Citar como:
Hershkowitz, Rina (1990). Psychological Aspects of Learning Geometry in Naesher, Perla & Jeremy Kilpatrick (Eds.) Math and Cognition: A Research Synthesis by the International Group for the Psychology of Mathematics Education. Great Britain: Cambridge University Press. (Con la colaboración de David Ben-Chaim, Celia Hoyles, Glenda Lappan, Michael Mitchelmore y Shlomo Vinner).
Introducción al texto de Hershkowitz
En la investigación internacional en educación matemática la preparación y escritura de manuales (handbooks en inglés) que recuperan toda la investigación llevada a cabo sobre uno o varios temas o aparecida en memorias de congresos o desarrollada específicamente para reunirse en un libro o por otras razones es común. Estos manuales de investigación son muy útiles porque brindan panoramas generales acerca de los temas tratados y ofrecen información resumida de los avances logrados, las direcciones por dónde avanzar, las metodologías que se han usado y se pueden usar, los marcos teóricos en los que se han basado las investigaciones y otra información interesante acerca de las líneas de investigación de interés que en ellos se presenta.
El primer capítulo incluido en esta antología proviene del manual de investigación que sintetiza y analiza la investigación presentada en los congresos del PME[1] desde su fundación – a finales de los años 70 – hasta la publicación del manual en 1990. El manual está dividido en varios capítulos de acuerdo con diferentes temas que son de interés a la comunidad de la Matemática Educativa. El que aquí se presenta es el que corresponde a la Geometría.
Este artículo es un clásico como puede constatarse si se revisa la literatura internacional relacionada con la investigación acerca de los procesos de enseñanza y aprendizaje de la geometría y la medición.
Actividad anterior a la lectura
Antes de leer este capítulo responda por escrito a las siguientes preguntas.
1. ¿Para usted qué es la geometría?
2. ¿Le gusta la geometría?
3. ¿Conoce algunos problemas de los estudiantes con esta materia? Mencione algunos.
4. En su opinión ¿es importante el estudio de la geometría? ¿Por qué?
5. Mencione diez contenidos de la materia de geometría que usted haya estudiado en la escuela.
Aspectos Psicológicos del Aprendizaje de la Geometría
Rina Hershkowitz
Hay dos aspectos “clásicos” principales de la enseñanza y el aprendizaje de la geometría: considerar a la geometría como la ciencia del espacio o considerarla como una estructura lógica, donde la geometría es el ambiente en el que el aprendiz puede obtener un acercamiento a la estructura matemática (Freudenthal, 1973). En un nivel más avanzado, este ambiente de geometría adquiere un sentido más amplio, sin necesidad de tener como base un ambiente real.
Hay un consenso en cuanto a que estos dos aspectos están ligados porque algunos niveles de la geometría como ciencia del espacio son necesarios para aprender geometría como una estructura lógica. Este punto de vista –uno que ve las diferentes fases del aprendizaje de la geometría como un proceso de desarrollo– es intrínseco a la mayor parte del trabajo teórico, de investigación y de instrucción que se hace en la geometría y es el hilo conductor de las diferentes secciones de este capítulo.
Las varias fases del aprendizaje de la geometría dan lugar a diferentes clases de preguntas psicológicas. Si nuestra preocupación es la geometría como la ciencia del espacio en general, las preguntas preliminares son amplias, tales como:
· ¿Cómo perciben los niños su entorno ?
· ¿Qué clases de códigos se usan para procesar la información visual?
Las preguntas se estrechan si nos enfocamos en la visualización; por ejemplo:
· ¿Qué clase de habilidades visuales son necesarias para el aprendizaje de la geometría? En particular, ¿cómo es que los niños documentan su entorno y cómo interpretan esta documentación?; esto es, ¿cómo describen (verbal o visualmente) el mundo tridimensional, y cómo interpretan tal descripción?
Algunas de estas cuestiones se discuten en la sección que aparece más adelante sobre visualización.
Otra clase de pregunta está relacionada con los procesos de construir conceptos básicos (por ejemplo, las figuras geométricas principales) y la relación entre los elementos de un concepto y otros conceptos diferentes. Tales temas se discuten en la sección de conceptos y relaciones.
Los estudios dentro del dominio de la geometría como una estructura lógica dan lugar a preguntas acerca de la generalización y los procesos de prueba; este tema se discute en la sección de pruebas y conjeturas.
Los estudios dentro del dominio de la geometría como una estructura lógica dan lugar a preguntas acerca de la generalización y los procesos de prueba; este tema se discute en la sección de pruebas y conjeturas.
En los últimos años ha habido una cantidad considerable de investigación sobre la geometría en ambientes computacionales. Los fuertes elementos visuales provistos por la computadora, su potencial interactivo, y la manera en que los objetos visuales pueden ser manipulados fácilmente y vistos desde diferentes perspectivas atraen a muchos educadores matemáticos. La mayor parte del trabajo presentado en las reuniones del International Group for the Psychology of Mathematics Education[2] (PME) sobre este tema se han centrado en la enseñanza de la geometría y no en la computadora por sí misma. Hay un interés común en usar la interacción computadora-estudiante para crear situaciones de aprendizaje que faciliten la adquisición de destrezas visuales, conceptos geométricos específicos, o procesos de pensamiento. Por tanto, podemos ver las preguntas de investigación y tendencias al reflejarse en el “espejo” del ambiente computacional. Esta reflexión da lugar a temas relevantes sobre las preguntas que se han mencionado anteriormente, y presentan nuevos puntos de vista y nuevas áreas de investigación. Las contribuciones especiales de las computadoras se discuten en cada una de las secciones siguientes.
Con el fin de dar un significado global a la investigación y al trabajo de enseñanza descrito en este capitulo, empezamos con una discusión sobre algunos de sus antecedentes teóricos.
Sobre las teorías y la investigación basada en teorías
Podemos distinguir dos acercamientos principales en los cuales la investigación cognitiva se relaciona con la teoría. En el primero, el acercamiento basado en la teoría o de arriba para abajo, el foco de interés es la teoría que se supone que se debe confirmar o desaprobar. El contenido geométrico y las tareas que se seleccionan en estas investigaciones de arriba hacia abajo se escogen para que se acomoden al modelo teórico y no reflejan necesariamente el contenido común y los procesos involucrados en el aprendizaje de la geometría. El segundo acercamiento, de abajo para arriba, toma el contenido y la estructura a ser aprendidos como punto de inicio; el entendimiento y las explicaciones de las dificultades y los procesos de los estudiantes son su objetivo principal. De acuerdo con este acercamiento, la teoría no es la base del diseño de la investigación sino que es usada como una herramienta para explicar situaciones y resultados que han sido originados por la investigación, cuando la teoría encaja (Balacheff, 1987b). La investigación puede llevar al mejoramiento de teorías e incluso a la formulación de nuevas teorías parciales.
La distinción anterior entre estos dos acercamientos es en cierto sentido una sobre simplificación, y podemos encontrar investigaciones que están “entre” las dos. Sin embargo, la mayor parte de la investigación cognitiva en la actualidad, incluyendo la investigación en geometría por los miembros del grupo PME, toma el segundo acercamiento, mientras que el primer acercamiento prevaleció en los años anteriores. Así que la discusión en las siguientes secciones de este capítulo considera a las teorías y teorías parciales como herramientas de investigación y de enseñanza. En el resto de esta sección, sin embargo, discutimos algunas características de las teorías relevantes, seguido por ejemplos de investigación basada en la teoría.
Piaget
En su teoría sobre la concepción del espacio en el niño (Piaget e Inhelder, 1967) y la concepción de la geometría en el niño (Piaget, Inhelder y Szeminska, 1960), Piaget describió el desarrollo del espacio representacional de los niños. Esto se definió como la imagen mental del espacio real en el que el niño actúa, en el cual “la representación mental no es meramente un llamado al banco de memoria. Es la reconstrucción activa de un objeto en el nivel simbólico” (J. L. Martin, 1976 a , p. 28). Este proceso no es puramente perceptivo. En las palabras de Piaget:
La percepción es el conocimiento de los objetos resultante del contacto directo con ellos. En contra de esto, la representación o imaginación involucra la evocación de los objetos en su ausencia o, cuando corren en paralelo a la percepción, en su presencia. Ésta completa el conocimiento perceptual por medio de la referencia a objetos que no se están percibiendo en realidad. (Piaget y Inhelder, 1967, p.17)
De manera simplificada, podemos decir que Piaget estaba interesado, a su manera típica, en las transformaciones mentales del espacio real al espacio de representaciones del niño, en aquellos atributos de los objetos reales que son invariantes bajo estas transformaciones y en cómo estos cambiaban con la edad. De acuerdo con la teoría de Piaget, las transformaciones tempranas de los niños son aquellas que conservan atributos topológicos de los objetos (por ejemplo, interior y exterior de un conjunto, frontera de un conjunto, conexidad, y abertura y cerradura de curvas). Sólo más tarde el niño es capaz de transferir sus representaciones espaciales a los atributos euclidianos de los objetos (por ejemplo, la longitud de rectas y la medida de ángulos). El resultado de estas transformaciones euclidianas son los conceptos de conservación de la longitud, el área, el volumen y así sucesivamente. Es sólo en este punto que, de acuerdo con Piaget, el niño puede tener éxito con la medición y en tareas de un nivel más elevado.
La cantidad de investigación basada en la investigación piagetiana es muy grande y diversa. Algunos estudios (Dodwell, 1959; Lovell, 1959) dan soporte a sus teorías, mientras que otros (J. L. Martin, 1976b; Taloumis, 1975) proveen evidencia contradictoria.
