Capítulo 9. La enseñanza de la medición de la longitud: Retos para la imaginación. Por Douglas H. Clements

Citar como:

Douglas H. Clements, (1999). Teaching length measurement: Research challenges.

School Science and Mathematics. Vol. 99(1) Enero de 1999. Págs. 5-11.

Introducción al capítulo

Este artículo fue elegido para esta antología porque comenta situaciones prácticas para el trabajo en la escuela con niños pequeños. El tema matemático es la medición de la longitud y contiene hallazgos muy originales que es importante que cualquier maestro de educación básica conozca.

El artículo es breve y sencillo y reporta lo ocurrido en un aula con niños de tercer grado de primaria, al trabajar la longitud.

El resultado principal, que pudiera considerarse asombroso, va en contra de lo establecido en planes de estudio y recomendaciones didácticas para el aprendizaje y la enseñanza de la longitud. Este solo hecho hace que sea un artículo que debe leerse y analizarse cuidadosamente.

Preguntas para antes de la lectura

1.      ¿Le gusta enseñar medición?

2.      ¿Qué tiempo le dedica a actividades de medición en su práctica docente?

3.      ¿Cuál cree que sea el objeto de incluir los contenidos de medición en el plan de estudios de la educación básica?

4.      Diseñe un esquema de cómo enseñaría longitud a niños de escuela primaria. Indique en qué grado empezaría a trabajar este contenido y en qué grado culminaría su estudio. Diga cómo iría avanzando el niño, grado con grado, en su aprendizaje de la longitud explicando brevemente las actividades que realizaría en cada etapa.

La Enseñanza de la Medición de la Longitud: Retos para la Investigación

Douglas H. Clements

Algunos alumnos de tercer grado querían hacer un mapa de su salón. Querían empezar por medirlo. Complacido, les di unos metros de madera para medir. Ellos empezaron a usar estos metros pero de pronto se detuvieron extrañados:

“Necesitamos más”.

¿Más metros? Pregunté.

“Sí, no son suficientes”.

Bueno, pónganse de acuerdo y resuélvanlo.

“No, aunque usemos todos los metros que hay en el salón no nos van a alcanzar”.

Quiero decir, ¿hay alguna manera en que ustedes puedan medir usando solamente los metros que tienen?

Después de varios minutos y de intentos inútiles, de sugerencias que no sirvieron para nada, pensé que no me estaba comunicando, de manera que les hice una demostración: ¿qué les parece esto? Pueden poner el metro, luego pueden marcar el final con su dedo, después moverlo.

“¡Oh, qué buena idea!”

Su sorpresa y entusiasmo fueron deliciosos, pero cuando regresaba a casa pensé, ¿por qué esto fue nuevo para ellos? Estoy familiarizado con el bajo rendimiento de los alumnos y con las concepciones erróneas en matemáticas. Sin embargo, lo sucedido me dejó una fuerte impresión.

Actuación de los alumnos en tareas de medición.

Muchos estudiantes usan los instrumentos de medición o cuentan unidades en una forma rutinaria, aplican fórmulas para obtener resultados sin significado (Clements & Battista, 1992). Menos del 50 % de los alumnos de primero de secundaria pueden determinar la longitud de un segmento de recta cuando el inicio de la regla no se alinea con el inicio del segmento a medir. En comparaciones internacionales la actuación de los estudiantes de E.U. en geometría y medición es más baja que en cualquier otro tema.

¿Cuál es el problema?

Mis hacedores de mapas de tercer grado probablemente tenían muy poca experiencia midiendo por medio de la iteración de una unidad. ¿En cuántos hogares los niños hacen ropa o construyen muebles de madera? Las experiencias en la escuela también son, a menudo, muy limitadas. Una vez alenté a algunos estudiantes para maestro, a quienes yo supervisaba, a conducir algunas lecciones de medición. Sin embargo, todos los maestros que participaron sugirieron enfáticamente que los estudiantes para maestros deberían mantener a los alumnos en sus escritorios, para que midieran ahí, preferiblemente en hojas de trabajo.

            ¿Existirán otras razones especiales para que los estudiantes estén tan débiles en medición? Muchas publicaciones, incluyendo una nuestra (Clements & Battista; 1986), han aconsejado sobre una secuencia didáctica específica que consiste en comenzar con comparaciones de longitud grosso modo, mediciones con unidades no convencionales como clips, mediciones con unidades manipulables estándar y, finalmente, mediciones con instrumentos convencionales tales como reglas.

