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Sáiz Roldán, Mariana (2009). Introducción a la antología sobre la enseñanza de la geometría y la medición. Disponible en http://matmarsarol.blogspot.mx/.Prólogo y Agradecimientos
Los
artículos reunidos en esta antología han sido algunas de las lecturas obligadas
para mis estudiantes de la línea Educación Matemática de la Maestría en
Desarrollo Educativo, la cua se imparte en la Unidad Ajusco de la Universidad
Pedagógica Nacional. Particularmente mis asesorados en el ‘Seminario de Tesis’
I a III.
Para
apoyar el trabajo de las alumnas y los alumnos de cinco generaciones
consecutivas, con quienes he tenido la suerte de trabajar, se volvió una
costumbre para mí leerles cada artículo en voz alta traduciéndolo al español,
mientras ellos grababan esta lectura y posteriormente la transcribían. De esta
manera, se fue formando una pequeña biblioteca de temas de la educación
matemática. Por problemas técnicos y de organización, ya que en un principio no
acostumbraba guardar estas transcripciones, o bien porque el cambio de
tecnología y el tiempo echaron a perder algunos archivos, esta antología no es
tan extensa como podría ser.
Al
darme cuenta de que yo volvía a traducir un mismo artículo una y otra vez,
decidí tener más cuidado y así recuperé parte de este acervo. La geometría y la
medición han sido siempre temas de mi interés y sobre los que he dirigido la
mayoría de las tesis de mis alumnos de la MDE; considerando que hay poca
bibliografía en español sobre estos temas, me di a la tarea de recuperar y
revisar estas transcripciones, aumentar algunas otras y reunir todas ellas en
la antología que aquí se presenta. Trabajo que pudo ser realizado gracias al
goce de un año sabático que tomé de febrero de 2009 a enero de 2010.
Quiero
entonces hacer patente mi agradecimiento a la UPN por esta oportunidad, así
como a todos los alumnos de la línea de todas las generaciones que han pasado
por aquí desde 1996. Todos han contribuido, si no a estas traducciones en
particular, sí a otras para aumentar el acervo al que ya he hecho referencia y
que espero seguir recuperando en futuras antologías y a quienes no puedo dejar
de mencionar. Gracias a (en orden de obtención del grado) Paty Nolasco, Zully
Cervantes, Natalia Hernández, Alfredo Bautista, Sara Arteaga, Francisco García,
Lourdes Rosales, Sandra Espinosa y Afrodita López.
Mariana
Luisa Sáiz Roldán
Introducción
Los
artículos reunidos en esta antología no son los únicos, ni los más importantes, que
existen acerca de los procesos de enseñanza y de aprendizaje de la geometría,
sin embargo son lecturas que he considerado imprescindibles para mis alumnos de
la Maestría en Desarrollo Educativo, además porque me gustan mucho y creo que
aportan consideraciones valiosas tanto a la práctica como a la teoría ya sea de
futuros maestros o de maestros en servicio o de investigadores del campo de la
Educación Matemática, particularmente de la geometría.
Los
artículos han sido agrupados en cinco categorías:
- Estados del arte: Hershkowitz y Owens
& Outhred
- Un referente reiterado: Van Hiele
- El punto de vista de la fenomenología
didáctica: Freudenthal
- Procesos de argumentación y prueba:
Monaghan, de Villiers y Jones
- Temas selectos de medición: Clements y Spiliatopoulou
Algunos
recordarán que los libros de texto de primaria solían llamarse ‘Aritmética y
Geometría’. Así, muchos crecimos con la idea de que las matemáticas tenían que
ver con números por un lado y con figuras por el otro. Desde 1974 los libros se
han llamado simplemente ‘Matemáticas’, pero todos, maestros y alumnos, saben que
dentro de los contenidos de esta materia los números y las figuras jugarán un
papel principal.
Aún
así, es posible que si preguntamos a alguien con un cierto grado de escolaridad
lo que entiende por matemáticas siempre se refiera a los números y deje en el
olvido a la geometría (por no hablar del álgebra y el cálculo, materias que
quizás nunca llegó a conocer). Esto no será gratuito, porque a pesar de que casi cualquier libro de texto para la educación primaria, desde los años 40 y
50, incluía temas tanto de aritmética como de geometría, lo común en las aulas
ha sido concentrarse en los números y olvidarse de la geometría. Esto ocurre, generalmente,
porque los programas son muy amplios y ya no queda tiempo para la geometría, cuyos contenidos no se consideran tan importantes como los números y sus operaciones.