Van Hiele
Mientras que la teoría de Piaget está relacionada principalmente con la geometría como una ciencia del espacio, la de Van Hiele combina la geometría como una ciencia del espacio y la geometría como una herramienta con la cual exhibir una estructura matemática. La teoría distingue niveles secuenciales del pensamiento geométrico (Freudenthal, 1973; Hoffer, 1983; van Hiele y van Hiele-Geldof, 1958; Wirszup, 1976; y muchas otras). Además, la teoría de van Hiele sugiere fases de instrucción que ayudan a los estudiantes a progresar a través de los niveles. Lo siguiente es una descripción breve de esos niveles (Hoffer, 1983; Usiskin, 1982).
· Primer nivel: Reconocimiento o visualización. El estudiante percibe conceptos geométricos en términos de su apariencia física; las figuras son reconocidas por su forma como un todo, no por sus propiedades.
· Segundo nivel: Análisis. El estudiante puede analizar las propiedades de las figuras.
· Tercer nivel: Orden. El estudiante puede ordenar las figuras y las relaciones lógicamente pero no opera dentro de un sistema matemático. De modo que, puede seguirse una deducción simple, pero no se comprende una prueba completa.
· Cuarto nivel: Deducción. El estudiante comprende el significado de la deducción y el rol de los diferentes elementos de una estructura deductiva. De aquí que, las pruebas puedan ser “reinventadas” por el estudiante o por lo menos entendidas.
· Quinto nivel: Rigor. El estudiante puede trabajar en una variedad de sistemas axiomáticos y es capaz de hacer deducciones abstractas. Por ejemplo, la geometría no-euclidiana puede ser comprendida.
Más tarde la teoría de van Hiele fue modificada y reducida sólo a tres niveles (van Hiele, 1987): el primero, el segundo y un tercer nivel que incluye más o menos a los otros tres niveles que se mencionaron anteriormente. Otras características de la teoría de van Hiele incluyen lo siguiente:
· La memorización no se considera característica de ningún nivel.
· El estudiante avanza de un nivel al siguiente sin saltarse ninguno.
· Los niveles son discretos y globales; esto es, el estudiante está en el mismo nivel en todos los contextos.
· Los estudiantes actuando en un nivel no pueden interactuar con o comprender la enseñanza en un nivel más alto.
· El desarrollo del pensamiento del individuo de un nivel al siguiente se debe a la enseñanza y a las experiencias de aprendizaje y no depende mucho de la madurez.
Es claro que la teoría de van Hiele toma como objetivo final del aprendizaje de la geometría la realización de la geometría como una estructura deductiva, con la geometría como ciencia de nuestro ambiente como un prerrequisito necesario.
La teoría de van Hiele, especialmente el modelo de niveles, ha atraído a educadores matemáticos e investigadores. La mayor parte de la investigación basada en el modelo de van Hiele se ha hecho en Estados Unidos. (Para el trabajo ruso de hace más de 20 años, ver Wirszup, 1976). Las hipótesis de que los niveles pueden ser identificados, son discretos, y forman una jerarquía han sido investigadas, y los aspectos de predicción del modelo han sido indagados. Además, se han hecho intentos de usar este modelo como base para la instrucción y los libros de texto.
La generalidad y globalidad del modelo de van Hiele son tanto su fortaleza como su debilidad. Con el fin de usarlo en la investigación o la instrucción existe una necesidad de establecer herramientas operacionales por medio de las cuales pueda ser determinado el nivel de pensamiento particular de un individuo. Así, en la mayor parte de la investigación y la instrucción basada en van Hiele, hay esfuerzos importantes para establecer tales herramientas (por ejemplo, la prueba de Usiskin, 1982, o las tablas de Hoffer, 1981).
Resultados de investigación han mostrado que en general los niveles crean la jerarquía descrita y encajan en el comportamiento geométrico de los estudiantes, con algunas excepciones:
· El lugar del nivel quinto de van Hiele en la jerarquía no está claro (Usiskin, 1982).
· La discreción y la globalidad de los niveles son dudosos, lo cual significa que un niño puede actuar en diferentes niveles en diferentes contextos e incluso puede cambiar de nivel dentro de la misma tarea (Burger y Shaughnessy, 1986; Gutiérrez y Jaime, 1987; Mauberry, 1983).
El último hallazgo lleva al asunto de un currículum basado en lo amplio contra otro basado en lo estrecho, esto es, hasta dónde introducir a los estudiantes a muchos conceptos geométricos y progresar en ellos en paralelo hacia el tercer nivel de van Hiele (aproximación usual) o introducir al estudiante en una colección estrecha de conceptos (por ejemplo: cuadriláteros), progresar hasta el tercer nivel, y después tratar otros conceptos. La cuestión ha sido discutida intensamente en el Grupo de Geometría de las reuniones del PME (Hershkowitz y Vinner, 1987). Esto requiere investigación y puede tener un rol importante en la planeación de la enseñanza de la geometría.
Un uso típico de la investigación tipo van Hiele ha sido determinar los niveles de una población. Por ejemplo, Mayberry (1983), Matos (1985), y Gutiérrez y Jaime (1987), estudiaron el desempeño de maestros de escuela elemental en formación en sus respectivos países y encontraron que ellos generalmente están en el segundo nivel de van Hiele.
Un ejemplo típico lo provee el trabajo de De Villiers y Njisane (1987). Ellos condujeron un estudio detallado con estudiantes de secundaria. Con el fin de hacer los niveles de van Hiele más operacionales, ellos desarrollaron su propia prueba. Los ítems fueron clasificados por rangos, desde los más sencillos, como indicar si los ángulos alternos de líneas paralelas son iguales o enlistar las propiedades de una figura como un paralelogramo, hasta ítems que requieren mayor interpretación de las definiciones formales y de las construcciones de pruebas formales. La mayoría de los ítems trataban con contenidos usualmente encontrados en el currículum de la secundaria. De Villiers y Njisane (1987) distinguen ocho categorías de pensamiento geométrico necesario para responder a estos ítems:
1. Reconocimiento y representación de tipos de figuras;
2. Reconocimiento de propiedades visuales;
3. Uso y entendimiento de la terminología;
4. Descripción verbal de las propiedades de una figura o su reconocimiento a partir de una descripción verbal;
5. Deducciones de un paso;
6. Deducciones más largas;
7. Clasificación jerárquica (relaciones de inclusión); y
8. Lectura e interpretación de definiciones dadas.
Sus análisis los llevaron a afirmar que las categorías 1 y 2 pertenecen al primer nivel de van Hiele, las categorías 3 y 4 al segundo nivel, y las categorías 5 y 6 al tercero. Ellos dudaron sobre cómo ver la categoría 7. De acuerdo con van Hiele la inclusión de clases es una relación entre conceptos y sus atributos y por lo tanto está en el tercer nivel. Pero de acuerdo con sus resultados, fue la más difícil. (El modelo reducido de van Hiele resuelve este problema). Como se esperaba, ellos encontraron que el porcentaje de estudiantes que contestan correctamente en un nivel dado se incrementa con el grado de escolaridad (¿madurez, experiencia, o ambos?) y decrece cuando el grado decrece[3].
Otro uso típico del modelo de van Hiele ha sido en la investigación hecha en el ambiente de aprendizaje de Logo. La lógica detrás de esta clase de investigación está basada en lo siguiente:
· La necesidad de tender un puente sobre la separación existente en el currículum entre el nivel de la geometría de la escuela elemental, y el nivel requerido para el aprendizaje de la geometría deductiva en la secundaria; aquí las secuencias de enseñanza basadas en el modelo de van Hiele parecen encajar muy bien.
· El hecho de que Logo puede ser usado como un ambiente para el aprendizaje de geometría de alto nivel y, por tanto, tiene el potencial para ser la base sobre la cual el puente necesario puede ser construido.
La cuestión general es hasta dónde la experiencia con Logo puede acelerar el desarrollo de los niños a través de los niveles de van Hiele. Por ejemplo, Scally (1986, 1987) usó una aproximación clínica con entrevista a modo de pre-tests y post-tests para grupos control y experimental, investigó cómo el ambiente Logo puede proveer experiencias de segundo y tercer niveles de van Hiele para estudiantes de noveno grado empezando con un curso de Logo en el primer y segundo nivel. Su trabajo involucró el desarrollo de una definición operacional de los niveles de van Hiele para el tema de ángulo, como base para el análisis de las entrevistas de los estudiantes. Ella analizó el desarrollo de los estudiantes, dentro de cada nivel y entre los niveles, y encontró que los estudiantes con experiencias de Logo ganaban más que los de grupo control.
Ludwig y Kieren (1985) investigaron, además de la cuestión anterior, una cuestión más simétrica, esto es, la relación entre el conocimiento geométrico construido de acuerdo al modelo de van Hiele y el uso de Logo. Ellos grabaron en vídeo el comportamiento de estudiantes de séptimo grado mientras aprendían las transformaciones geométricas con Logo. El análisis de los videos mostró una relación positiva: La experiencia de usar procedimientos de Logo como herramientas para representar ideas geométricas pareció facilitar el desarrollo de las ideas geométricas del primer nivel de van Hiele al segundo.