            Este acercamiento es una tradición educativa, se basa fuertemente en la teoría de la conservación de Jean Piaget, –la idea de que la cantidad física no cambia durante ciertas transformaciones. Él y sus colaboradores encontraron que los niños menores de 5 años juzgan la longitud en términos de los puntos extremos, por ejemplo, los niños consideran que un segmento de recta y un segmento curvo, con los mismos puntos finales, tienen la misma longitud (ver Figura 1), si dos tiras de la misma longitud se cortan como se muestra en la Figura 2, los niños mas pequeños ven una de las tiras como más larga. Ellos pueden juzgar que la tira de la izquierda es más larga porque tiene piezas más largas o ellos juzgan la tira de la derecha más larga porque tiene más piezas. Sólo más tarde los niños desarrollan la habilidad de coordinar ambas: la subdivisión y la reconexión de las partes y del ordenamiento en la posición de las partes.

Así que los Piagetianos dijeron que los niños no pueden comprender la medición si no hasta los 9 años. Si tomamos este hecho aislado, tiene sentido asegurarnos que el niño comprenda la lógica de la medición antes de utilizar cualquier instrumento convencional de medida. Sin embargo, parte del encanto de los niños es su habilidad para sorprendernos, ¿realmente necesitan desarrollar las habilidades de razonamiento piagetianas de conservación de la longitud y de transitividad antes de comprender la medición? Esto pasa para algunos conceptos de medida, pero no para la mayoría. Sólo ciertas tareas requieren un razonamiento lógico general, una de ellas es saber acerca de la relación inversa entre el tamaño de la unidad y el número de tales unidades. Otra es entender la necesidad de medir con unidades de longitud iguales. Si los niños no poseen tal razonamiento de lógica general, la enseñanza específica ayuda muy poco. Sin embargo, para muchas tareas que parecen requerir el razonamiento lógico general, los niños encuentran sus propias estrategias para medir correctamente. Estas estrategias de solución no necesariamente corresponden a la estructura lógica de la tarea, por ejemplo, los niños usan mediciones intermedias para comparar dos longitudes sin necesidad de conocer la transitividad. Ellos mueven una unidad para medir la longitud de un objeto y no les preocupa si la longitud está siendo conservada. Finalmente todos los niños de todos los niveles de desarrollo resuelven tareas de medición sencillas que no parecen estar relacionadas fuertemente con el razonamiento general, así que las medidas de habilidades de razonamiento piagetianas no son buenos parámetros para conocer el alcance del aprendizaje para muchas tareas de medición. Es más, debemos preguntarnos hasta dónde la secuencia didáctica “lógica” tradicional es mejor.

¿Qué se debe hacer primero: Unidades e instrumentos no convencionales o unidades de instrumentos convencionales?

La investigación reciente se cuestiona hasta qué punto la secuencia tradicional que va de  unidad no convencional, luego convencional, luego regla es una secuencia sensata. Un grupo de investigadores pidió a estudiantes de primero a tercer año (que en Estados Unidos corresponden a primero y segundo grado de preescolar), explicar sus estrategias en tres tareas. En la primera tarea se les dieron a los estudiantes tres piezas de tiras de longitudes 27cm, 27cm, y 24cm, junto con una variedad de materiales de medición, convencionales y no convencionales. Ellos determinaron cuándo cualquiera de las piezas era de la misma longitud que la otra, la mitad de los niños del primer grado y los niños mayores resolvieron esta tarea. En la tarea 2 los investigadores dieron a los estudiantes una cuerda de brincar y les pidieron que encontraran qué tan larga era para poder comprar otra igual. Esto fue difícil para los niños de primer año pero no para los más grandes. En la tarea 3 a los estudiantes se les pidió comparar dos hileras de cerillos; la hilera estándar tenia 5 cerillos completos pegados en una sola recta; esta hilera estándar, que es la hilera (C1) en la Figura 3, se comparó, respectivamente, con una hilera recta de 10 “medios cerillos” (C2), con un arreglo en zigzag de cerillos completos (C3) y finalmente con un arreglo en zigzag de mitades de cerillos (C4). Esta última fue la tarea más difícil. El razonamiento que se requiere en la tarea 3 es similar a aquél usado con las unidades no convencionales de medida. Esto es, los estudiantes tienen que reconciliar la longitud de la unidad y el número de unidades. La demanda de las dos últimas tareas con cerillos

