Capítulo 8. La provisión de un fundamento para el razonamiento deductivo: las interpretaciones de los estudiantes al usar un software de geometría dinámica y las explicaciones matemáticas que ellos producen. Keith Jones.

Citar como:

Jones, K. (2001). Providing a foundation for deductive reasoning: Students’ interpretations when using dynamic geometry software and their evolving mathematical explanations. Educational Studies in Mathematics 44: 55-85. Disponible en: http://webcache.googleusercontent.com/search?q=cache:ovlpt9MaJPUJ:mathed.byu.edu/kleatham/Classes/Summer2006/Jones.pdf+&cd=1&hl=es&ct=clnk&gl=mx. Último acceso 01/07/2017.

Introducción al capítulo 8

Siguiendo con el tema de los procesos de razonamiento en geometría, en este capítulo se ha elegido el artículo de Keith Jones para ilustrar el uso de geometría dinámica para desarrollar las habilidades de razonamiento deductivo en los estudiantes.

El artículo reporta una investigación llevada a cabo con niños de 12 años lo cual lo hace más interesante ya, que en estos niveles educativos casi no se presta atención al razonamiento deductivo de los alumnos.

La inclusión de este artículo también obedece al auge que han tenido los programas computacionales para la enseñanza de la geometría, conocidos como de Geometría Dinámica. Pero la razón primordial de la inclusión es que el tema matemático central es la clasificación de cuadriláteros, lo mismo que los artículos de Monaghan y de De Villiers de los capítulos 6 y 7, respectivamente, por lo que tenemos otra perspectiva para el tratamiento de este contenido.

Actividad anterior a la lectura

Antes de leer este capítulo responda por escrito a las siguientes preguntas.

1.      Nombre dos o más paquetes de geometría dinámica que conozca.

2.      ¿Maneja con soltura alguno de ellos?

3.      ¿Ha utilizado algún paquete de geometría dinámica en su práctica docente? Si su respuesta es no, procure practicar con alguno antes de leer este artículo. Puede hacerlo con el software libre GeoGebra.

4.      Diseñe una secuencia con un paquete de geometría dinámica, para trabajar la clasificación jerárquica de los cuadriláteros.

La Provisión de un Fundamento para el Razonamiento Deductivo: las Interpretaciones de los Estudiantes al Usar un Software de Geometría Dinámica y las Explicaciones Matemáticas que Ellos Producen

Keith Jones

RESUMEN. Un problema clave para la educación matemática es cómo pueden ser apoyados los niños para cambiar de “porque parece correcto” o “porque funciona en estos casos” a argumentos convincentes que funcionan en general. En geometría, las clases de software conocidas normalmente como ambientes de geometría dinámica pueden ser útiles, ya que permiten a los estudiantes interactuar con la teoría geométrica. Sin embargo, los significados que los estudiantes obtienen del razonamiento deductivo a  través de la experiencia con tal software son susceptibles de ser formados, no sólo por las tareas que ellos hacen y sus interacciones con su maestro y con otros estudiantes, sino también por los rasgos del ambiente del software. Para tratar de aclarar este último fenómeno, y determinar la influencia a largo término del uso del software, este artículo da cuenta de los datos de un estudio longitudinal acerca de las interpretaciones que hacen estudiantes de doce años sobre algunos objetos geométricos y relaciones cuando ellos usan un software de geometría dinámica. El foco de atención del artículo es la matematización[1] progresiva del sentido que los estudiantes otorgan al software, examinando sus interpretaciones y usando sus explicaciones de las propiedades geométricas de varios cuadriláteros que construyen, como indicador de ella. La investigación sugiere que las explicaciones de los estudiantes pueden evolucionar desde las expresiones “cotidianas” imprecisas, a través del razonamiento mediado manifiestamente por el ambiente de software, a explicaciones matemáticas de la situación geométrica que trascienden la herramienta particular utilizada. Se sugiere que esta última fase puede proporcionar un fundamento sobre el cual construir nociones adicionales de razonamiento deductivo en matemáticas.

PALABRAS CLAVE: apropiación del aprendizaje, ambientes computacionales, razonamiento deductivo, software de geometría dinámica, geometría, explicación matemática, matematización, mediación del aprendizaje, cuadriláteros, escuela secundaria, teoría sociocultural.

INTRODUCCIÓN

Proveer una experiencia significativa del razonamiento deductivo a los estudiantes en el nivel escolar preuniversitario parece ser difícil. Una gama de la investigación ha documentado que incluso después de una aportación considerable de enseñanza, muchos estudiantes fracasan en ver la necesidad de una demostración deductiva y/o son incapaces de distinguir entre las diferentes formas de razonamiento matemático tales como la explicación, el argumento, la verificación y la prueba (para reseñas recientes ver Hanna y Jahnke, 1996; Dreyfus, 1999). Entre las razones consideradas para estas dificultades, por parte de los alumnos, se tiene que el aprendizaje de la demostración requiere la coordinación de un rango de competencias cada una de las cuales, individualmente, está lejos de ser trivial (Hoyles, 1997); esos acercamientos de enseñanza a menudo tienden a concentrarse en la comprobación y devalúan u omiten la exploración y la explicación (de Villiers, 1998) y el hecho de que aprender a demostrar involucra el hacer que los estudiantes logren la difícil transición desde una visión computacional de las matemáticas hasta una visión que concibe a las matemáticas como un campo de estructuras intrincadamente relacionadas (Dreyfus, 1999).

A pesar de la complejidad total de aprender a razonar deductivamente en las matemáticas, y la abundancia de evidencia que sugiere cómo esto puede resultar difícil para los estudiantes, hay estudios que muestran que los estudiantes pueden aprender a argumentar matemáticamente. La investigación de, por ejemplo, Maher y Martino (1996) y Zack (1997) a nivel de la escuela elemental, y de Dreyfus y Hadas (1996) y de Boero y colegas (por ejemplo, Boero et al., 1996) a nivel de la escuela secundaria, ilustra cómo los estudiantes pueden aprender a desarrollar elementos de argumento deductivo y cómo estas nociones de demostrar pueden depender del carácter del aula, las tareas que los estudiantes abordan, y las formas de interacciones que tiene lugar entre los estudiantes y entre el maestro y los estudiantes, así como las herramientas disponibles para los estudiantes. Es debido a la naturaleza compleja de las interacciones entre estos elementos que, como Dreyfus (1999) concluye, mucho permanece desconocido sobre cómo el razonamiento deductivo matemático de los estudiantes evoluciona y cambia.