Visualización y el ejemplo de 3 Dimensiones ↔ 2 Dimensiones
La visualización se refiere generalmente a la habilidad de representar, transformar, generar, comunicar, documentar y reflexionar sobre la información visual. Fischbein (1987) discute la visualización y afirma que “muy frecuentemente el conocimiento intuitivo es identificado con la representación visual. Es una afirmación trivial que uno tiende naturalmente a pensar en términos de imágenes visuales y que aquello que no puede imaginarse visualmente es difícil de realizar mentalmente” (p. 103). Él continúa argumentando que
las representaciones visuales contribuyen a la organización de la información en representaciones sinópticas y por tanto constituyen un factor importante de globalización. Por otro lado, la concreción de las imágenes visuales es un factor esencial para crear la sensación de auto-evidencia e inmediatez. Una imagen visual no sólo organiza los datos a la mano en estructuras significativas sino que es también un factor importante que guía el desarrollo analítico de una solución. (p. 104)
Existe un acuerdo general en cuanto a que la visualización es importante no sólo en sí misma, sino también porque el tipo de procesos mentales involucrados en ella son necesarios para, y pueden ser transferidos a, otras áreas de las matemáticas (ver por ejemplo, Bishop, 1989). Este acuerdo general apoya la línea de pensamiento expresada por Fischbein y es especialmente relevante, por supuesto, para la geometría, en la cual los elementos visuales forman parte de los “bloques de construcción”. Bishop (1983) distingue entre “la habilidad para procesamiento visual (VP)” y la “habilidad para interpretar información figural (IFI)”. Él describió (VP) como una habilidad que involucra “la visualización y la traslación de relaciones abstractas e información no figural a términos visuales” (p. 184). Si seguimos la distinción de Bishop, podemos clasificar la investigación sobre la visualización de manera general dentro de la investigación sobre el procesamiento visual del dominio visual mismo y en la investigación del procesamiento visual de los dominios no visuales.
En este capítulo, estamos interesados en la visualización en relación con el aprendizaje de la geometría, el cual es en cierto sentido el procesamiento visual del dominio visual mismo. En esta sección discutimos algunas habilidades visuales que parecen cruciales en el aprendizaje de la geometría. En las siguientes secciones discutiremos el rol de la visualización en procesos de adquisición de conceptos y en procesos geométricos de un nivel más alto. Para una revisión de la visualización en sí misma y la relación entre visualización y enseñanza de las matemáticas en general ver Bishop (1980, 1989).
Al tratar de investigar cómo es percibido e interpretado el espacio por los individuos, los investigadores usan un amplio rango de tareas visuales y mediciones, por ejemplo las relaciones en los dos sentidos entre los objetos tridimensionales (3D) y sus representaciones en dos dimensiones (2D), el doblado de papel, y encontrar figuras empotradas. En particular, la transformación de 3D a 2D, que es una habilidad muy necesaria en el aprendizaje de la geometría y sus aplicaciones, ha atraído a muchos investigadores (Bem-Chaim, Lappan, y Houang, 1985; Bessot y Eberhard, 1986; Bishop, 1978, 1979; Burton, Cooper y Leder, 1986; Cooper y Sweller, 1989; Gaulin, 1985; Mitchelmore, 1980 a , 1980b, 1983; Mukhopadhyay, 1987). Una de las dos direcciones, la de dibujar objetos tridimensionales, ha sido investigada extensivamente y ha reportado dificultades serias. Por ejemplo, Mitchelmore (1980 a ) definió niveles de desarrollo para esta habilidad y los usó para clasificar los dibujos espontáneos de cuerpos 3D hechos por niños. La mayoría de los sujetos estaban en un nivel muy bajo. La investigación de Bem-Chaim, Lappan y Houang (1989) es otro ejemplo típico de esta clase de trabajo. Ellos investigaron la habilidad de los adolescentes para comunicar información visual usando la Tarea de Descripción de una Construcción, que consiste de una construcción hecha de diez pequeños cubos pegados juntos. A los estudiantes se les pidió describirla a un amigo ausente. Los intentos de los estudiantes fueron clasificados por el modo de representación usado (verbal, mixta, gráfica). Se encontró que los estudiantes tenían gran dificultad en comunicar exitosamente la información visual. Los varios intentos para describir las construcciones 3D ejemplifican problemas que los niños tienen al representar objetos 3D. La Figura 1 muestra algunos de los dibujos obtenidos por Bem-Chaim et al. (1989). La Figura 1a) fundamenta los hallazgos de Mitchelmore (1983) acerca de que los niños tienen problemas para representar líneas paralelas y perpendiculares. Las Figuras 1b) y 1c) ejemplifican problemas que están relacionados con la percepción de la profundidad en los dibujos de vistas de una construcción. Vale la pena notar que las descripciones de los estudiantes quedaron repartidas equitativamente entre los tres modos de representación. Burton et al. (1986) encontraron que, en una tarea similar, la mayoría de maestros en formación produjeron descripciones verbales.
La dirección opuesta, esto es, la interpretación de dibujos para llevarlos a objetos 3D es muy importante en nuestro mundo moderno, en el que obtenemos gran parte de la información de nuestro mundo tridimensional a través de medios de dos dimensiones. Esta dirección ha sido menos investigada. La línea principal de investigaciones ha sido la de describir cómo los estudiantes se mueven a partir de dibujos 2D a dibujos en cuasi-perspectiva, que son supuestamente internalizados de la misma manera que las estructuras 3D (Metzler y Shepard, 1974). Se encontró que esta dirección es también muy difícil (por ejemplo, Bem-Chaim, Lappan, y Houang, 1988). Burton et al. (1986) encontraron que en la interpretación, los maestros en formación prefieren descripciones visuales de estructuras 3D que descripciones verbales.
Figura 1. Dibujos de construcciones con bloques hechos por niños (tomado de Ben-Chaim, Lappan, & Houang, 1989, págs. 132, 137, & 138). Arriba de 1b dice: “frente; ←éste va atrás; ←éste queda un bloque de fuera. Arriba de 1c dice: yo sólo puedo ver 6 bloques frente a mí pero hay más atrás de ellos”.
La computadora introduce una dimensión dinámica en la investigación en visualización porque las representaciones de formas 3D y 2D en la pantalla pueden ser manipuladas y transformadas de muchas maneras. Además, la computadora permite al investigador examinar micro-etapas de la conducta del estudiante. Por ejemplo, Osta (1987) usó dos programas comerciales: MacSpace, en el cual las operaciones pueden ser hechas sobre objetos 3D representados en la pantalla, y MacPaint, en el cual las operaciones pueden ser hechas solamente sobre figuras de 2 dimensiones. Ella creó secuencias de instrucción de situaciones problema en las cuales los estudiantes tenían que modificar transformaciones 2D hechas en diseños figurativos para realizar las transformaciones 3D en los objetos representados y viceversa. La computadora pone algunas restricciones que estimulan al estudiante a usar propiedades geométricas de los objetos y no sólo información perceptiva. Osta analizó las estrategias de resolución de estudiantes de 8° y 9° grado y encontró que éstas tienden a ser de desarrollo. Al principio, el trabajo de los estudiantes era local, en referencia con partes pequeñas de una figura completa y resolviendo las tareas con medios perceptivos solamente. Con la experiencia en tales situaciones de resolución de problemas y con el progreso que hicieron en las secuencias de instrucción, los estudiantes empezaron a considerar criterios más globales y se dieron cuenta que los medios perceptivos son ineficientes y que, por lo tanto, es mejor usar propiedades geométricas de cuerpos 3D.
La investigación de tipo 3D ↔ 2D da lugar a preguntas como las siguientes:
· ¿Cuáles son los factores que influyen en la descripción y la interpretación de dibujos de figuras 3D?
· ¿Pueden estas habilidades de visualización ser adquiridas o mejoradas por un entrenamiento explícito?
· Si es así, ¿qué es lo que se debe incluir en el currículum, y cómo puede esto ser enseñado?
Respecto a la primera pregunta, hay mucha evidencia de que los factores de la cultura, la experiencia y la familiaridad con las convenciones para transformar formas 3D a sus representaciones en 2D y viceversa tienen efectos considerables en el dibujo e interpretación de formas 3D. Los tres factores están ligados: Las convenciones pueden ser consideradas como elementos del “lenguaje” formulado por la cultura para expresar y representar el espacio. El ganar experiencia es ganar más efecto cultural. Pero diferentes investigadores relacionan de manera diferente estos factores. El estudio de Mukhopadhyay (1987) provee un ejemplo del efecto de la cultura y la experiencia. Ella llevó a acabo un experimento en una situación de convención libre. Preguntó a niños de entre 8 y 12 años en una población aislada de la India, que casi no tenían escolaridad y no habían sido expuestos a las convenciones de representación comunes en la cultura Occidental, que representaran algunos cuerpos sólidos que se les mostraban. Ella encontró que su habilidad para la representación visual estaba relacionada a su entrenamiento como aprendices en la ocupación de la familia (su cultura). Así, los niños que hacían cerámica, que trabajaron con sólidos tridimensionales, producían representaciones en tres dimensiones más complejas que los tejedores o los granjeros (ver Figura 2).
La investigación presentada da lugar a una segunda cuestión: ¿Hasta qué grado puede una intervención dirigida por una instrucción mejorar las habilidades para las transformaciones 3D↔2D? La pregunta es importante (Gaulin, 1985) pero no sencilla. Bishop (1989) cita a Lean sobre el resultado en cuanto a que estas “habilidades visuales (involucradas en IFI) son susceptibles de ser entrenadas si se da la experiencia apropiada” (p. 12).
El trabajo de investigación (como el de Osta, 1987) ha dado ejemplos de experiencias de aprendizaje a través de las cuales los niños pueden adquirir un desarrollo significativo de las habilidades de transformación de 3D↔2D. Sin embargo hay evidencia que muestra que el efecto de las intervenciones de instrucción es limitada. Por ejemplo, Bem-Chaim et al. (1988) investigaron el efecto del entrenamiento directo. La unidad de instrucción ofrecía experiencias concretas con construcciones de cubos y sus representaciones en dibujos 2D. Los investigadores concluyeron que “los estudiantes entre quinto y octavo grado mejoraron considerablemente a partir de la instrucción, y que la ganancia fue similar para niños y niñas sin importar sus diferencias sexuales” (p.51). A pesar de que la instrucción incluía representaciones de y familiaridad con las convenciones de dibujo para formas 3D y sus interpretaciones, el desempeño de los estudiantes en la misma clase de preguntas fue, de cualquier manera, correcto solamente de forma moderada.