… es similar a lo que ocurre cuando se anima a los niños a usar unidades arbitrarias de medida para que entiendan la necesidad de usar unidades convencionales. Las estrategias que los niños usaron para estas tareas respaldan la afirmación de que ésta no es una buena manera de ayudar a los niños inicialmente a entender la necesidad de usar unidades convencionales en el proceso de la medición de la longitud. (Boulton-Lewis et al., p.344-345)

Por ejemplo, muchos niños usaron algunas unidades arbitrarias o instrumentos arbitrarios infructuosamente, como poner un pedazo de cuerda a lo largo de la forma C4 y la cortaron y la compararon con los cerillos de la Figura C1. Algunos otros usaron estrategias visuales como contar cinco cerillos en C1, diciendo que esto mostraba que C1 tenía 5 cerillos mientras que en C4, al contar cinco cerillos, apenas iban a la mitad; “probando” que C4 tenía más pues contaban de 1 hasta 10. Los niños de edad menor tuvieron éxito en las otras tareas, con o sin instrumentos convencionales. De manera que, usar las unidades no convencionales al inicio, para que los estudiantes entiendan la necesidad de estandarizar las unidades, puede que no sea la mejor manera de enseñar. Si se introduce demasiado pronto, los niños usan muchas veces estrategias no productivas y erróneas que pueden interferir con su desarrollo de los conceptos de medición.

Igual de interesantes fueron las preferencias de estrategias de los niños de todas las edades, especialmente los de primero y tercero preferían usar las reglas convencionales aunque sus maestros los hubieran animado a utilizar unidades no convencionales. Una maestra no permitió el uso de la regla en su salón de clases arguyendo que se había convertido en una distracción, ¡porque los niños querían usarla!

Más aún, los niños midieron correctamente con una regla antes de que pudieran encontrar una buena estrategia para medir con unidades no convencionales. Para poder darse cuenta que las unidades arbitrarias no son recomendables, un niño debe reconciliar la variación de las longitudes y el número de las unidades arbitrarias. Enfatizar las unidades arbitrarias demasiado pronto puede contravenir este propósito que es lo que se quiere alcanzar. Esto es, el énfasis demasiado temprano en varias unidades no convencionales puede interferir con el desarrollo de conceptos básicos de medición en los niños, inevitables para entender la necesidad de usar unidades convencionales. En contraste, el usar unidades manipulables convencionales, o incluso reglas convencionales, es menos demandante y parece ser una actividad del mundo real más interesante y con sentido para los niños pequeños (Boulton-Lewis et al.,1996). Estos hallazgos no son aislados, están respaldados por más investigaciones (Boulton-Lewis, 1987; Clements, Battista, Sarama, Swaminathan, & McMillen, 1997; Clements, Sarama, Battista in press; Héraud, 1989).

Otro estudio (Vunes, Light, & Mason, 1993) no sólo respalda estos hallazgos sino que también  cuestiona si los instrumentos de medición convencionales deben de ser relegados a usarse hasta el final de la secuencia tradicional de enseñanza. Los investigadores indagaron hasta qué punto los niños podían usar con verdadero significado un sistema ya preparado de medida – reglas – antes de “reinventar” ideas tales como la de unidad y la de iteración. Ellos ponían a niños de 6 a 8 años a comunicarse acerca de situaciones de medición por un teléfono. Cada uno tenía un papel con un segmento de recta dibujado en él. Ellos jugaban un “juego” cooperativo en el que el objetivo era medir con un objeto, para descubrir si el segmento de recta en sus hojas era más grande, más corto o igual que el de su compañero en el otro lado del teléfono. Había tres situaciones, cada una de las cuales tenía un objeto diferente para medir. En cada caso, los compañeros sabían que tenían los mismos objetos. Por ejemplo: en el caso de que el objeto era una cuerda, cada uno tenía una cuerda de la misma longitud que su compañero. A lo largo de las tareas, los segmentos podían ser de la misma longitud que la cuerda, el doble o así. Los compañeros podían usar la cuerda y discutir la tarea tanto como quisieran hasta determinar si las rectas en sus hojas eran de la misma longitud. En la segunda situación, los niños tenían reglas marcadas en centímetros. Para determinar hasta dónde los niños podrían usar esta regla sin entenderla, en la tercera situación un niño tenía una regla rota que empezaba en el cm 4, mientras que el otro tenía una regla normal.