En geometría, un área del plan de estudios íntimamente conectada con el desarrollo del método deductivo, los software de computadora generalmente conocidos como ambientes de geometría dinámica (AGD) parecen tener el potencial para proporcionar a los estudiantes experiencia directa en teoría geométrica y, por tanto, romper con lo que puede ser una separación desafortunada entre la construcción geométrica y la deducción (para una revisión ver Chazan y Yerushalmy, 1998, p.72-77). Como tal, el uso de AGD por los estudiantes podría tener un papel importante que jugar, al permitir a los estudiantes formular explicaciones deductivas y mantener un fundamento para el desarrollo de una idea de la prueba y la demostración. Sin embargo, las preocupaciones subsisten en cuanto a que la oportunidad ofrecida por el software, para probar innumerables diagramas a través del uso de la función de “arrastre” proporcionada por el AGD, o de confirmar las conjeturas a través del uso de las dimensiones (que se van ajustando cuando la figura se arrastra), podrían reducir la necesidad percibida de hacer una prueba deductiva (Chazan, 1993; Laborde, 1993; Hanna, 1998; Hoyles y Jones, 1998). Si los estudiantes han de obtener desenvoltura en el método deductivo, a través de la experiencia con un AGD, entonces un problema particularmente importante es el impacto que produce el usar tal software en la interpretación que los estudiantes hacen de los objetos geométricos que ellos encuentran por este camino y en cómo ellos aprenden a expresar las explicaciones y comprobaciones de teoremas geométricos, propiedades y clasificaciones (vea Laborde y Laborde, 1995; Hoyles 1995).

Gran parte de la investigación previa con ambientes de geometría dinámica se ha enfocado muy apropiadamente en estudiantes de bachillerato (senior high), donde los estudiantes han recibido una enseñanza considerable sobre geometría plana, incluyendo la demostración de teoremas elementales, pero pueden ser novatos en el uso de la herramienta de software particular. Lo que está menos claro hasta el momento es qué impacto tiene el uso de software de geometría dinámica con estudiantes de escuela secundaria (high junior), donde los estudiantes tienen experiencia limitada con los aspectos formales de la geometría, pero donde la teoría geométrica a través del software puede ser especialmente valiosa para proveer fundamentos para el trabajo posterior en el desarrollo del razonamiento deductivo. Por el momento, demasiado pocos estudiantes hacen la transición al estudio matemático más formal, en el que probar y demostrar son centrales, exitosamente. El objetivo del estudio aquí reportado es contribuir a lo que se sabe acerca de la capacitación de más estudiantes para hacer esta transición con éxito. 

Para intentar ilustrar el impacto de usar tal software, y para determinar su influencia a largo plazo, este trabajo reporta un análisis de los datos obtenidos en un estudio longitudinal (ver Jones, 1996, 1997, 1998) con estudiantes de escuela secundaria inferior (de 12 años de edad) que aprenden aspectos de geometría en un AGD particular, específicamente Cabri-géomètre versión 1.7 (Baulac et al., 1988). El enfoque de este trabajo es la matematización progresiva (ver más abajo) del sentido que los estudiantes otorgan al software, usando como un indicador de ello la información de sus interpretaciones y las explicaciones que ellos dan de las propiedades geométricas de las figuras que construyen.

En este trabajo, una explicación se considera “aquello que explica, hace claro o da cuenta de” (vea el Diccionario Oxford inglés, 1989) y la verificación se toma como “la demostración de la verdad o exactitud por hechos o circunstancias” (op.cit.). En términos de matemáticas y siguiendo a Balacheff (1988a: 2), una explicación matemática se toma como “el discurso de un individuo que intenta establecer para alguien más la validez de una declaración [matemática]”. Además, y donde estos términos son usados, una prueba es “una explicación que es aceptada por una comunidad en un momento dado”, y una prueba matemática es “una prueba aceptada por matemáticos” (de nuevo siguiendo a Balacheff ).

El análisis de los datos del estudio longitudinal que se reporta en este trabajo se enfoca en las interpretaciones de los estudiantes, sobre todo en la apropiación de la terminología matemática para explicar dentro de contextos geométricos cuando esto es mediado a través de un ambiente de geometría dinámica. Como Edwards (1997, pág. 188) explica, “para apoyar significativamente la enseñanza de la prueba, nosotros tenemos que entender cómo es que los estudiantes aprenden a razonar, cómo ellos llegan a percibir y describir patrones matemáticos, cómo son construidas las generalizaciones y los argumentos matemáticos, y cómo estos procesos pueden ser  favorecidos en el aprendiz” (énfasis en el original). Este artículo se concentra en cómo los estudiantes razonan sobre los objetos geométricos y las relaciones cuando ellos experimentan a través de un ambiente de geometría dinámica y cómo las explicaciones matemáticas que ofrecen evolucionan cuando ellos obtienen más experiencia tanto con la geometría como con el software.