La tercera cuestión –qué incluir en el currículum y cómo debe ser enseñado– también es crucial. Los siguientes son algunos intentos para tratar esta cuestión. En Holanda una nueva unidad visual ha sido desarrollada. El fundamento fue que las situaciones demostradas por los maestros o por los libros de texto, que se basan en habilidades de transformación de 2D↔3D, generalmente se restringen a dibujos o procedimientos estereotipados (¿nuestras convenciones usuales?) y que deben ser ampliadas incluyendo un entendimiento más crítico de los dibujos y de los procesos interpretativos (Goddijn y Kindt, 1985). El currículum propuesto incluye muchas clases de técnicas: comparación entre lo lejano y lo cercano en el mundo real, con lo grande y lo pequeño en el dibujo, puntos que desaparecen en el horizonte, cubrimiento de objetos, líneas escondidas, líneas que se alejan, sombrear, imaginarse uno mismo estando en un lugar sugerido, vistas de frente, lado, y desde arriba, y así.
Otro proyecto de tipo holístico, que va más allá de los ejemplos de pasar de 2D↔3D es el Proyecto Agam (Razel y Eylon, 1986). Es un programa general y básico en educación visual para niños de 3 a 7 años. El fundamento es que dentro del currículum de la escuela regular no se ha hecho ningún esfuerzo por desarrollar habilidades visuales a pesar de su importancia. Este proyecto trata de llenar este hueco enseñando sistemáticamente conceptos visuales básicos que pueden ser usados como un lenguaje visual. Un estudio que acompañó a la implementación del Proyecto Agam muestra un mejoramiento significativo en ambos: las habilidades visuales y el conocimiento geométrico.
La discusión anterior sobre visualización y los ejemplos de 3D↔2D se relacionan con los aspectos positivos de la visualización. La única crítica que se pone a discusión es lo que tiene que ver con las convenciones culturales. El valor de usar convenciones como elementos del lenguaje para comunicar información espacial tiene una doble cara. Por un lado nosotros necesitamos estos elementos lingüísticos para comunicarnos y para desarrollar nuestro pensamiento visual. Por lo tanto, siempre hay esfuerzos para crear más elementos lingüísticos para representar el mundo físico y para procesar información visual. El lenguaje visual en el Proyecto Agam es un ejemplo de tal esfuerzo, otro ejemplo es la notación del movimiento[4] creado por Eshkol y Wachman (1973), que es el lenguaje del movimiento del cuerpo humano en el mundo tridimensional. Por otro lado, en cada desarrollo lingüístico hay arbitrariedades. Los desarrolladores (individuos o culturas) eligen (crear) los “ladrillos” del “lenguaje”, y su elección no es la única posible para construir un lenguaje relacionado con una habilidad dada. El uso de un número limitado de elementos lingüísticos fijos puede, por lo tanto, poner algunas limitaciones al desarrollo de esta habilidad. Un ejemplo extremo en reacción a este “sentimiento de limitación” es el trabajo de los artistas a través de los años que ha roto los límites de lo que se acepta como convenciones visuales de su época.
Más allá de las limitaciones visuales inducidas por el uso de convenciones resultantes de la cultura, hay limitaciones visuales inducidas por la mente individual, tales como las limitaciones perceptivas. Estas limitaciones se discuten en las siguientes secciones.
Conceptos geométricos básicos y relaciones
Incluimos en este encabezado aspectos cognoscitivos de los procesos de aprendizaje de los conceptos geométricos básicos (por ejemplo, ángulos, cuadriláteros y triángulos), relaciones tales como la inclusión, conceptos de nivel superior (como la semejanza y la simetría), y la medición geométrica.
Conceptos básicos
Ha habido mucha discusión en las reuniones del PME acerca de la distinción entre el concepto —el concepto como se sigue de su definición matemática— y la imagen concepto— el concepto como se refleja en la mente del individuo, esto es, el producto de los procesos de formación del concepto en la mente (Vinner, 1983). El objetivo de la investigación es seguir el desarrollo del concepto imagen en la mente del individuo (o de una población), donde el concepto provee el marco de referencia contra el cual este desarrollo se compara y examina. Con el fin de entender mejor cómo el estudiante construye imágenes-concepto geométricas y los factores que tienen influencia en este desarrollo, un análisis de los conceptos y de su estructura matemática es necesario. La mayoría de las estructuras de los conceptos básicos puede ser considerada como conjunción. Por ejemplo, un triángulo isósceles puede ser visto como una conjunción de los siguientes atributos relevantes: (i) un triángulo (ii) tiene dos lados (iii) que son iguales. (Un triángulo es también una conjunción, pero en un nivel en el que usualmente se define y aprende acerca de triángulos isósceles, es tomado como un solo trozo). La relación matemática entre los elementos de un concepto matemático puede ser descrita en el esquema que se muestra en la Figura 3.
El concepto se deriva de su definición matemática y por lo tanto tiene atributos relevantes (o críticos) (esos atributos que un espécimen debe tener para poder ser ejemplo del concepto) y atributos no críticos (esos atributos que solamente algunos de los ejemplos del concepto tienen). Usualmente, la definición verbal incluye en sí misma un conjunto mínimo de atributos relevantes suficientes para definir el concepto. La definición, por tanto, puede ser considerada un criterio para clasificar especímenes como ejemplos positivos o negativos del concepto. Los ejemplos negativos (no ejemplos) que son relevantes a la formación de conceptos y a la instrucción son aquellos que tienen algunos, pero no todos los atributos relevantes. Otra característica estructural puede ser llamada “dirección opuesta a la relación de inclusión” (Hershkowitz, 1987, p. 240) entre conjuntos de ejemplos (conceptos por sí mismos) por un lado, y sus conjuntos de atributos por el otro. Por ejemplo, el conjunto de los cuadrados está incluido en el conjunto de los paralelogramos, que está incluido en el conjunto de los cuadriláteros. Pero si miramos a los conjuntos de atributos críticos de cada uno de los conjuntos anteriores, obtenemos una relación de inclusión en la dirección opuesta.
Figura 3. Relaciones entre los elementos de un concepto
Además de las características de la estructura anterior, que no es exclusiva de los conceptos geométricos, los ejemplos, los ejemplos negativos relevantes, y los atributos de los conceptos básicos en geometría son entidades visuales. Esta característica les da un sabor de concreción, lo cual es una ventaja para ser considerados como sujetos apropiados para la investigación psicológica sobre la formación de conceptos (ver la revisión de formación de conceptos matemáticos en general por Sowder, 1980). Esta clase de investigación indaga frecuentemente una cadena, o cadenas de la estructura anterior, que son comunes a la formación de conceptos en general.
Nuestra preocupación aquí son los procesos cognitivos que caracterizan la construcción de los conceptos geométricos básicos mismos. Es claro que aun cuando algunos de ellos pueden ser definidos de manera estructural fácilmente en términos de sus atributos, ejemplos y no ejemplos, y cosas así, como hicimos arriba, estos términos no son suficientes para describir el desarrollo cognitivo de las imágenes concepto en la mente. Mencionemos pues algunas características principales de este desarrollo sugeridas por los resultados de investigación.
El fenómeno del prototipo
Vinner y Hershkowitz (1983) y Hershkowitz, Vinner, y Bruckheimer (1987) investigaron los conceptos-imagen de conceptos geométricos básicos de estudiantes (de 5° a 8° grados) y maestros. Los conceptos y tareas fueron tomados al azar de los programas de la escuela. Los investigadores encontraron que cada concepto tiene uno o más ejemplos prototípicos que son alcanzados primero y que por lo tanto existen en la imagen concepto de la mayoría de los sujetos. Los ejemplos prototipo usualmente eran el subconjunto de ejemplos que tenían una lista de atributos “más larga” —todos los atributos críticos del concepto y aquellos atributos específicos (no críticos) que tenían una característica visual más fuerte: por ejemplo, el triángulo rectángulo parado, los lados y ángulos iguales de un cuadrado como ejemplo de un cuadrilátero, las alturas interiores de un triángulo, y las diagonales interiores de un polígono. Estos hallazgos están de acuerdo con otros estudios (ver en particular Rosch y Mervis, 1975, quienes investigaron intensivamente el fenómeno del prototipo en un contexto no geométrico). Además, Vinner y Hershkowitz encontraron que aun en conceptos formados instantáneamente, donde se daba un concepto inventado por medio de una definición verbal sin presentar ni siquiera un ejemplo, la mayoría de los sujetos (estudiantes y maestros) produjeron los mismos ejemplos prototípicos.
El prototipo es la base del juicio prototípico. Para cada concepto, los individuos usan un ejemplo prototípico como un modelo en su juicio de otros casos. Fischbein (1987) llama esta clase de juicio “la naturaleza paradigmática del juicio intuitivo” (p. 143). El estudio de Wilson (1986) ilustra tal juicio paradigmático. Ella investigó “las relaciones entre las definiciones de rectángulos hechas por niños y lo que elegían como ejemplos” (p. 158), pidiendo a los sujetos que definieran el concepto, identificaran ejemplos adicionales del concepto, y que reaccionaran a algunos enunciados concernientes al concepto. Ella encontró que los estudiantes escribían definiciones que ellos no aplicaban al elegir los ejemplos o reaccionar a los enunciados. La elección de ejemplos de los estudiantes se basaba más en sus propios prototipos y menos en sus propias definiciones.
Hay dos tipos de juicio prototípico (Vinner y Hershkowitz, 1983):
· Tipo 1. El ejemplo prototípico es usado como marco de referencia y el juicio visual se aplica a otras instancias (primer nivel de van Hiele). Por ejemplo, en la construcción de la altura de un triángulo dado, los sujetos fallaron al dibujar ejemplos de alturas que contradecían su imagen concepto prototípico de una altura interna y dibujaban algunos segmentos internos que no eran alturas.
