por f. Los errores resultantes de tratar una definición en un nivel más bajo de pensamiento, o de explotar una estructura contenida explícitamente en una actividad, antes de que se haya vuelto algo suficientemente familiar. Porque este intento está condenado al fracaso, uno se limita solamente a representar ya sea el resultado de la acción, f(x), o la acción misma, y=f(x). Este error no es solo didáctico, sino también teórico. (Este ejemplo lo tomé de una conversación con el profesor Freudenthal).
Uno comete un error análogo cuando uno trata de construir un sistema de axiomas usando símbolos que pertenecen a un nivel de pensamiento que es demasiado bajo. Los sistemas de axiomas pertenecen al cuarto nivel, donde uno de hecho ya no pregunta: ¿qué son los puntos, líneas, superficies, etc.? En este cuarto nivel, las figuras se definen por símbolos acotados por sus relaciones. Para encontrar su contenido apropiado es necesario regresar a los niveles más bajos donde el contenido de estos símbolos pueda ser percibido. Pero con este contenido, estos símbolos pertenecen a un sistema de relaciones que no puede ser axiomatizado porque no puede tener relación directa con la lógica.
Así como un niño aprende sólo aprende su lengua materna aplicando reglas gramaticales (que se deducen del uso común), él sólo aprende matemáticas aplicando reglas matemáticas. Estas reglas sólo se vuelven firmes, esto es, se hacen explícitas, cuando uno se cuestiona a sí mismo acerca de las actividades desplegadas en un nivel más bajo. Es de esta manera como todas las reglas se forman, aun las reglas de la lógica formal. La aplicación de reglas es importante, pero la regla de aplicación reside sobre todo en la exploración de nuevos dominios que están alrededor de aquellos para los cuales las reglas y las leyes pueden ser desarrolladas.
Dos o más personas pueden entenderse una a la otra en un área específica de pensamiento cuando usan un lenguaje en el cual experimentan las mismas relaciones entre los signos lingüísticos. La certeza de las matemáticas está basada en la manera infalible en que el lenguaje matemático puede ser usado. El “matemático sobre todas las cosas” puede estar muy contento con esto: EL LENGUAJE es todo para él, y a él poco le importa lo que representa un símbolo para los otros. (¡Piénsese solamente en la dualidad punto-línea en el plano proyectivo!)
No hay ningún problema desde el punto de vista algorítmico. Pero si uno está preocupado también por saber si el acuerdo seguirá ocurriendo cuando el campo de la investigación se amplíe, es deseable examinar hasta dónde los símbolos usados por los cuestionadores tienen una base común. No es suficiente entonces aprender los símbolos lingüísticos y sus relaciones, sino que será necesario iniciar con el mismo material del nivel más bajo y ver si uno tiene éxito, empezando desde ahí, para desarrollar los mismos dominios de símbolos de niveles más altos.
DESCRIPCIÓN DE UN CURSO DE GEOMETRÍA
La primera parte de un curso de geometría debería intentar alcanzar el primer nivel de pensamiento, a lo que nosotros llamaremos el aspecto de la geometría. El objetivo de la enseñanza es como sigue; figuras geométricas tales como cubos, cuadrados, rombos, rectángulos, círculos, etc., deben convertirse en ejemplos de sus propiedades. Un rombo ya no es más reconocido por su apariencia, sino, por ejemplo, por el hecho de que los lados son iguales o que sus diagonales son perpendiculares y se bisecan una a la otra, o por estas dos propiedades juntas.
Uno usa una colección de figuras geométricas concretas y materiales con los cuales los estudiantes puedan modelar algunas figuras. La manipulación que hacen los estudiantes con los materiales será la base de un nuevo sistema de relaciones en el proceso de formación.
La segunda parte del curso debe permitir alcanzar el segundo nivel de pensamiento, al que llamaremos esencia de la geometría o el aspecto de las matemáticas. El objetivo de la instrucción ahora es aprender las relaciones que ligan las propiedades de las figuras. Por ejemplo, la suma de los ángulos de un triángulo es 180 grados; los ángulos alternos internos formados por dos líneas paralelas y una transversal son iguales. Lo que es más, uno empieza, durante este periodo, a ordenar propiedades de figuras lógicamente. La primera propiedad que se menciona anteriormente se vuelve un antecedente de la siguiente: la suma de los ángulos de un cuadrilátero es 360 grados.
El material puede consistir de una serie triángulos o cuadriláteros congruentes con los cuales los estudiantes podrían tratar de construir un pavimentado. De nuevo aquí, los estudiantes aprenden a descubrir una estructura mientras manipulan algún material. En la construcción de un pavimentado a partir de triángulos congruentes, ellos ven los sistemas de líneas paralelas, paralelogramos, trapezoides, hexágonos con sus centros de simetría, etc. Este material sugiere más tarde de manera natural la necesitada línea auxiliar para demostrar que la suma de los ángulos de un triángulo es de 180 grados, usando el método de ángulos alternos internos.
La tercera parte del curso debe permitir alcanzar el tercer nivel, aquel del discernimiento en geometría, de la esencia de las matemáticas.
El objetivo de la enseñanza es ahora entender lo que significa un orden lógico (¿qué queremos decir por: una propiedad precede a otra propiedad?)