La
reforma educativa de 1992 hizo un planteamiento novedoso y trajo a los libros
de matemáticas otros temas; además, alternó las lecciones en los textos de modo
que no quedaran para lo último los temas de geometría, medición y (lo poco que
se había incluido de) probabilidad, como era lo tradicional. La separación de la
medición de la geometría fue una novedad importante en los programas de 1992,
sobretodo si se considera que, de alguna manera, la medición es un vínculo entre
la aritmética y la geometría y porque es un tema relacionado con muchas
situaciones cotidianas que permiten motivar al alumno a aprender tanto geometría
como aritmética.
Actualmente[1] los
planes han cambiado y de nuevo se han reunido la geometría y la medición, con
la novedad de que se otorga un lugar especial a la geometría del espacio. El
caso es que la geometría se incluye en los programas de matemáticas de todos
los países y que México no es una excepción. Sin embargo, la enseñanza de la
geometría se limita por lo general a los temas de medición, o bien es impartida con
apoyo de los libros de texto, pero sin plena confianza en su propio dominio de
la materia, por parte de los maestros.
Los
textos que aquí se presentan no son una aportación directa a los problemas en
el aula. Casi no se encuentran recomendaciones didácticas en ellos; sin embargo,
las discusiones que abordan los artículos dan lugar a que el lector pueda
diseñar algunas secuencias, o tareas apropiadas, para los temas ahí revisados; o bien, permiten que el lector se apropie
de algunas herramientas teóricas que le permitirán seguir con más facilidad las
recomendaciones en libros de texto y otros materiales de apoyo.
Los
dos primeros artículos incluidos en esta antología son estados del arte sobre investigaciones acerca del
aprendizaje y la enseñanza de la geometría (incluyendo la medición), publicados
y presentados en las reuniones del PME[2]. El
primero de estos artículos se publicó en 1990 y el segundo en 2006; este último hace referencia al
primero y vuelve a comentar sobre algunos de los trabajos ya mencionados en el compendio de 1990; no obstante, creí conveniente incluir ambos, porque el de 1990 es un
clásico al que se hace referencia muy a menudo y el segundo por estar más actualizado.
En
tercer lugar he incluido un artículo donde Pierre van Hiele habla de su teoría.
Era imprescindible la inclusión de un escrito sobre el Modelo de van Hiele
pues, como se desprende de la lectura de los capítulos 1 y 2, este modelo es
tomado como referencia teórica, tal cual o con algunos ajustes, por muchos de
los investigadores reseñados. Desde mi punto de vista, incluir un artículo de
van Hiele mismo sobre su modelo me pareció muy conveniente. Además existe otra ventaja, pues incluyo la traducción de la presentación del trabajo de Van Hiele por parte de Douglas H. Clements,
otro investigador de la educación matemática, muy interesado en la geometría.
Los
capítulos 4 y 5 son del matemático, educador e investigador holandés Hans Freudenthal, pionero en ese país de una
manera de iniciar cualquier investigación en relación con los procesos de
enseñanza y de aprendizaje de las matemáticas. Freudenthal publica en 1983 un
libro (Didactical Phenomenology of
Mathematical Structures[3])
que reúne y sistematiza sus ideas acerca de un método que él denomina
“fenomenología didáctica”. Freudenthal crea este método porque considera que debe aplicarse a
cualquier concepto matemático que se desee estudiar, desde el punto de vista de
su enseñanza y/o su aprendizaje. En el libro él describe su método y cómo
llevarlo a cabo e incluye ejemplos de la fenomenología didáctica que él aplicó
a muchos conceptos matemáticos, incluidos en los programas de estudio de niveles
escolares diferentes. De estos capítulos, he seleccionado uno de los que se refiere a la geometría. En este capítulo Freudenthal critica el trabajo de Piaget y sus colaboradores; pero no es
ello lo que me motiva a incluirlo, sino la importancia de las ideas sobre la
geometría ahí contenidas. El otro capítulo es sobre la longitud, tema que él
mismo elige para ejemplificar su método de análisis. De modo que sirve para dos
fines, uno es comprender el método de “fenomenología didáctica” y otro conocer el
resultado de aplicar tal método al concepto de longitud. El legado y la influencia de Freudenthal en los
investigadores de la educación matemática es innegable y lo apropiado de sus
ideas se pone de manifiesto en los resultados académicos tan altos que ha obtenido y sigue obteniendo el país
en el que pasó su vida, Holanda. El modelo didáctico para la enseñanza de las matemáticas de ese
país está basado fuertemente en las ideas de Freudenthal.