· Tipo 2. El ejemplo prototípico es usado como marco de referencia, pero el sujeto basa sus juicios en los atributos propios del prototipo y trata de imponerlos a otros ejemplos del concepto. Cuando esto no funciona, el sujeto no acepta la figura como un ejemplo del concepto. Por ejemplo, se encuentra el razonamiento. “Ninguna figura, excepto el cuadrado, es un cuadrilátero porque ellas pueden tener lados iguales, pero no tienen ángulos iguales”. En un sentido, esto es analítico (segundo nivel de van Hiele) pero es un comportamiento erróneo.
El fenómeno del prototipo y el juicio prototípico, en mayor parte, parecen ser un efecto de los procesos visuales. Los atributos irrelevantes del prototipo tienen usualmente fuertes características visuales y, por lo tanto, son alcanzados primero y actúan como distractores. Otro tipo de juicio es discutido en el siguiente párrafo.
Características analíticas
Existe evidencia en cuanto a que la adquisición de conceptos geométricos es un resultado de características lógico-analíticas, al menos parcialmente. Algunos ejemplos son los siguientes:
· Juicio de Tipo 3. Además de los dos tipos de juicio prototípico que mencionamos arriba, el juicio analítico correcto es también común (Hershkowitz y Vinner, 1983). Este tipo de razonamiento se basa en los atributos críticos del concepto. Por ejemplo, la Figura 4 “no es un cuadrilátero porque no es cerrado, por lo tanto no es un polígono, y cualquier cuadrilátero es un polígono”. La frecuencia de este tipo de razonamiento, que también muestra un entendimiento de la estructura de clase de inclusión, es muy baja en grado 5° pero se incrementa dramáticamente de 5° a 7° grado. Al mismo tiempo, la frecuencia del juicio visual (Tipo 1) es baja pero no desaparece completamente, incluso entre maestros, y la frecuencia del tipo prototípico (Tipo 2) decrece y desaparece completamente para los maestros.
Figura 4. Figura estímulo para una tarea de juicio
- · El número de atributos relevantes en la estructura conjuntiva del concepto tiene un efecto significativo en el desempeño cuando se realiza la tarea (Hershkowitz, 1989).
- Los niños, al menos los de grado 5° en adelante, pueden construir imágenes-concepto muy ricas y correctas por estrategias analíticas. Por ejemplo, cuando la definición del concepto se les da verbalmente y a los sujetos se les pide usarla para identificar o construir ejemplos del concepto, o cuando un nuevo concepto es formado a través de la secuencia de ejemplos de conceptos positivos y negativos en los que el aprendizaje por ensayo y error es modificado por una retroalimentación inmediata y da lugar a la prueba de conjeturas y por lo tanto al descubrimiento de los atributos críticos (Hershkowitz et al., 1987; Wilson, 1986).
Existe alguna evidencia en cuanto a que la construcción del concepto-imagen es una mezcla de procesos visuales y analíticos. Por ejemplo, el comportamiento de los sujetos cambió de un concepto a otro: los estudiantes y los maestros que mostraron un comportamiento analítico (Tipo 3) en una tarea de cuadriláteros fallaron al identificar triángulos rectángulos no-prototípicos.
Hay más características de la construcción de conceptos básicos, como las siguientes:
· Un orden jerárquico en la adquisición de ejemplos del concepto (empezando con ejemplos prototípicos y continuando con otros, ya sea por procesos visuales o por analíticos o por ambos) comunes a la población general y que progresan con la experiencia.
· Existen diferentes tipos de patrones de concepciones erróneas dentro de la misma población: (a) concepciones erróneas que duran, las cuales tienen el mismo patrón de incidencia general de un grado al siguiente, y para estudiantes, maestros de pre-servicio y en servicio (por ejemplo, la dificultad de identificar triángulos-rectángulos no prototípicos); (b) concepciones erróneas que decrecen con la adquisición del concepto, como era de esperarse (por ejemplo, el juicio prototípico del Tipo 2); y (c) concepciones erróneas que se incrementan con la adquisición de conceptos, las cuales se van desarrollando con el progreso en el aprendizaje (por ejemplo, la imagen concepto de la altura como un segmento interior).
Implicaciones para la enseñanza
Los niños se enfrentan a conceptos geométricos básicos, ya sea en una forma estructurada a través de sus experiencias en la escuela o no estructurada por lo que lo rodea, sus padres, juegos y así. Las principales características de las estrategias de enseñanza en estas situaciones son: (a) carencia de completitud, en donde sólo algunos de los ejemplos y atributos se presentan; (b) falta de conciencia así como ausencia de conocimiento sobre la existencia de más elementos (Hershkowitz et al., 1987) por parte de la maestra o incluso del libro de texto; (c) carencia de conciencia de las dificultades de los estudiantes y de las concepciones erróneas al construir los conceptos; y (d) generalización de los atributos dados (si es que se dan) del concepto (definiciones) por el maestro o el libro, con al aprendiz visto como un receptor pasivo.
¿Cómo podemos mejorar la instrucción de los conceptos geométricos básicos? Por supuesto, es deseable para los estudiantes que desarrollen habilidades analíticas y basen sus juicios en atributos críticos (definiciones) y superen la no completitud y las concepciones erróneas con respecto al razonamiento geométrico que provienen del pensamiento visual por sí mismo. Las estrategias analíticas que se mencionaron anteriormente pueden ser estimulantes en la construcción del pensamiento analítico, y no debemos subestimar las habilidades analíticas de los estudiantes. Estas estrategias, en las cuales los atributos críticos y los ejemplos positivos y negativos (los errores de los estudiantes pueden ser usados para generar ejemplos relevantes negativos) son usados en diferentes formas vívidas, son también muy útiles en la educación de maestros en servicio (Hershkowitz et al., 1987). Pero no debemos usar estas estrategias demasiado prematuramente, porque los niños en etapas tempranas crean sus propias imágenes concepto principalmente de manera visual.
¿Cómo puede la formación de una imagen-concepto visualmente-limitada prevenirse en esta etapa visual? La respuesta a esta pregunta cubre un rango completo entre dos puntos de vista extremos. Un extremo, como en los estudios rusos (por ejemplo, Zykova, 1969), tiende a imputar esta carencia a la experiencia visual limitada que ofrecemos a los estudiantes en los materiales de enseñanza y a los métodos y supone que, enriquecer la experiencia de lo visual evitaría completamente tales limitaciones visuales. En el otro extremo, se atribuye la carencia a las limitaciones de nuestra propia percepción; esto es, los individuos “imponen” sus propias limitaciones visuales en su imagen concepto, independientemente de la riqueza de los ejemplos a los que hayan sido expuestos y, por lo tanto, siempre se tendrán imágenes-concepto limitadas. Sugerimos que la respuesta puede estar entre los dos extremos. Sin embargo, tenemos que proveer un ambiente de aprendizaje que sea tan “rico” como sea posible.
El siguiente ejemplo muestra la contribución que puede tener una interacción dinámica con la computadora para superar el efecto de la orientación en la imagen concepto. Shelton (1985) usó un programa de computadora con el cual niños de 2 a 6 años producían sucesiones al azar de ejemplos de triángulos isósceles o triángulos rectángulos de diferentes formas y orientaciones. Después de la interacción, la mayoría de los niños estaba libre de los prototipos de triángulos parados y generalizaron su imagen-concepto a triángulos que incluían todo tipo de formas triangulares y orientaciones. Así que un ambiente de aprendizaje dinámico y rico superó las limitaciones perceptivas. El software geométrico como el Cabri Géomètre (Baulac, Bellemain y Laborde, 1988), en el que una figura dada se puede re-dibujar continuamente cuando el estudiante la mueve alrededor de uno de sus componentes tiene un gran potencial para proveer tal ambiente.
Otra pregunta interesante relacionada con el aprendizaje y la relación entre el concepto y sus atributos es propuesta por Harris (1987). Ella enseñó a niños acerca de las figuras geométricas usando atributos de la vida diaria. Después trasladó el énfasis de los atributos regulares a atributos mas “útiles” (por ejemplo, el atributo más útil de los rectángulos en la fabricación de cajas de cartón es que ellos teselan[5]). ¿Cómo puede esta progresión ser representada en los procesos de formación de conceptos?
Logo y los conceptos geométricos básicos
Una cuestión muy compleja es, ¿cuál es efecto de programar en un “lenguaje geométrico” como Logo y la formación de un concepto y viceversa? Para estudiar tal cuestión, tendríamos que tomar en cuenta relaciones tales como procedimiento a figura, figura a procedimiento y subprocedimiento a subfigura (Hillel, 1986). La investigación ha indicado que Logo puede ser usado para diseñar ambientes geométricos ricos en los cuales los niños puedan actuar y después, con la intervención apropiada, entender un rango de ideas y procesos relacionados con los conceptos geométricos en una forma personalmente significativa (Hoyles y Sutherland, 1989; Noss, 1987). Los niños necesitan la oportunidad de involucrarse en generalizaciones inductivas, hacerlas explícitas en el código del programa, y después correrlas en la computadora. Sin embargo, la investigación ha indicado que los niños tienen dificultades con la relación figura-a-procedimiento; ellos no necesariamente usan las ideas geométricas cuando trabajan con la geometría de la tortuga (Hillel y Kieran, 1987; Leron, 1983a). Ellos pueden confundir el giro de la tortuga y el ángulo si no hay una intervención didáctica apropiada (Hoyles y Sutherland, 1989; Rouchier, 1981), y frecuentemente usan señales perceptivas en lugar de analíticas (Kieran, Hillel y Erlwanger, 1986). Por ejemplo, Hoyles y Noss (1987b) usaron un micro-mundo del paralelogramo basado en Logo para investigar cómo los estudiantes llegan a entender “la esencia del paralelogramo” a través de modificaciones del formalismo del programa dado. Ellos identificaron una de-sincronización entre las intuiciones iniciales de los estudiantes y sus definiciones formalizadas y documentaron las maneras en que los estudiantes generalizaban y se iban haciendo conscientes progresivamente de las relaciones involucradas dentro de los procedimientos de construcción del paralelogramo usando Logo. También señalaron la relación compleja que existe entre el código simbólico (el procedimiento) y la figura. Aun cuando el comportamiento de los estudiantes mostraba relaciones muy cercanas, esto no era a un nivel consciente. Parece que a pesar del potencial que se supone tiene el programar en lenguajes geométricos para desarrollar conceptos dinámicos y generalizados, el estudiante tiene dificultades grandes para modificar los elementos de programación y sus productos visuales. Se tiene que hacer más investigación antes de que se pueda obtener conclusiones.Conceptos de más alto nivel
Niveles superiores de pensamiento geométrico pruebas y conjeturas
Niveles superiores de pensamiento geométrico pruebas y conjeturas
- ¿Cuáles son los sentimientos de los estudiantes relacionados con el papel de la demostración y su validez? (Fischbein y Kedem, 1982)
- “¿Cuáles son los contextos en que la prueba matemática puede surgir como una herramienta eficiente y relevante para resolver problemas que los propios alumnos han reconocido como tales?” (Balacheff, 1987b)
[6] CSMS por sus siglas en inglés es un proyecto llevado a cabo en Inglaterra a fines de los 70 y principios de los 80 para evaluar a estudiantes de secundaria. N. del T.)