INTERPRETACIONES DE LOS ESTUDIANTES DE LOS AMBIENTES DE GEOMETRÍA DINÁMICA

En esta sección se hace un resumen breve de algunos de los resultados obtenidos en la investigación sobre cómo los estudiantes interpretan objetos geométricos y relaciones cuando usan software de geometría dinámica. En general, como Goldenberg y Cuoco (1998) observaron, todavía se desconoce mucho acerca de cómo los estudiantes aprenden las ideas geométricas, poco a poco,  a partir de las complejas figuras movibles que pueden encontrar con un AGD. Lo que es conocido es que el ambiente de la computadora afecta las acciones que son posibles cuando se resuelven  problemas (una tarea resuelta usando el software de geometría dinámica puede requerir estrategias diferentes a las requeridas por la misma tarea cuando es resuelta con lápiz y papel) y afecta la retroalimentación que se proporciona al usuario (ver Laborde, 1992,1993a, 1993b). El AGD también introduce un criterio específico de aprobación para la solución de un problema de construcción: una solución es válida si y sólo si no es posible “echarla a perder”[1] usando la función de arrastre (para usar la expresión adoptada por el Healy et al., 1994, también véase Noss et al., 1994), o, en otros términos, que haya “robustez de la figura bajo arrastre” (como la usada por Balacheff y Sutherland, 1994, pág. 147). Este criterio de aprobación no depende de la apariencia perceptual del producto de la construcción, ya que esta apariencia puede ser modificada usando el arrastre fácilmente. Para aprobar esta “prueba de arrastre” la figura tiene que ser construida de tal  manera que sea consistente con la teoría geométrica.

Laborde (1993a, p.49) resalta una distinción importante entre dibujo y figura: “dibujo se refiere a la entidad material, mientras figura  se refiere a  un objeto  teórico”. En términos de un paquete de geometría dinámica, un dibujo puede ser una yuxtaposición de objetos geométricos que se parecen mucho a la construcción  intentada (algo que puede ser hecho para “parecer correcto”). En contraste, una figura captura adicionalmente las relaciones entre los objetos de tal manera que la figura es invariable cuando cualquier objeto básico usado en la construcción se arrastra (en otras palabras, que pasa la prueba del arrastre). Hólzl (1995, 1996) encontró que los aprendices pueden quedar ‘atascados’ en alguna parte entre un dibujo y una figura. Él sugiere que esto se relaciona con el hecho de que en un AGD, tal como Cabri-géomètre, el proceso de la comprobación es controlado por el modo de arrastre. Él sugiere que dentro de más poderosa sea la herramienta computacional, más esfuerzos didácticos se requerirán para provocar que los alumnos se enfoquen en las relaciones matemáticas pertinentes.

Otra pregunta abierta hasta el momento es cómo los estudiantes pueden distinguir características fundamentales de la geometría de los rasgos que son resultado del diseño particular del AGD. Como Balacheff (1996, pág. 7) demuestra con respecto a Cabri-géomètre, la organización secuencial de acciones necesarias para producir una figura en Cabri introduce un orden explícito de construcción dónde, para la mayoría de los usuarios, el orden no se espera normalmente o, incluso, ni siquiera importa. Por ejemplo, Cabri-géomètre induce una orientación en los objetos: un segmento AB está orientado porque A es creado antes que B. Esto tiene sentido probablemente en un ambiente de manipulación directo, pero es contradictorio al hecho de que con papel-y-lápiz estos objetos no tienen ninguna orientación, a menos que ello se declare explícitamente. En una figura compleja esta organización secuencial produce lo que es, en efecto, una jerarquía de dependencias dado que cada parte de la construcción depende de algo creado antes. Hoyles (1995, pág. 208) identifica esto como una fuente potencial de confusión en Cabri-géomètre ya que cualquier jerarquía de relaciones que se ha establecido no puede modificarse después (sin deshacer mucho de lo que se ha hecho, o incluso teniendo que empezar toda la construcción de nuevo).

Al observar a algunos estudiantes jóvenes que intentaban construir un rectángulo usando el paquete de software de geometría dinámica Cabri, Hólzl et al. (1994, pág. 11) encontraron que para hacer algún progreso con tal tarea los estudiantes tenían que ponerse en contacto con “la esencia misma de Cabri; que una figura consiste de relaciones y que hay una jerarquía de dependencias” (énfasis en el original). Un ejemplo de esta jerarquía de dependencias es la diferencia (en Cabri l para PC) entre punto básico, punto en un objeto y punto de intersección. Mientras que los tres tipos de puntos son idénticos en la pantalla, los puntos básicos y los puntos en los objetos son movibles (con las restricciones obvias en el último caso). Sin embargo, un punto de intersección no puede arrastrarse. Esto es porque un punto de intersección depende de la posición de los objetos básicos que se cortan. Sólo los objetos básicos (como los puntos básicos, líneas, etc.) usados en una construcción puede arrastrarse. Los objetos dependientes, tales como los puntos de intersección, sólo se mueven como una consecuencia de su dependencia de estos objetos básicos. De su estudio, Hólzl et al concluyen que los estudiantes necesitan desarrollar una conciencia de tal dependencia funcional para ser exitosos con tareas no-triviales de construcción geométrica, al usar el software de geometría dinámica. La idea de dependencia funcional está, dentro del ambiente de geometría dinámica, íntimamente conectada con la noción de robustez de una figura bajo arrastre como se expresó arriba. Dadas las complejidades involucradas, Hólzl et al reportan que “no sorprendentemente, la idea de dependencia  funcional ha demostrado ser difícil de comprender (para los estudiantes)” (op.cit.).

Lo anterior sugiere que, si los AGD han de ser recursos útiles para ayudar a construir un fundamento para el razonamiento deductivo a los estudiantes más jóvenes, entonces es importante saber qué interpretaciones hacen estos estudiantes de los objetos geométricos y las relaciones experimentadas a través de un AGD. De particular importancia es su significado de “dibujo” y “figura” (siguiendo el trabajo de Laborde y de Hölzl) y de la naturaleza de los objetos geométricos y las relaciones, sobre todo de la noción de dependencia. La próxima sección da una descripción concisa del sustento teórico del estudio informado en este artículo. 