Los
tres capítulos siguientes (6 a 8) tratan todos, de una u otra manera, sobre la
prueba en geometría. Un argumento frecuente a favor de la inclusión de la
geometría en el currículum de la educación básica es el que esta materia es un ejemplo de lo que es un sistema deductivo. Además, las nuevas
tendencias educativas señalan la importancia de que los alumnos aprendan a
argumentar sus razonamientos desde la escuela elemental. Así, los artículos
seleccionados se refieren a la clasificación de cuadriláteros y son reportes de
estudios que se llevaron a cabo con niños. El primer artículo es de Monaghan quien trabajó con
niños entre 6° grado de primaria y 1° de secundaria (12 años de edad). El segundo es de De Villiers quien investigó la clasificación de cuadriláteros por alumnos de 3° de secundaria a 3° de bachillerato (14 a 16
años de edad). Por último está el artículo de Jones quien utilizó un paquete de geometría
dinámica para su estudio. Además de los resultados de las
investigaciones reportadas, las aportaciones teóricas sobre los procesos de
argumentación y prueba, sobre las diferentes maneras de clasificar y sobre
otros temas de geometría son realmente enriquecedoras.
Para
finalizar, he colocado dos artículos sobre temas de medición en los capítulos 9
y 10; el primero sobre la longitud y el
otro sobre el volumen. El de longitud tiene un particular interés porque pone
en tela de juicio una recomendación común para la enseñanza de la medición, en
general, y de la longitud, en particular, en cuanto a que el orden para enseñar
el uso de unidades e instrumentos de medición debe ser: iniciar con unidades
arbitrarias y luego pasar a las unidades convencionales. Sin decir que este
método esté equivocado, el autor apunta a que seguir estas sugerencias al pie
de la letra puede llevar a aberraciones tales como prohibir a los niños que
usen sus reglas para medir, cuando a ellos esto los motiva más que el uso de las
unidades arbitrarias. El artículo sobre el volumen que incluyo no es el único
que existe sobre este tema, ya Piaget y Vergnaud y sus colaboradores han
presentado estudios por demás interesantes; sin embargo, el que aquí presento trata al volumen como un concepto no puramente geométrico sino ligado a las
ciencias (física, química, etc.) y estudia el efecto de esta situación en las concepciones
que los niños tienen sobre el tema.
No
he incluido aquí artículos o capítulos de libros que se han publicado en
español originalmente pues la idea era poner al alcance de los interesados en
estos temas, que no leen en inglés, una versión lo más respetuosa posible de trabajos de autores que han escrito en lengua inglesa. Por supuesto existen
materiales muy valiosos e interesantes publicados, especialmente por autores
españoles. Por ejemplo, puede revisarse la colección “Temas Matemáticos” de
Editorial Síntesis.
Cada capítulo incluido en la antología tiene una introducción e inicia con un conjunto de preguntas que recomiendo responder por escrito antes de iniciar la lectura. Al final de cada capítulo se incluyen algunas otras preguntas y se recomienda regresar a las preguntas iniciales, y sus respuestas, después de haber leído el capítulo, para observar si algo ha cambiado en su manera de pensar antes y después de la lectura.
Cada capítulo incluido en la antología tiene una introducción e inicia con un conjunto de preguntas que recomiendo responder por escrito antes de iniciar la lectura. Al final de cada capítulo se incluyen algunas otras preguntas y se recomienda regresar a las preguntas iniciales, y sus respuestas, después de haber leído el capítulo, para observar si algo ha cambiado en su manera de pensar antes y después de la lectura.
Espero
que este trabajo sea de utilidad, no sólo para los alumnos de nuevas
generaciones de la MDE, sino para otros lectores interesados en los procesos de
enseñanza y de aprendizaje de la geometría y la medición.
Invierno
de 2009-2010
México,
D.F.
[1] En 2009 el plan y los programas de estudio de la
educación primaria son cambiados para ajustarse a una reforma iniciada en la
secundaria durante el sexenio 2000-2006, las
matemáticas se estudian a lo largo de tres ejes: 1. Sentido numérico y
pensamiento algebraico, 2. Forma espacio y medida y 3. Manejo de la
información.
[2] PME son las siglas que se refieren a una parte
del nombre en inglés del International
Group for the Psychology of Mathematics Education (Grupo Internacional para la
Psicología de la Educación Matemática). Este grupo se reúne anualmente desde
hace más de 20 años, durante estas reuniones se presentan tres tipos de
trabajos: reportes de investigación, reportes breves y carteles. Los escritos
que acompañan estos trabajos son reunidos en antologías. Aproximadamente cada
década se hace un “manual” que consiste en una revisión de los reportes de
investigación presentados durante las reuniones y publicados en las memorias.
[3] Fenomenología Didáctica de las Estructuras Matemáticas.