Ha habido alguna investigación intensiva sobre los conceptos geométricos de más alto nivel y sus relaciones. Citamos tres ejemplos.
Simetría axial. Grenier (1985, 1987) investigó las concepciones de los estudiantes sobre la simetría axial en escuelas medias de Francia. Ella identificó variables que afectan la imagen concepto (concepciones) y su desempeño en tareas de simetría axial. Encontró que la habilidad de construir la imagen de un punto en particular no llevaba a los estudiantes a construir la imagen de toda la figura. Los estudiantes usaron diferentes procedimientos que daban lugar a respuestas correctas solamente en casos especiales. Las variables que afectaban el desempeño en la tarea fueron la orientación del eje de simetría axial y la orientación, la posición respectiva de las diferentes partes de la figura geométrica y el eje de simetría (fenómeno prototipo), y la edad de los estudiantes.
Medición. Hay un punto de vista común en cuanto a los estadios que puede seguir un aprendizaje significativo de la medición geométrica:
A. La conservación de la cantidad (longitud, área, volumen) que se mide.
B. El significado de la unidad de medida y de la iteración de la unidad (unidades arbitrarias, unidades estándar, uso correcto de los instrumentos de medición); y
C. Las fórmulas para calcular las cantidades que han de ser medidas.
Figueras y Waldegg (1984) aplicaron la evaluación diagnóstica de los conceptos de medición del proyecto[6] Conceptos en las Matemáticas y Ciencia en la Secundaria (CSMS) a estudiantes de 11 a 13 años de edad. La intención era usar esta evaluación para guiar el diseño de actividades de medición. Encontraron que:
· La conservación del área es más fácil que la conservación del volumen e incluso más fácil que la conservación de la longitud.
· Más de la mitad de los estudiantes usaban las unidades incorrectamente.
· El proceso de medición (por ejemplo; el uso de una regla para medir longitud) como una iteración de intervalos iguales se hacía de manera mecánica.
· La mayoría de los niños encontraba áreas y volúmenes contando unidades a pesar de su experiencia previa con las fórmulas, aun cuando contar era mucho más complicado (por ejemplo; en el caso del volumen donde los niños tienen dificultad en visualizar las unidades que no se muestran).
· El comportamiento en tareas de medición disminuyó cuando los números involucrados eran fracciones.
Figueras y Waldegg desarrollaron e implementaron actividades de aprendizaje y encontraron que la mayoría de las dificultades antes mencionadas inhiben los procesos de aprendizaje correctos. Ellas afirman que “un sistema fijo de medición que se introduce demasiado pronto en el currículum de la escuela elemental crea una barrera para completar el entendimiento del concepto de unidad” (p.99).
Maher y Beattys (1986) examinaron el comportamiento en tareas de resolución de problemas relacionados con el concepto de área en un estudio clínico con estudiantes de 10 a 14 años de edad. El objetivo de la tarea era mejorar las etapas de conservación e iteración de unidades (las etapas A y B mencionadas arriba). Ellos encontraron que los estudiantes “usaban la iteración de la unidad cuadrada como un esquema subordinado para encontrar el área de una figura regular pero no de una figura irregular” (p.168). La mayoría de los niños no aplicaban el concepto de área para describir el tamaño de una región, y de aquellos que lo hacían, algunos expresaron su respuesta en unidades lineales.
Douady (1986) desarrolló secuencias de instrucción para enseñar y aprender el concepto de área y observó su implementación en el salón de clases. La conservación se acentuó moviendo, cortando en pedazos y reconstruyendo y mediante el uso de una red (dos superficies sobre una red que incluyen el mismo número de cuadritos tienen la misma área). Ella observó pocas estrategias similares a las anteriores (por ejemplo, contar unidades y estrategias lineales). En las entrevistas, observó e incluso indujo conflictos en las concepciones. Estos conflictos dieron lugar a cambios de estrategias.
Como podemos ver, los estudios anteriores tratan mayormente con los estadios A y B. La creencia común es que la instrucción usualmente empieza a la mitad del estadio B, con las unidades estándar para medir formas regulares, y ésta podría ser la razón por la cual los estudiantes no parecen entender el concepto de medición.
Semejanza. El Proyecto Matemáticas para los Grados Medios desarrolló e implementó una unidad de semejanza acompañada de investigación (Friedlander, Fitzgerald y Lappan, 1984). El concepto de semejanza fue escogido porque (a) parece proveer a los alumnos con imágenes mentales concretas del razonamiento proporcional y (b) es considerada una de las ideas más básicas para el entendimiento de la geometría de la medición indirecta, el dibujo a escala, los modelos a escala y la naturaleza del crecimiento. La unidad fue enseñada y su efecto fue investigado por medio de pre-tests y post-tests y por entrevistas antes y después de la instrucción. “Las entrevistas indicaron estrategias individuales y niveles cognitivos de pensamiento acerca de la semejanza como resultado de la instrucción. Los resultados más impresionantes fueron la falta de consistencia en las estrategias de los individuos” (p. 127). Las categorías de estrategias que fueron encontradas corresponden a las clasificaciones encontradas en otros estudios de razonamiento proporcional y área; por ejemplo, estrategias aditivas, estrategias basadas en la visualización y estrategias basadas en el conteo. Las estrategias cambiaron con los números involucrados en las razones. Un micro mundo basado en la computadora sobre el mismo tema ha sido diseñado recientemente por Hoyles, Sutherland y Evans (1989). Los hallazgos a la fecha son similares, en cuanto al pre-test, a los de Friedlander et al., como se describió anteriormente, pero en el post-test hay evidencia de una apreciación de la necesidad de estrategias consistentes; esto es, el reconocimiento de que estrategias idénticas son apropiadas dentro de una clase dada de problemas y de hecho que la estrategia apropiada en este caso es la multiplicación. Este resultado diferente puede ser interpretado como un resultado de la retroalimentación visual inmediata ante estrategias incorrectas.
Como en otras áreas de las matemáticas (ver Dreyfus en este volumen), los niveles superiores de pensamiento geométrico se relacionan con los procesos inductivos de crear generalizaciones; esto es, hacer conjeturas y todos los aspectos de justificar (probar) generalizaciones.
En el acercamiento tradicional para la enseñanza de la geometría, el proceso de descubrimiento inductivo, formulado como conjeturas, ha sido casi ignorado. Esta desatención fue resultado de la enseñanza clásica de la geometría euclidiana como un ejemplo típico del sistema deductivo, que ha provocado muchas críticas (Balacheff, 1987b; Freudenthal, 1971; Schoenfeld, 1986). En palabras de Freudenthal, “La estructura deductiva de la geometría tradicional nunca ha sido un suceso didáctico convincente… ha fallado porque su cualidad deductiva no ha podido ser reinventada por el aprendiz sino que solamente es impuesta” (pp. 417-418).
Hay un acuerdo en cuanto a que el fracaso de los estudiantes para reinventar pruebas (nivel cuatro de Van Hiele) e incluso trozos grandes de un sistema deductivo tiene dos causas principales: (a) el sistema lógico, en la forma que usualmente es enseñado, “ofrece sólo el producto final del descubrimiento matemático y falla en realizar en el aprendiz los procesos por los que tal descubrimiento fue hecho” (Skemp, 1971, p.13); y (b) el aprendiz no tiene la madurez lógica para probar o la conciencia de la necesidad de probar (Balacheff, 1987b). Es una creencia común actual que los descubrimientos inductivos, empíricos en geometría son necesarios porque (a) introducen un aspecto de descubrimiento; (b) al ver a la generalización como una conjetura en sí misma, el aprendiz siente la necesidad de probar lo que él o ella han conjeturado que es cierto; y (c) las experiencias inductivas son la base intuitiva sobre la cual el entendimiento y la generación de una prueba inductiva puede ser construida. Schoenfeld (1986) expresa este punto de una manera más simétrica, afirmando que “el fundamento en el que se basa el comportamiento geométrico incluye tanto competencias inductivas como deductivas” (p. 226). La investigación cognitiva trata de investigar la realización de las creencias anteriores y pone a discusión cuestiones tales como:
1. “¿Cómo es que los estudiantes hacen la transición de lo especifico a lo general en geometría?” (Yerushalmy Chazan, Gordon y Houde, 1986)
2. “¿Cómo es que los estudiantes formalizan sus hipótesis y sus generalizaciones?” (Yerushalmy et al., 1986)
3. ¿Sienten los estudiantes la necesidad de justificar las conjeturas que han producido?