SUSTENTO TEÓRICO

Además de una consideración acerca de investigaciones anteriores llevadas a cabo con software de geometría dinámica, a algunos de los cuales se hizo referencia anteriormente, el marco teórico usado para situar e informar el diseño, implementación y análisis del componente empírico del estudio longitudinal global, del cual fueron tomados los datos reportados en este artículo, se deriva de la investigación en las áreas siguientes:

a)      Modelos teóricos de la enseñanza y aprendizaje de los conceptos geométricos, especialmente el modelo de van Hiele (ver, por ejemplo, van Hiele, 1986; Fuys et al., 1988),

b)      Perspectivas teóricas en la enseñanza y el aprendizaje del razonamiento deductivo, especialmente el trabajo de Balacheff (1988 a y b), de Villiers (1990, 1998), y Hanna (1990, 1998),

c)      Perspectivas socioculturales del aprendizaje, especialmente el trabajo de Wertsch (1991, 1998),

d)      Perspectivas teóricas del papel de las herramientas tecnológicas en el proceso de aprendizaje, especialmente el trabajo de Pea (1987, 1993),

e)      Perspectivas teóricas en matematización, incluso el trabajo de Gattegno (1998) y Wheeler (1982) junto con, en un sentido completamente restringido, aspectos de la matematizar en trabajos del paradigma de la educación matemática realista (RME), por ejemplo, Treffers (1987).

Principalmente, este artículo está interesado, con el último componente teórico, la noción de matematización, la cual se trata con más detalle en párrafos posteriores. Los rasgos principales de las otras posiciones teóricas, en cuanto se relacionan con este estudio particular, son como sigue. El modelo de van Hiele proporciona un fondo que enmarca el estudio, sobre todo en cuanto a cómo las transiciones entre los niveles de van Hiele son consideradas cambios psicológicos críticos con importantes implicaciones para el aprendizaje posterior. Por ejemplo, en el modelo de van Hiele el cambio del nivel 2 (identificación de las figuras geométricas por sus propiedades, que son vistas como independientes) al nivel 3 (reconocimiento que una propiedad geométrica de una figura precede o sigue de otras propiedades), y el progreso subsiguiente dentro del nivel 3, es importante sobretodo porque esto provee los fundamentos para el proceso completo de prueba deductiva en el nivel 4 de van Hiele. La evidencia disponible es que tal progreso es hecho por los estudiantes lentamente, y que hay pocos estudiantes que progresen más allá del nivel 2, aun al final del bachillerato (Senk, 1989). En términos del uso del software de geometría dinámica, un estudio de caso a profundidad, de un único estudiante de 6º grado, sugiere que usar tal software podría ayudar a los estudiantes a progresar hacia los niveles de van Hiele más altos (Choi koh, 1999). Al examinar el razonamiento deductivo de los estudiantes y los procesos de prueba, Balacheff (1988b: 216-218) encontró útil distinguir entre lo que él llamó “pruebas pragmáticas”, que son “aquellas que tienen que recurrir a acciones reales o a exhibiciones” y “pruebas conceptuales”, que “no involucran acciones y descansan en las formulaciones de las propiedades en cuestión y las relaciones entre ellas”. En términos de qué es aprender y cómo se aprende, desde la perspectiva de la teoría sociocultural la suposición es que usar una herramienta tal como un paquete de geometría dinámica no sirve sencillamente para facilitar los procesos mentales que existirían de cualquier manera. En lugar de eso, el uso del software es ideado fundamentalmente para dar forma y transformar los procesos mentales de los usuarios (ver Jones, 1998; Mariotti and Bartolini Bussi, 1998; y, para una discusión más general de mediación semiótica, Bartolini Bussi and Mariotti, 1999). Finalmente, siguiendo de esto y usando la terminología de Pea (1987, 1993), los ambientes de software exploratorios en educación matemática, de los cuales la geometría dinámica es un ejemplo, puede decirse que actúan como reorganizadores cognitivos más que, simplemente, amplificadores de las capacidades humanas existentes.

Como se destacó anteriormente, este artículo usa principalmente (una versión un tanto especializada de) la noción de matematizar, y, ciertamente de matematización progresiva (una idea tomada de Treffers, 1987, ver abajo). La matematización, siguiendo a Gattegno (op.cit.) y Wheeler (op.cit), involucra una variedad de procesos y  aptitudes tales como la habilidad para percibir relaciones e idealizarlas en material puramente mental, la capacidad para internalizar acciones y cosas así (como preguntar “¿Qué pasaría si?”), y la habilidad para transformar a lo largo de varias dimensiones, así como de las acciones a las percepciones y de las imágenes a los conceptos. Más a menudo ella es usada cuando al mirar una situación ‘real’ (como en la tradición RME[2]), se abstraen de ésta los elementos buscados para un estudio más próximo (o que parece tratable), o se establece un modelo matemático, o se hacen inferencias dentro del modelo, o se verifica si los resultados del modelo son obtenidos por observación y experimentación, o se ajusta el modelo para hacerlo aproximarse mejor a la realidad, y así. La matematización progresiva, como la define Treffers (op. cit.), es el proceso por el cual los modelos matemáticos son desarrollados a través del posicionamiento sucesivo de contextos que dan cuerpo a la estructura subyacente de los conceptos.

Estas ideas de matematización y matematización progresiva, son usadas en este artículo en el siguiente sentido. Al abordar tareas que involucran a la geometría de la escuela elemental, usando el software de geometría dinámica, puede decirse que los estudiantes están involucrados en el modelaje de una situación geométrica usando las herramientas disponibles en el software. Esto involucra establecer una construcción y reconocer si es apropiada, y muy probablemente, ajustarla para que cumpla la especificación del problema (producir una ‘figura’, más que un ‘dibujo’, en el sentido de Laborde anteriormente expuesto). Para los propósitos de este trabajo, esto se toma como una forma de matematizar. Cuando las tareas que los estudiantes abordan están ligadas de alguna manera, como involucrar las propiedades de los cuadriláteros (con un enfoque en la relación entre tales propiedades), este proceso de matematizar se convierte más en un proceso de matematización progresiva ya que los estudiantes desarrollan una comprensión de las relaciones fundamentales de las propiedades geométricas.