La regla tradicional respaldó el razonamiento de los niños de manera más eficiente que la cuerda; la actuación de los niños fue casi dos veces mejor. Sus estrategias y el lenguaje (es tan larga como “la línea pequeña [medio] después del tres”) indicaron que los niños dan “respuestas correctas basadas en procedimientos rigurosos, beneficiándose claramente de la representación numérica en la regla” (p. 46). Incluso con la regla rota se comportaron mejor que con la cuerda, mostrando que no nada más estaban “leyendo números de” la regla. La situación no común confundió a los niños alrededor del 20 % de las veces. Los investigadores concluyeron que las unidades convencionales ya dadas en la regla no hacen la medición más difícil. De hecho, los niños se beneficiaron de la representación numérica aún con la regla rota.

El argumento basado en Piaget, en cuanto a que los niños deben conservar la longitud antes de que puedan hacer mediciones usando reglas (o instrumentos de computación, como los que se discuten en la siguiente sección), puede ser un argumento sobre-valorado. Los hallazgos de estos estudios respaldan una perspectiva Vigotskiana, en la que las reglas se ven como instrumentos culturales de los que los niños se pueden apropiar. Esto es, los niños pueden usar reglas, construirlas ellos mismos, y así construir nuevas herramientas mentales. No solamente los niños prefieren usar reglas, sino que las pueden usar de manera significativa y en combinación con unidades manipulables para desarrollar el entendimiento de la medición de longitud.

¿Cómo se desarrolla el sentido de medición?

La investigación nos ofrece una nueva mirada a un tópico diferente: el sentido de la medición. Medir con instrumentos es importante, pero también son importantes otras habilidades, tales como desarrollar reglas mentales. Por ejemplo, muchos problemas involucran la estimación o el cálculo de longitudes de líneas y líneas dibujadas que tienen una longitud dada. Por ejemplo, un maestro puede pedir a sus estudiantes que dibujen figuras de ciertas dimensiones con la tortuga de Logo (Clements y Meredith, 1994). Para programar a la tortuga para que dibuje un rectángulo, pueden dar comandos tales como “fd 80” (que dibuja una línea de 80 unidades en la dirección en la cual apunta la cabeza de la tortuga) “rt 90” (hace que la tortuga gire 90° a la derecha), “fd 30 rt 90 fd 80 rt 90 fd 30 rt 90.” Las estrategias de los niños de tercer grado para resolver estos problemas varían en sofisticación (Clements et al., 1997).

Algunos estudiantes solamente adivinan, sin hacer marcas o usar unidades. Otros hacen marcas, puntos o segmentos de rectas para partir longitudes. Esto es, crean unidades visibles que pueden contar. Para algunos niños, sin embargo, los segmentos que marcan no son iguales. Los estudiantes más sofisticados ni siquiera requieren marcar las unidades. Sin embargo, no están sólo adivinando. Ellos dibujan figuras proporcionadas y hacen particiones iguales de los segmentos para asignarles medidas. Ellos pueden visualizar distancias y usar estrategias “parte-todo” para encontrar distancias desconocidas. Tienen una “herramienta de medida “interna”. Esto no es una visión estática, sino un proceso mental de moverse a lo largo del objeto, fragmentándolo y contando estos segmentos. Los estudiantes pueden imponer una “regla conceptual” tal como ésta sobre los objetos y las figuras geométricas (Stefee, 1991). Este es un punto crítico en su desarrollo del sentido de la medición.