4. ¿Cuáles son los procesos y dificultades que los estudiantes tienen al probar?
Procesos de conjetura y procesos de deducción
La microcomputadora trae una nueva dimensión a la investigación y la instrucción en cuanto a la habilidad para hacer conjeturas y su valor didáctico. El software como Cabri Géomètre (Baulac et al., 1988) y el Geometric Supposer (Schwartz, Yerushalmy, y Development Center, 1985) crean un poderoso ambiente de aprendizaje para los descubrimientos inductivos en geometría, los cuales pueden ser formuladas haciendo conjeturas. Por ejemplo, el Supposer Geometric permite a los usuarios dibujar elementos geométricos, hacer mediciones de esas construcciones, y más importante, repetir aquellas construcciones en figuras aleatorias o en figuras de la construcción propia del usuario. En este ambiente de aprendizaje, los estudiantes se involucran “en actividades que generan hipótesis y construcciones significativamente matemáticas” (Yerushalmy et al., 1986, p. 184). Yerushalmy y sus colegas investigaron las tres primeras preguntas que se mencionaron anteriormente. Ellos afirman que usar estos ambientes “requiere mucha planeación por parte de los maestros y mucho esfuerzo sobre la marcha [y es también] demandante para los estudiantes ya que requiere que ellos tomen un papel mayor en la responsabilidad de aprender (p.187). Ellos encuentran que usando el Supposer (a) estudiantes de secundaria (de nivel de habilidad bajo) fueron capaces de pensar acerca de una figura (una construcción) en términos dinámicos y de verla como una representación de una clase completa, (b) no fue fácil para los estudiantes hacer conjeturas (“encontrar patrones en sus datos y establecer tales patrones en términos generales,” p. 188); y (c) los estudiantes sentían la necesidad de justificar sus generalizaciones.
El estudio de Balacheff (1987b) es un ejemplo de investigación e instrucción que toma el punto de vista unificado de conjeturar y probar como etapas necesarias en un solo proceso y trata de definir contextos en los que estos procesos puedan parecer relevantes a la resolución de problemas (Pregunta 6 anterior). Él construyó una situación de aprendizaje diseñada como “un proceso didáctico en el que estudiantes –de alrededor de 12 años–descubrirán, después formularán como conjetura y finalmente probarán que la suma de las medidas de tres ángulos en un triángulo suman 180 grados” (Balacheff, 1987b, p.8). Al principio, los estudiantes midieron los ángulos de muchos triángulos y compararon sus resultados. Después cada estudiante tenía que predecir la suma de los ángulos del mismo triángulo y comentar sobre las discrepancias entre la predicción y el resultado de la medición. El siguiente paso fue el nacimiento de la conjetura, y la última etapa, la construcción de la prueba como resultado de un esfuerzo común de los estudiantes y el maestro.
En otro estudio, Balacheff (1985) investigó los comportamientos de los estudiantes para hacer conjeturas cuando sus hipótesis eran confrontadas con contraejemplos. Lo que se esperaba era que cuando los estudiantes descubrieran un hecho que contradijera sus hipótesis, él o ella abandonarían la hipótesis y buscarían otra. Balacheff propuso a estudiantes de 13 y 14 años el siguiente problema: “Obtén una manera de calcular el número de diagonales de un polígono una vez que sabes el número de sus vértices” (p.224). Los estudiantes trabajaron en parejas y eran observados. El observador intervenía de tiempo en tiempo, especialmente para dar contraejemplos a sus conjeturas incorrectas. El análisis de los protocolos mostró que, contrario a lo que se esperaba, el llegar a la contradicción es un proceso complejo. El comportamiento de los estudiantes era similar a lo descrito por Lakatos (1976). Los cambios hechos a las conjeturas durante los procesos de solución estaban cercanamente relacionados con los cambios de los significados de los conceptos involucrados en la pregunta.
Otro aspecto de la relación de hipótesis y prueba fue examinado por Shoenfeld (1982). Él argumentaba que las pruebas, suponiendo que el aprendizaje significativo del tema tenía lugar, debían ser usadas por los estudiantes para examinar la validez de sus hipótesis matemáticas. Desafortunadamente esto no pasaba. Shoenfeld observó a estudiantes de bachillerato que participaban en su curso de resolución de problemas. Todos ellos estudiaron geometría en la escuela secundaria y eran competentes al escribir pruebas geométricas elementales. A ellos se les daba un problema de construcción geométrica sobre el que trabajaban en parejas mientras eran filmados en video. El análisis de los videos mostró que los estudiantes generaban hipótesis por medios puramente empíricos e intuitivos. Más aún, su verificación también era empírica; esto es, usaban la regla y el compás guiados más por el ojo y por la mano, que por un análisis sistemático. La conclusión de Shoenfeld es que “los estudiantes tienden a creer que probar es un juego en el salón de clase, una actividad de poco o nada de valor fuera del ambiente artificial de la clase” (p.173). Como resultado, los estudiantes no se involucrarán en procesos de probar en casos diferentes, incluso en algunos muy poco diferentes, del contexto común de prueba en el aula. La razón puede ser o bien que los estudiantes no aceptan la prueba como una manera válida de argumentar o bien que rechazan todo junto. Shoenfeld responsabiliza al currículo. Puede ser que la construcción de situaciones de enseñanza-aprendizaje, como ha sugerido Balacheff (1987b), sea un medio posible para mejorar lo descrito anteriormente.
Kramer, Hadas y Hershkowitz (1986) desarrollaron un micro mundo por medio del cual los estudiantes pueden llevar a cabo construcciones clásicas de regla y compás deductivamente. Este micro mundo consiste de objetos (puntos, líneas, segmentos, etc.), operaciones entre estos objetos (es decir construcciones básicas), y las reglas que gobiernan la aplicación de las operaciones (las leyes deductivas de la geometría), al tiempo que el ambiente es auto-correctivo y auto-regulable. Diez alumnos de décimo grado que trabajaron con el software fueron observados. Las observaciones indicaron que ocurren correcciones en los tres niveles en los cuales los autores pusieron atención: el nivel analítico, el nivel sintáctico y el de aplicación de las reglas de construcción geométrica. Es importante mencionar que es imposible llevar a cabo una construcción con este software sin hacer primero un análisis cuidadoso, y si el análisis es incorrecto, los estudiantes no tendrán producto alguno u obtendrán un producto incorrecto. También, el hecho de que la legalidad de cada movimiento es observado por el programa de computadora ayuda a clarificar las reglas del juego, algo que no está claro del todo para muchos estudiantes que hacen construcciones geométricas, como Shoenfeld (1982) señaló.
Pruebas y procesos de prueba
En la geometría euclidiana, prueba significa un argumento formal deductivo. En la investigación cognitiva están interesados en muchas clases de pruebas de los estudiantes (justificaciones). Balacheff distingue entre prueba –cualquier medio por el cual una se convence de que cierta afirmación o enunciado es verdadera– y una prueba matemática (lo que en francés se llama demostración). Lo último es una prueba aceptada por los matemáticos. Usando esta terminología, Braconne y Dionea (1987) investigaron la comprensión de la prueba y la demostración en estudiantes y maestros. Además, ellos examinaron hasta dónde hay una correlación entre el entendimiento de los estudiantes sobre la demostración y sus logros en matemáticas o en sus niveles de Van Hiele. Como Balacheff, Braconne y Dionea distinguen entre varios modos de probar en geometría, empezando con una prueba ingenua (“puedes decir a partir de la figura”--, primer nivel de Van Hiele) y terminando con una demostración. Ellos construyeron un cuestionario consistente en 12 soluciones distintas a un solo problema tomado de un libro de texto de geometría francés. Cada solución pertenecía a uno de cinco modos de prueba sugeridos por los autores. Tanto a los estudiantes (15 años) como a sus maestros se les pidió que reaccionaran y evaluaran las 12 soluciones en el cuestionario. Se encontró que, para los maestros, prueba y demostración no eran sinónimas, por otro lado la diferencia entre los términos no parecía ser clara a los estudiantes.
Tal vez la pregunta más natural acerca de la concepción de una prueba matemática y su estatus es el siguiente: ¿Puede un individuo involucrado con pruebas matemáticas “entender claramente que una prueba formal de un enunciado matemático le confiere un atributo de validez universal, a priori y por lo tanto excluye la necesidad de cualquier otra verificación?” (Fischbein y Kedem, 1982, p.128). Para poder contestar a esta pregunta, Fischbein y Kedem construyeron dos cuestionarios, uno algebraico y otro geométrico. El cuestionario geométrico incluye el siguiente enunciado “ABCD es un cuadrilátero y P, Q, R, S son los puntos medios de sus lados. Uno debe probar que PQRS es un paralelogramo.” A continuación había una prueba de este enunciado. A los estudiantes se les preguntó si aceptaban su validez general. Después de eso, se hizo la siguiente pregunta: “V está dudoso, él piensa que se tiene que probar al menos con cien cuadriláteros para estar seguro de que PQRS es un paralelogramo. ¿Cuál es tu opinión? ¡Explica tu respuesta!” La respuesta de alumnos de décimo a doceavo fueron analizadas y se encontraron tres categorías principales:
1. Consistentemente formal. Los estudiantes en esta categoría entienden correctamente la naturaleza de una prueba matemática.
2. Consistentemente empírico. Los estudiantes en esta categoría tienen un acercamiento empírico a las pruebas matemáticas. Ellos creen que se necesitan más verificaciones de casos particulares y soporte para que el enunciado quede probado. La prueba en sí misma no garantiza la absoluta validez del enunciado.
3. Básicamente inconsistente. Los estudiantes en esta categoría demuestran un comportamiento inconsistente, aceptan la absoluta validez de la prueba, por un lado, pero no rechazan la necesidad de seguir probando, por el otro.