En la siguiente sección se describe la metodología precisa. Sobre todo, el diseño de la investigación sigue el ejemplo de Meira al enfocarse en cómo “los artefactos instructivos y los sistemas representacionales son usados y transformados de hecho por los estudiantes en actividad” (Meira, 1995, p.103, énfasis en el original) más que preguntarse únicamente si los estudiantes aprenden mejor aspectos particulares de la geometría al usar una herramienta tal como un AGD cuando se le compara con el uso de otras herramientas (tales como regla y compás). La razón de esto es que el foco de interés es tanto qué aprenden los estudiantes como cómo lo aprenden.

EL DISEÑO DE LA INVESTIGACIÓN

El trabajo empírico de este estudio fue diseñado para ser llevado a cabo en el Reino Unido (GB, Gran Bretaña, por sus siglas en inglés[3]) y, siguiendo a Hoyles (1997), el diseño estaba orientado por la estructura del plan de estudios de matemáticas acostumbrado por los estudiantes en GB. Como Hoyles describe, mientras la prueba formal en el Reino Unido es limitada probablemente para los estudiantes más capaces solamente (y probablemente encontradas por los estudiantes únicamente en la escuela secundaria superior), el plan de estudios sí proporciona oportunidades para conjeturar y presentar generalizaciones en todos los niveles. En términos de geometría, el plan de estudios intenta incorporar aspectos de las siguientes geometrías: plana, analítica/de coordenadas, y de transformaciones. Tales consideraciones del plan de estudios significan que los estudiantes en la escuela secundaria saben generalmente, por ejemplo, algunas de las propiedades de ciertas figuras geométricas, tienen alguna experiencia en conjeturar y describir observaciones en situaciones-problema abiertas, pero no han sido introducidos a los aspectos formales de la prueba y la demostración. En términos de experiencia con ambientes computacionales, los estudiantes tradicionalmente han seguido un curso de informática tecnológica, lo que significa que tienen alguna facilidad con el uso del ratón de la computadora, artículos del menú, y archivos computacionales.

El tópico geométrico escogido como más apropiado para el estudio empírico fue la clasificación de cuadriláteros. Hubo dos razones principales para esta decisión. Primero, en términos de la ‘familia de cuadriláteros’, ha habido tanto discusión acerca de la clasificación de cuadriláteros (por ejemplo, de Villiers 1994), como investigación que involucra la habilidad de los estudiantes para clasificarlos, incluyendo tanto investigaciones usando el modelo de van Hiele (por ejemplo, Fuys et al., 1988), como  investigación que involucra a los alumnos en el uso del ambiente de programación matemático Logo (ver  Hoyles y Noss, 1992, para una revisión extensa). Como de Villiers (1994, p.11-12) explica, clasificar está estrechamente relacionado con definir (y viceversa) y las clasificaciones pueden ser jerárquicas (al usar definiciones inclusivas, tales como un trapecio es un cuadrilátero con al menos un par de lados paralelos, ­ lo que significa que un paralelogramo es una forma especial de trapecio) o partitivas (por usar definiciones exclusivas) tales como un trapecio es un cuadrilátero con sólo un par de lados paralelos, el cual excluye al paralelogramo de ser clasificado como una forma especial de trapecio. En general, en matemáticas, las definiciones inclusivas (y por tanto las clasificaciones jerárquicas) son preferidas (aunque debería enfatizarse que las definiciones exclusivas y las clasificaciones partitivas no son ciertamente incorrectas matemáticamente, sólo menos útiles). De Villiers (1994, p.17) cita varios estudios (incluyendo Fuys et al., 1988) que han mostrado muy claramente que muchos estudiantes tienen problemas con la clasificación jerárquica de los cuadriláteros. Él sugiere que algunas de las dificultades “no necesariamente descansan en la lógica de inclusión como tal sino, a menudo, con el significado de la actividad, tanto lingüística como funcionalmente: lingüísticamente en el sentido de interpretar correctamente el lenguaje usado por la inclusión de clases, y funcionalmente en el sentido de entender por qué es más útil que una clasificación partitiva”. Él observa que el ambiente de geometría dinámica “ofrece gran potencial para permitir a muchos niños ver y aceptar conceptualmente la posibilidad de inclusiones jerárquicas (por ejemplo, dejarlos dibujar los vértices de un paralelogramo dinámico, transformarlo en un rectángulo, rombo o cuadrado)”. Estos comentarios de de Villiers, junto con la lectura de otros trabajos sobre la clasificación de cuadriláteros, influyó en la forma precisa del trabajo empírico descrito anteriormente.

La segunda razón para escoger la clasificación de cuadriláteros fue más práctica que epistemológica. Sucedía que un tema bastante abandonado dentro del componente geométrico del plan de estudios de matemáticas de la GB es el entendimiento y uso de las propiedades de las formas planas. En la secundaria (edades 11-13) el énfasis en este componente del plan de estudios se mueve desde el reconocimiento (informal) y ordenamiento de las figuras geométricas hacia las definiciones formales requeridas para clasificar y deducir las propiedades de, y las relaciones entre, tales figuras. Escoger este tópico significó ajustarse al programa de la escuela y no requerir de una dispensa especial si se incorporaba dicho tópico (en el GB el currículum es obligatorio y si una escuela desea variar esto requiere una dispensa). Escoger un tópico que ocurre comúnmente significa también que los resultados de la investigación pueden ser encontrados útiles por los maestros de matemáticas de secundaria practicantes.

Cada vez que fue posible, el diseño de opciones era elaborado con una visión de lo típico del escenario. La escuela seleccionada para el trabajo empírico fue una escuela urbana general cuyos resultados en matemáticas, para alumnos de 16 años, estaban en la media nacional (hay un sistema nacional de pruebas en el GB que permite hacer tales juicios). Los maestros de matemáticas en la escuela usaban un acercamiento basado en problemas para la enseñanza de las matemáticas y los estudiantes trabajaban en problemas matemáticos usualmente en pareja o grupos pequeños y ocasionalmente usaban computadoras. A lo largo de su trabajo matemático se esperaba que los estudiantes explicaran las matemáticas que estaban haciendo, ya sea oralmente o por escrito. Esto significa que el trabajo en geometría usando el software de geometría dinámica se ajustaría a la experiencia usual de los estudiantes. Las clases de los alumnos de 12 años de edad en la escuela tenían cuatro lecciones de matemáticas de cincuenta minutos a la semana.