El material está hecho de los teoremas geométricos mismos. En el ordenamiento de estos teoremas algunas ideas se harán aparentes, por ejemplo: la liga entre un teorema y su inverso, por qué los axiomas y sus definiciones son indispensables, cuándo una condición es necesaria y cuándo suficiente. Los estudiantes ahora pueden tratar de ordenar nuevos dominios lógicamente, como por ejemplo cuando ellos estudian por primera vez el cilindro. El análisis de lo que ellos ven les mostrará que la superficie del cilindro contiene líneas y circunferencias. Después de haber establecido una definición, ellos serán capaces de tratar de probar la existencia de líneas y circunferencias.
Si el curso puede continuarse aún más (lo que es generalmente imposible en la educación general), el cuarto nivel debe ser alcanzado, el del discernimiento en matemáticas. El objetivo de enseñanza en este nivel sería analizar la naturaleza de la actividad del matemático y cómo difiere de la actividad desplegada en otras disciplinas. Uno no puede alcanzar este cuarto nivel hasta que uno está suficientemente familiarizado con los procedimientos de los matemáticos hasta el punto en que uno puede realizarlos automáticamente. Uno debe formar dentro de uno mismo asociaciones tales que un paso induzca el otro. Y es sólo cuando estos pasos pueden ser integrados que uno puede esbozar la estructura de la actividad matemática.
Pero una integración similar tiene lugar al tiempo de la transición entre un nivel de pensamiento y el siguiente. En el curso del paso del nivel básico al primero, la manipulación de figuras da lugar a la estructura. Esto nutre el pensamiento del primer nivel. Así que las figuras se convierten en nuevos símbolos definidos por sus relaciones con otros símbolos.
En el primer nivel el contexto es diferente del de nivel base. La acción desarrollada en este nuevo contexto estructura una integración que da acceso al segundo nivel y así sucesivamente.
El maestro que deliberadamente trata de llevar a sus estudiantes de un nivel a otro, los pone listos para desarrollar un nivel deductivo por ellos mismos y descubrir faltas en un argumento deductivo. Actuando de esta manera, el maestro no impone dominios donde el pensamiento debe ser practicado, sino que ayuda a los estudiantes a especificarlos por sí mismos. Esto no significa, como ha sido establecido anteriormente, que tenga que dejar al estudiante la tarea de descubrir todo, sino que debe pedir al estudiante algunas actividades particulares las cuales sean dirigidas de diferente manera en cada uno de los cinco niveles. La aplicación de estos principios seguramente no significa una iluminación de la tarea del maestro. Pero él tendrá la satisfacción de saber lo que está haciendo y de entender mejor las reacciones de sus estudiantes.
Enseñar un sistema deductivo requiere sobretodo paciencia. El sistema sólo existe hasta el tercer nivel de pensamiento y su esencia sólo se percibe hasta el cuarto nivel. Puede aparecer tentador el construir geometría de las transformaciones del plano, pero aquí una vez mas se tiene el objetivo de construir un sistema deductivo. Uno no debe confundir esta construcción con la elaboración del pensamiento geométrico. Si uno toma las transformaciones como un punto de partida, uno está suponiendo de antemano la existencia de un dominio pre-existente de pensamiento. Alguien que va demasiado rápido reduce su propio dominio de símbolos, con los niños, a símbolos intuitivos que pertenecen a un nivel mucho más bajo y que no tienen el significado que se les da. Bajo estas circunstancias, uno está formando tipos algorítmicos, esto es, mentes capaces de ejecutar algoritmos de una manera satisfactoria pero sin saber su contenido suficientemente. En este caso está enseñando el material sin el suficiente valor formativo.
Cuando uno dirige la enseñanza demasiado rápido hacia un sistema matemático de relaciones porque uno desdeña enseñar el sistema de relaciones geométrias, uno corre el riesgo de perder las matemáticas para siempre. Lo que uno obtiene es un sistema verbal de relaciones en el que nuevas operaciones son imposibles. Uno encuentra un ejemplo de tal error en la enseñanza de las fracciones en Holanda. En esta instrucción, un sistema verbal de relaciones se establece. Para la mayoría de los estudiantes, las operaciones con fracciones son completamente incomprensibles. ¡Si en la enseñanza los maestros reconocieran al menos que el sistema de relaciones de los estudiantes es más valioso que el de los maestros!
El corazón de la idea de los niveles de pensamiento descansa en el enunciado de que en cada disciplina científica, es posible pensar y razonar en diferentes niveles y este razonamiento requiere de distintos lenguajes. Estos lenguajes algunas veces usan los mismos símbolos lingüísticos, pero en tal caso estos símbolos no tienen el mismo significado, y están conectados de diferente manera a otros símbolos lingüísticos. Esta situación es un obstáculo para el intercambio de puntos de vista que tiene lugar entre un maestro y un estudiante acerca del contenido que se está enseñando. Puede ser considerado, quizás, el problema fundamental de la didáctica.
Actividad posterior a la lectura del capítulo
Después de leer la introducción de Clements y el artículo de Van Hiele responda a las siguientes preguntas.
- ¿Qué sabe ahora acerca del modelo de Van Hiele?
- Describa brevemente los niveles de aprendizaje descritos por van Hiele.
- Revise la secuencia didáctica que desarrolló antes de la lectura y rediséñela ahora a la luz de lo leído en este capítulo.
[1] En la edición de la que se tomó el artículo, éste va precedido por una introducción de Douglas H. Clements que se ha incluido también en esta presentación.
[3] Publicado originalmente en D. Fuys, D. Geddes and R. Welchman Tischler 81959/1985. English Translations of Selected Writings of Dina van Hiele-Geldof and Pierre M. van Hiele (pp. 243-52). ERIC/SMEAC.