Otra manera de desarrollar el sentido de la medición es animar a los estudiantes a hacer conexiones entre los números y la geometría. Los gráficos de la tortuga de Logo, por ejemplo, proveen un escenario en el que los niños pueden usar, un paso de tortuga (un píxel) o los centímetros como unidades estándar (Campbell, 1987; Clements & Meredirh, 1994). Caminar y dibujar rutas, y después dar comandos a la tortuga para que dibuje trayectorias puede ayudar a los estudiantes a construir unidades de longitud por la segmentación del movimiento continuo (Clements y Battista, 1992; Steffe, 1991). El énfasis en las trayectorias y los movimientos puede ayudar a los estudiantes a enfocarse en los intervalos como unidades de longitud, en lugar de en los puntos (Cannon, 1992) y así desarrollar conceptos de medición y el sentido de la medición. Así, como con las reglas, Logo es otro “sistema prefabricado” del cual los niños pueden beneficiarse al usarlo.

Como un ejemplo específico, una niña de tercer grado, Ana, y su compañera fueron observadas cuando jugaban “Regreso a Casa” (Clements et al., 1997; ver Figura 4). Ellas tenían que darle instrucciones a la tortuga para visitar algunos objetos en la pantalla y después regresar por el mismo camino usando los menos comandos posibles. Ana dijo, “intenta bk 80 (volver atrás 80). Porque habíamos puesto fd 50 (avanzar) [señalando el código de Logo], pero luego tuvimos que poner un fd 30 [señala el código e inmediatamente después el segmento respectivo], así que hay que poner bk80 para regresar [haciendo un gesto de regreso a lo largo de una longitud de 80].” Las acciones de Ana mostraban claramente que ella estaba conectando la forma geométrica de la trayectoria hecha por la tortuga y la representación numérica de los comandos del Logo que la crearon. El ambiente logo que estaban usando las niñas, Turtle Math (Clements & Meredith, 1994), proveía herramientas tales como Label Lines (etiquetar rectas), para apoyar su pensamiento matemático. Las conexiones dinámicas entre la geometría y los números –un cambio en cualquier código reflejaba un cambio en la figura geométrica– ayudaba a las estudiantes a construir conexiones entre sus propias ideas numéricas y especiales. Cuando Ana probó su idea, la computadora le proporcionó una retroalimentación, mostrándole que su razonamiento era correcto.

Indicaciones para la enseñanza y el aprendizaje.

La secuencia en que los niños se involucran con experiencias de medición (y debemos de conducir investigaciones para evaluar cualquier nuevo acercamiento), debe ser reconsiderada. Incluso los niños de preescolar pueden comparar objetos directamente y reconocer la igualdad o desigualdad de longitudes (Boulton-Lewis et al., 1996). A ellos hay que proporcionarles una variedad de experiencias de comparación de tamaños de objetos; por ejemplo, encontrar todos los objetos en un salón que sean tan largos como su antebrazo.

Después de tales experiencias, los niños deben medir, conectando el número a la longitud. Los niños de preescolar y los niños pequeños de primer grado prefieren usar instrumento de medición convencional aun cuando ellos no lo entiendan exactamente o no lo ocupen con exactitud. Los maestros deben considerar permitir a sus alumnos utilizar las reglas junto con unidades manipulables como centímetros cúbicos y unidades arbitrarias. (La investigación no indica que usar unidades no convencionales sea dañino, solamente que usarlas con los niños pequeños para que ellos entiendan la necesidad de estandarizar puede ser prematuro). Procedimientos de mediciones exactas, como poner las unidades manipulables sin dejar espacio entre ellas, pueden ser desarrolladas lentamente. De manera similar, con las reglas, los maestros pueden desarrollar conceptos y procedimiento como la alineación exacta (e.g., ignorando el espacio al inicio de muchas reglas), empezando en el cero y centrando la atención en las longitudes de las unidades más que sólo en los números de la regla. Contar puntos en lugar de segmentos de línea es más posible en actividades con regla y en tareas de partición. La pregunta “¿Que estás contando?” no debe ser sobre enfatizada. Esto es, el aceptar el uso de las reglas temprano no es lo mismo que creer que ello implica la maestría ya sea en la herramienta o en los conceptos de medición (Lehrer, Jenkins, & Osana, en prensa). Más bien, se trata de una manera adicional de presentar las experiencias y problemas que ayudarán a los niños a desarrollar el entendimiento. Usar unidades manipulables para construir sus propias reglas ayuda a los niños a conectar sus experiencias e ideas.