La clase de 12 años de edad seleccionada en particular para la investigación se juzgaba adecuada típicamente para estudiar las relaciones entre cuadriláteros en cuanto a que ellos estaban por arriba del promedio en matemáticas para su edad (la escuela asignaba a los estudiantes diferentes clases matemáticas de acuerdo a su desempeño en las pruebas de matemáticas). Una unidad de enseñanza fue desarrollada en colaboración con el profesor de la clase que abordaría las propiedades de los cuadriláteros y podría ser acomodada en la rutina regular de la clase. Durante la mayor parte de los 9 meses del estudio hubo hasta cuatro computadoras disponibles en el salón de clases. Esto significa que, cuando las parejas de estudiantes tomaban turnos al usar las computadoras, podía haber huecos de hasta una semana entre las sesiones en las que alguna pareja de estudiantes particular usaba el software. Durante estos espacios los estudiantes hacían otros trabajos de matemáticas, incluyendo algunos temas geométricos como área y volumen, pero no directamente acerca de las propiedades geométricas de los cuadriláteros. La versión de Cabri-géomètre en uso fue Cabri I para PC.

Al inicio y al final del trabajo de la unidad todos los estudiantes de la clase fueron evaluados usando una prueba de van Hiele (Usiskin, 1982). La unidad de enseñanza estaba preparada para formar tres fases, y diseñada para ajustarse alrededor de otro trabajo matemático de la clase. Durante cada una de las fases, los estudiantes trabajaron en parejas (usualmente las parejas con las que trabajan en todo su trabajo matemático).

Figura 1.   Una tarea ejemplo de la fase 1

Durante la fase 1 los estudiantes obtuvieron experiencia preliminar con Cabri-géomètre mientras trabajaban con una serie corta de tareas que involucraban líneas y círculos (ver la Figura 1 como un ejemplo). El objetivo de la fase era que los estudiantes adquirieran familiaridad con la interfaz del software y se introdujeran a la restricción de robustez de una figura bajo el arrastre (ver Balacheff y Sutherland, 1994, p.147). Para cada tarea (en la Fase 1 y en las fases subsecuentes) el desafío para los estudiantes era reproducir, usando el software, una figura idéntica a la proporcionada en una hoja pero que no pudiera “revolverse” (esta frase[1] sugerida por Healy et al, 1994, era usada con regularidad con los estudiantes). La Figura 1 muestra un ejemplo de una de las tareas de la fase 1. Las tareas usadas en cada una de las tres fases del estudio estaban diseñadas de manera tal que, para poder superar el desafío de construir figuras invariantes bajo el arrastre, los estudiantes tenían que analizar los arreglos espaciales (tomados como una forma de matematizar) y, dado que ellos eran principiantes con el software, debían resolver cómo realizar sus construcciones en el ambiente de software de tal forma que no sólo éstas parecieran ser correctas visualmente de forma estática sino que cuando algunos objetos (tales como puntos, líneas o círculos) usados en la construcción fueran arrastrados, los modelos permanecieran coherentes. Siguiendo a Laborde (1993a, p. 49), el desafío para los estudiantes es producir una ‘figura’ (la cual hace uso de las relaciones geométricas) más que un ‘dibujo (el cual sólo se parece a la figura requerida pero fracasa en la prueba de arrastre). Para la mayoría de los estudiantes, la Fase 1 tomó más de tres horas usando el software.

La fase 2 de la unidad de enseñanza involucró a los estudiantes en el trabajo a través de una serie de tres tareas que requerían la construcción de los siguientes cuadriláteros: un rombo, un cuadrado, y un papalote. Cada una de las tareas contenía un mensaje visual y el desafío de construir la figura para que fuera invariante bajo el arrastre y explicar por qué la figura construida era un cuadrilátero particular. La Figura 3 muestra el mensaje visual que los estudiantes recibieron para construir un cuadrado (Tarea 2 en la Fase 2 de la secuencia de tareas).

            Las tareas de la fase 2 se diseñaron en consonancia con la idea de matematizar progresivamente, con la intención de que los estudiantes llegaran a ser más expertos para analizar la estructura geométrica proporcionada en el mensaje visual y que, habiendo hecho esto, pudieran usar este análisis para explicar por qué la forma era el cuadrilátero particular. La secuencia de las tareas (el rombo, el cuadrado, el papalote) se diseñó con la intención de que los estudiantes pudieran usar acercamientos y propiedades geométricas adquiridas al resolver las primeras tareas al acercarse a las posteriores (incluyendo aquéllas de la fase 3 que se explica más abajo). Mientras, inicialmente, la noción de robustez bajo arrastre se presentó como un desafío a los estudiantes, ambas fases, la 2 de la unidad de enseñanza y la fase 3 fueron diseñadas para que esta noción se pusiera íntimamente en conexión con las propiedades geométricas de los cuadriláteros que son construidos. De esta manera se intentaba que los estudiantes llegaran a apreciar, en términos de razonamiento geométrico, la importancia de la robustez bajo arrastre y su utilidad como una prueba de la validez de construcciones en términos de la teoría geométrica. A los estudiantes les tomó aproximadamente dos horas completar la fase 2 de la unidad de enseñanza.

	Construir estas figuras de manera que no se puedan “revolver”. ¿Qué sabes acerca de esta forma a partir de la manera en que la construiste? Piensa acerca de … lados                            … diagonales.  Explica por qué la figura es un cuadrado

Figura 2.   El mensaje visual para  construir un cuadrado (Tarea 2, escalone 2).