Se encontró que menos del 10% de los estudiantes fueron consistentemente formales y cerca de un tercio fueron básicamente inconsistentes. La mitad de los estudiantes no pueden ser clasificados de acuerdo a estos criterios.
El status ontológico de las entidades geométricas
El estatus ontológico de las entidades geométricas es casi un problema filosófico, pero encuentra su camino hacia el currículum de la geometría. La pregunta es ¿hasta dónde las entidades geométricas son parte del mundo físico y si no, qué son? Existen varias respuestas filosóficas a estas preguntas. Las más comunes son (a) el acercamiento formalista (la matemática es una derivación de acciones y no se puede suponer ninguna realidad matemática); (b) el acercamiento realista (los objetos matemáticos son objetos abstractos que existen en un mundo abstracto); y (c) el acercamiento constructivista (los objetos matemáticos son constructos psicológicos formados en la mente humana). Vinner (1981) examinó los puntos de vista de maestros y futuros maestros por medio de un cuestionario. Sus respuestas caen en tres categorías:
1. Los objetos geométricos son parte del mundo físico (34%).
2. La geometría está relacionada con las conclusiones que pueden ser deducidas de ciertas hipótesis. Por lo tanto, los objetos geométricos no existen realmente – la aproximación formalista (15%).
3. Los objetos geométricos existen en un mundo abstracto. Son objetos abstractos, que es la aproximación realista (47%).
Los profesores en la primera categoría pueden tener dificultades con ciertos conceptos; por ejemplo, la densidad o infinitud de la línea recta.
No es fácil escribir conclusiones de este capítulo por la naturaleza varia de las áreas de investigación y los temas, por lo tanto hemos insertado discusiones concluyentes en diferentes lugares del capítulo. En éstas, apuntamos futuras implicaciones para la investigación y la enseñanza. Sin embargo, hay algunos puntos generales y algunas áreas generales que requieren más investigación o esfuerzo educativo en el futuro.
· El aprendizaje de la geometría empieza cuando el niño comienza a “ver” y a “conocer” el mundo físico a su alrededor, y puede continuar hasta un nivel muy alto de pensamiento geométrico a través de procesos inductivos o dentro de sistemas deductivos. Las características y objetivos de la investigación y sus implicaciones pedagógicas cambian de acuerdo con el nivel de pensamiento geométrico. Por tanto, es sorprendente que la mayoría de la investigación que se ha hecho en los últimos años está concentrada en los grados cuarto a décimo (niños de 9 a 15 años). Hay estudios que involucran a maestros en servicio o futuros maestros pero casi nada de investigación sobre niños de muy temprana edad (excepto los ejemplos del proyecto Agam). Parece que los investigadores tratan de aprender, acerca de los procesos que empiezan desde muy temprano, investigando sus rastros en etapas más avanzadas. Si consideramos que la metodología de investigación está progresando en la dirección de la observación detallada y la documentación de micro etapas del comportamiento del aprendiz y que la tecnología moderna estimula y refina esta tendencia, parecería muy natural empezar observaciones tan temprano como sea posible. Hay aún una necesidad de invertir un esfuerzo en investigar sobre la evolución de los conceptos geométricos, pensamiento geométrico y el desarrollo de habilidades visuales.
· Respecto a la geometría y la computadora, vimos antes que la mayor parte del software que sirve para la investigación e instrucción en geometría involucra un alto nivel de interacción con la computadora. El ambiente computacional permite la manipulación de objetos específicos en la pantalla de maneras que apoyan a los estudiantes para verlos como representativos de una clase de objetos o una clase de construcciones con propiedades invariantes. Un ejemplo es Cabri Géomètre, en el que las figuras geométricas tienen un estatus similar al estatus de una variable, cambiando pero conservando todas sus propiedades relevantes. Con esta base los estudiantes son más capaces de generalizar y reflexionar sobre propiedades geométricas. Además, un micro mundo basado en la computadora puede ser construido naturalmente sobre objetos visuales sobre los cuales pueden hacerse las operaciones de acuerdo con ciertas reglas. Si se usan estrategias inapropiadas, la retroalimentación inmediata puede llevar a un conflicto cognitivo y por tanto puede provocar que el estudiante vuelva a pensar el proceso de solución y el análisis geométrico de la situación. Hemos visto que diferente software estimula nuevas direcciones en la investigación de la instrucción. Sin embargo, parece que todavía puede hacerse mucho más usando el software existente, incluyendo los programas comerciales (véase, por ejemplo, el trabajo de Osta, 1987). Además, aún se necesita más software diseñado específicamente para el desarrollo de procesos y estrategias de prueba.
· La visualización y los procesos visuales tienen un papel muy complejo en los procesos geométricos. Ya discutimos algunas complejidades en el contexto de la formación de conceptos básicos. Hay evidencia de que esta complejidad continúa hasta niveles más altos de pensamiento geométrico; por ejemplo Hoz (1979) ha demostrado que la rigidez perceptiva, en la cual las características perceptuales de los problemas actúan como distractores, afectan la habilidad de probar teoremas. También hay claves (Yerushalmy y Chazan, en prensa) de que una interacción dinámica con un micro-mundo geométrico como el Supposer, contribuye al desarrollo de la flexibilidad visual. Se necesita aún más trabajo para entender mejor las contribuciones negativas y positivas de los procesos visuales.
· Hay un acuerdo en cuanto a que el lenguaje es una de las principales especificidades que caracteriza el nivel de desarrollo geométrico (Bishop, 1978, Van Hiele y Van Hiele-Geldof, 1958). Desafortunadamente, existen muy pocos estudios que toquen este punto. Nuevamente, pensamos que hay necesidad de dedicar más esfuerzo a la investigación sobre este tema.
· La inconsistencia individual de los sujetos encontrada en relación con las tareas geométricas en algunos de los proyectos de investigación fue generalmente un producto de paso hacia el objetivo principal de la investigación. Parece entonces recomendable enfocarse en esta característica del comportamiento geométrico individual en futuras investigaciones. Además, existe evidencia de que, por un lado, algunas competencias geométricas, tales como la habilidad visual, tienen “una naturaleza altamente individual y personal” (Bishop, 1989, p. 14). Por otro lado, los distractores visuales actúan casi de la misma manera en poblaciones diferentes. Estas cuestiones relacionadas con la naturaleza de las ideas visuales merecen más investigación.
· La relación entre conceptos geométricos y numéricos es otro producto de paso de la investigación en geometría. El efecto del tipo de número (números grandes, fracciones, etc.) sobre el desempeño en tareas geométricas (semejanza y medición) merece más investigación.
· Las situaciones problema en las que la geometría y el álgebra se combinan son muy comunes en unidades de instrucción (por ejemplo, geometría analítica). Sin embargo, difícilmente podemos encontrar investigación que trate sobre tales situaciones problema.
· Por último, pero no por ello menos importante, se encuentra la retroalimentación mutua entre la instrucción y la investigación. La dirección que va desde el mundo real del aula hacia la investigación parece ser muy activa. En general, los investigadores toman el contenido y las tareas de instrucción común como punto de partida para su investigación. Sin embargo, a pesar del hecho de que la investigación psicológica en geometría está orientada a la instrucción, y contiene mucho trabajo de investigación basado en, o resultante de, secuencias de instrucción, parece que el efecto real de la investigación en geometría sobre el currículum, las estrategias de enseñanza, y la educación de los maestros es esporádica y merecería un esfuerzo más intensivo y comprehensivo.
Actividad Final
Responda a las siguientes preguntas después de haber leído el capítulo
1. ¿De qué trata este capítulo?
2. ¿Cómo está organizado?
3. ¿Qué reflexiones propias aportan los autores?
4. ¿Cómo introducen en el artículo sus reflexiones?
5. Mencione las tres secciones que le hayan parecido más interesantes y explique por qué considera que es así.
6. Al final, los autores hacen algunas recomendaciones que apuntan hacia la investigación en el futuro. ¿Le interesaría explorar en alguna de estas direcciones? ¿Por qué?
7. De los estudios reseñados en el artículo, cuál o cuáles cree que podría replicar. Mencione cómo desarrollaría los estudios, con qué sujetos, sobre qué contenidos y las carencias o problemas que tendría que solventar para poder llevar a cabo una investigación así.
8. ¿Ha podido observar en su práctica docente, o en su propia experiencia personal, algunos de los fenómenos reseñados en este artículo?
9. Durante sus años de formación escolar ¿experimentó algunas de las dificultades aquí mencionadas?
10. Revise las respuestas a las preguntas que respondió antes de leer el capítulo, ¿cambiaría sus respuestas ahora que ya ha leído el capítulo?
[1] El Grupo Internacional para la Psicología de la Educación Matemática (Group for the Psychology of Mathematics Education) es un grupo reconocido ampliamente dentro de la comunidad de la Educación Matemática Internacional.
[2] El Grupo Internacional para la Psicología de la Educación Matemática es un grupo reconocido ampliamente dentro de la comunidad de la Educación Matemática Internacional. Este grupo realiza anualmente una reunión donde se presentan trabajos sobre diferentes campos dentro de la Matemática Educativa. Este artículo reseña los principales resultados relacionados con la geometría y su enseñanza expuestos en estos congresos, desde el primero hasta el último antes de la fecha de publicación. (1977 a 1990 aproximadamente).
[3] En el original dice “…increased with class grade level […] and decreased as the grade level increased” pero suponemos que este último increased está por error en lugar de decreased.
[4] Movement notation
[5] Teselar el plano (o el espacio) se refiere a la propiedad de algunas figuras de “cubrir” el plano. Esto es cubrirlo sin encimar las copias de dicha figura ni dejar huecos. En el plano las figuras que teselan son los rectángulos, los triángulos y los hexágonos. No así los pentágonos, por ejemplo. Esta idea puede generalizarse a tres dimensiones en donde los prismas rectangulares (la forma más común de una caja) tesela al espacio. (N. del T.)