Más tarde, en segundo o tercer grado, los maestros pueden introducir a los estudiantes explícitamente en ideas sobre las relaciones entre unidades y la necesidad de unidades convencionales. La relación entre el tamaño y el número de unidades, la necesidad de estandarizar las unidades, y otros instrumentos adicionales de medición pueden ser explorados.

Los niños de primer grado a menudo hacen estimaciones sobre rectas numéricas basados sólo en la secuencia numérica, sin hacer énfasis en los intervalos entre los números. Por supuesto, podemos usar una recta numérica, en lugar de una regla, sin considerar estos intervalos. De hecho, algunos educadores han encontrado realmente que usar “una recta numérica no etiquetada,” en la que los niños escriben los numerales que les son útiles, es superior en muchas situaciones  (Gravemeijer, 1994). También ayuda ser capaz de usar una recta numérica proporcional. Sólo cuando los niños conserven la longitud y aprendan la necesidad de mantener unidades de igual longitud pueden desarrollar y usar tal sentido de la proporción en los valores numéricos (Petitto, 1990). En este punto, el trabajo con una recta numérica proporcional es más beneficioso.

En un asunto relacionado, los maestros deben observar las estrategias de los niños para resolver los problemas que involucran el dibujo y la estimación de longitudes. Pueden presentárseles tareas de longitud, como dibujar un rectángulo con ciertas dimensiones particulares y los maestros pueden observar si los estudiantes hacen o no particiones de la longitud. Los estudiantes que ponen marcas es posible que necesiten esas unidades perceptibles para cuantificar la longitud. A estos niños se les pueden poner tareas similares, como dibujar un rectángulo de 10-por-5-cm, con un énfasis en la partición de intervalos iguales y la creación de diferentes unidades de longitud.

Los estudiantes que no parten las rectas o no pueden hacerlo para iterar unidades y partir longitudes pueden ser guiados para que continuamente liguen los resultados de esa actividad a sus conteos. Por ejemplo, pueden dibujar un juguete, medirlo, y volver a dibujarlo usando la misma medida (y más tarde, una más pequeña). Ellos pueden medir distancias contando sus pasos a lo largo de un camino. Los maestros deben enfatizar las experiencias e ideas de movimiento y distancia.

Finalmente, puede observarse a algunos estudiantes parten las longitudes usando una “regla conceptual.” Ellos deben ser retados con tareas más difíciles como la de la Figura 5. Se trata de que los niños encuentren las “medidas faltantes” y escriban las longitudes en cada segmento donde hace falta. La geometría de la tortuga de Logo ayuda muy particularmente a los niños a relacionar número y geometría en las actividades de medición y a construir el sentido de medición. La Figura 4 ilustra una actividad con la tortuga; los problemas tales como el de la Figura 5 también se pueden convertir en buenas tareas con la tortuga porque los niños reciben retroalimentación a su razonamiento. La geometría de la tortuga provee tanto motivación como significado para muchas actividades de medición de longitud. Esto ilustra una guía general muy importante: los estudiantes deben usar la medición como medio para obtener un objetivo, no como un fin en sí mismo.

Conclusiones

La medición es uno de las aplicaciones principales de las matemáticas en el mundo real. Es un puente entre dos reinos críticos de las matemáticas: la geometría o las relaciones espaciales y los números reales. Bien hecho, la educación en medición puede conectar estos dos reinos, cada uno de los cuales provee soporte conceptual al otro. Las indicaciones son, sin embargo, que este potencial generalmente no se utiliza. Los estudiantes de Estados Unidos estudian medición  geométrica menos que los de otros países (Nacional Center for Education Statistics, 1996).

El currículo de las matemáticas debería incluir más mediciones geométricas, desde construir con pedazos de madera hasta actividades con la computadora. Deben llevarse a cabo actividades, basadas en la investigación, que pongan en tela de juicio la secuencia tradicional de instrucción. La investigación acción de los maestros puede ayudarnos a entender lo que estas implicaciones significan para los diferentes salones de clase.

Preguntas para después de la lectura

1.      Contraste la secuencia de estudio de la longitud para los planes de estudio actuales de educación primaria.

2.      Contraste lo ahí encontrado con los resultados que reporta Clements.

3.      Revise la secuencia didáctica que usted propuso, coméntela a la luz de lo que acaba de leer y modifíquela si cree que es conveniente.