La fase 3 de la unidad de enseñanza involucró a los estudiantes a trabajar a través de una serie de seis tareas que implicaban relaciones entre varios cuadriláteros: el rombo y el cuadrado, el rectángulo y el cuadrado, el romboide y el rombo, el paralelogramo y el trapecio, el rombo, el rectángulo y el paralelogramo. A la mayoría de los estudiantes les tomó hasta tres horas esta fase de la unidad de enseñanza. Para cada tarea, a los estudiantes se les proporcionó un mensaje visual similar al de la Figura 2 y el desafío de construir la figura para que fuera invariante bajo arrastre así como explicar por qué todos los cuadrados son rectángulos, por ejemplo, o por qué todos los rectángulos son paralelogramos. La razón para esta opción de secuencia es investigar la concepción desarrollada por los estudiantes de esta clasificación matemática inclusiva.

La sexta y última tarea de la fase 3 pidió a los estudiantes completar una clasificación jerárquica (inclusiva) de la “familia” de cuadriláteros y explicar las relaciones dentro de esta “familia” (vea Figura 3a y 3b). En esta tarea final la redacción usada era que un cuadrilátero particular (llámese un cuadrado) era “un caso” especial de otro cuadrilátero (en este ejemplo, ambos de un rombo y un rectángulo). Esta redacción era escogida como otra manera de expresar la clasificación matemática inclusiva. A través del uso de estas redacciones diferentes (que todos los cuadrados son rectángulos, y que un cuadrado es un caso especial de un rectángulo) un esfuerzo fue hecho para tomar en cuenta lo que Hershkowitz (1990, pág. 81) llama “la relación de inclusión de dirección contraria” entre los conjuntos y subconjuntos de ejemplos de, digamos, cuadriláteros, por un lado, y los conjuntos y subconjuntos de sus atributos por el otro (por ejemplo, que el conjunto de los cuadrados está incluido en el conjunto de los paralelogramos que, a su vez, están incluidos en el conjunto de los cuadriláteros, pero que el conjunto de atributos críticos de los cuadrados incluye el conjunto de atributos críticos de los paralelogramos que incluyen el conjunto de atributos críticos de los cuadriláteros). El impacto de esta relación de inclusión de dirección contraria es que, por ejemplo, los niños jóvenes no pueden considerar un cuadrado como un cuadrilátero porque un cuadrado tiene cuatro lados iguales mientras otros cuadriláteros no.

Durante cada fase, se hicieron esfuerzos para restringir las intervenciones del maestro y del investigador a lo siguiente: respuestas (a menudo en forma de preguntas) a las preguntas del estudiante, y petición de explicaciones a los estudiantes. A veces se ofrecieron sugerencias cuando los estudiantes no sabían cómo proceder. El momento y naturaleza de estas ocasiones era registrado. Se prestó particular atención a momentos en los que se introducía y usaba terminología geométrica. La naturaleza e impacto de las intervenciones son un aspecto importante del análisis de los datos de este estudio y se informarán en otra parte. Al planear el estudio empírico fue previsto que la naturaleza de las intervenciones cambiaría durante las varias fases de la unidad de enseñanza, a partir de preocupaciones por los aspectos del software en la fase 1, a otras que relacionan las propiedades de cuadriláteros particulares en la fase 2, a otras más que involucran las relaciones entre los cuadriláteros en la fase 3. Se hizo una decisión consciente para enfocar las intervenciones en las propiedades geométricas de los cuadriláteros y para no animar al uso de las herramientas de medición (tales como longitud y ángulos) involucradas en el ambiente del software. Siguiendo el armazón teórico y la práctica usual del maestro de la clase, se diseñó la naturaleza de las intervenciones para ser consonante con la participación guiada en la actividad sociocultural. Como se hizo notar anteriormente, la norma del aula para los estudiantes era proporcionar explicaciones y para éstas estar relacionadas con la estructura de los problemas que estaban siendo abordados. 

Hubo 28 estudiantes en la clase experimental. Se estudiaron siete parejas de estudiantes durante la fase 1 para seleccionar cuatro parejas para el estudio detallado durante las fases 2 y 3. Los cuatro pares de estudiantes estudiados durante las fases 2 y 3 se seleccionaron tanto como representantes del rango de logro, por lo que se refiere los niveles de van Hiele, en la clase, como tomando en cuenta el que cada par trabajó en pareja bastante bien. Los cuatro pares eran como sigue:

-          Par A: ambos estudiantes nivel 1-2 de van Hiele.

-          Par B: un estudiante nivel 1-2, el otro nivel 2, de van Hiele.

-          Par C: ambos estudiantes nivel 2 de Hiele.

-          Par D: un estudiante nivel 2, el otro nivel 2-3 de van Hiele.

 

Para todos los pares de estudiantes estudiados, se reunieron los siguientes datos: vídeo y cinta de audio adicional para capturar el trabajo en la pantalla (de la computadora N. del T.) y las interacciones estudiante-estudiante y estudiante-maestro; el trabajo escrito del estudiante (sin ayuda); el expediente del software del estudiante; la historia de las construcciones del estudiante usando el software (un rasgo disponible con el software particular) y las notas de campo del investigador.

RESULTADOS Y ANÁLISIS

El análisis presentado más abajo se enfoca en los datos de dos pares de estudiantes, los pares A y C, elegidos porque se consideró que los individuos en cada par estaban evaluados en niveles de van Hiele similares. Según el modelo de van Hiele, como van Hiele explica, “cada uno de los niveles [de Van Hiele] tiene sus propios símbolos lingüísticos y sus propias relaciones que conectan estos símbolos. Una relación que es ‘correcta’ en un nivel puede ser incorrecta en otro. Piénsese por ejemplo, en una relación entre un cuadrado y un rectángulo. Dos personas que razonan a niveles diferentes no pueden entenderse. Ni pueden arreglárselas para seguir el pensamiento que procesa del otro” (van Hiele, 1959; citado en Fuys et al., 1988, pág. 6). Así que, en este artículo, escoger los pares A y C significa que el análisis se puede enfocar más precisamente en las interpretaciones y explicaciones de los estudiantes sin ser complicado todavía más por posibles dificultades de comunicación entre los estudiantes. En el plan de la investigación global, los pares B y D fueron escogidos para examinar estos aspectos inter-estudiantes con más detalle, particularmente cuando un estudiante es más capaz (por lo que se refiere a niveles de Van Hiele) que el otro. Estos aspectos inter-estudiantes están sujetos a un análisis que se hará aparte. Baste decir para este artículo que el modelo global de desarrollo analizado más abajo es el típico encontrado con todos los pares de estudiantes.

            En el análisis, el término ‘razonamiento matemático’ se usa para denotar la inferencia lógica y la deducción hechas de forma apropiada al nivel de los estudiantes de secundaria (y no debe tomarse para significar el uso de notación simbólica abstracta, tablas de verdad o pruebas axiomáticas formales, por ejemplo). En el contexto de este estudio el razonamiento matemático puede involucrar el uso de las propiedades de las formas para juzgar la validez de resultados y la justificación de los pasos al dar explicaciones sobre los enunciados. La precisión en el razonamiento matemático se considera que incluye el uso de los términos matemáticos que son apropiados para los estudiantes de secundaria, como opuesto a los términos ‘cotidianos’ para los objetos geométricos como ‘oblongo’, ‘diamante’ u ‘ovalado’. Así ‘razonamiento matemático’ significa hacer declaraciones razonablemente precisas y hacer deducciones acerca de las propiedades y relaciones. Ese razonamiento puede detallarse realmente sin ser necesariamente tan completo como para ser llamado prueba.

La primera parte de esta sección informa sobre la fase 1 de la unidad de instrucción, enfocándose en particular en cómo los estudiantes interpretan la noción de la restricción de robustez de una figura bajo arrastre. La segunda parte de la sección informa sobre dos pares de estudiantes cuando ellos trabajaron a través de una serie de tareas que involucraban la construcción de varios cuadriláteros. El foco de atención son sus interpretaciones usando, como indicación de esto, sus explicaciones matemáticas en evolución cuando ellos intentan explicar las propiedades de los cuadriláteros que construyen.

Fase 1 de la unidad instrucción

La fase sirvió para presentar a los estudiantes el software y la restricción de robustez de una figura bajo arrastre. En esta fase los estudiantes trabajaron a través de una serie corta de tareas que involucraban modelos de líneas y círculos interrelacionados (ver Figura 1 como ejemplo).

Los datos de esta fase dan lugar a varios problemas sobre la interpretación que los estudiantes hicieron del ambiente del software. Algunos de éstos eran bastante triviales. Por ejemplo, la distinción entre líneas (eso es infinito) y segmentos de línea –una distinción que estos estudiantes en particular no habían encontrado previamente. A los estudiantes les tomó mucho más tiempo llegar a acostumbrarse a otros aspectos del ambiente del software. Los más importantes fueron:

1. El aspecto de dependencia funcional como es comprendido en el software en cuanto a que algunos objetos pueden arrastrarse mientras otros no pueden.
2. Las propiedades distintivas de puntos de intersección (qué, en Cabri 1, deben ser explícitamente creados).
3. La secuencia organizacional exigida para construir una figura que sea robusta bajo arrastre.

Estos tres aspectos se relacionan con fenómenos creados por el software (y sólo se relacionan a la teoría geométrica por lo que se refiere a cómo esta teoría se comprende en el software) y es crucial que los estudiantes reconozcan esto si ellos van a ver la geometría a través del software.

Para los estudiantes en el estudio aquí reportado, la noción de la restricción de robustez de una figura bajo arrastre se unió con el uso de puntos de intersección para intentar mantener unida a la figura. Para ilustrar esto, los extractos que aparecen más abajo corresponden a las sesiones transcritas y el trabajo escrito de la pareja C (seudónimos Heather y Karol). En todos los extractos de los datos presentados en adelante, se usan los paréntesis cuadrados para insertar frases cortas que clarifican el significado de los extractos. Se hace un uso normal de signos de interrogación y marcas de exclamación. Las pausas cortas son mostradas por una serie de puntos.

En dos ocasiones durante la sesión 1 (de la fase 1), los estudiantes plantearon preguntas y recibieron información del maestro sobre la dependencia y sobre los puntos de intersección. En la primera ocasión los estudiantes querían borrar un punto. Al intentar hacerlo ellos recibían el mensaje siguiente del software: “¿Borrar este objeto y sus dependientes?”. Ellos le preguntaron al maestro lo que esto significaba. El maestro les sugirió proseguir y borrar el punto y ver lo que pasaba (después de tranquilizarlos explicándoles que ellos podían deshacer el borrado). Los estudiantes anularon el punto y dos segmentos de la línea desaparecieron. Esto le dio oportunidad al maestro de referirse explícitamente a la dependencia:

Maestro: ese segmento de línea dependía de ese punto, y ese segmento de línea también, así que ambos desaparecieron.

[Pareja C, sesión 1 (fase 1)]

Después en la sesión los estudiantes descubrieron que no pueden arrastrar los puntos de intersección que ellos han construido. Aquí el maestro se refiere de nuevo a la dependencia y explica cómo los puntos de intersección dependen de los otros objetos. Después de un poco de arrastrar y pensar, uno de los estudiantes dice:

Karol: No se  puede arrastrar ese punto [un punto de intersección] porque es dependiente de ellos [indicando los puntos que creaban la forma].

[Pareja C, sesión 1 (fase 1)]

El otro estudiante asienta con la cabeza, lo que parece indicar que, a estas alturas, los estudiantes aprecian qué es lo diferente de los puntos de intersección y cómo esto se relaciona a la dependencia. Durante la siguiente sesión, sin embargo, hay evidencia de que ellos han desarrollado su propia, y algo diferente, interpretación.

En la sesión 2, mientras hacían otra tarea que involucra líneas y círculos, el intercambio siguiente tiene lugar:

Karol: ¿Qué está haciendo la [el punto de] intersección? ¿Lo deja [el punto] allí?

Maestro: Lo que estás encontrando es el punto aquí, dónde el círculo cruza la línea.

Karol: Correcto, para que fuera así [indicando un arreglo diferente de líneas], entonces él [el punto de intersección] estaría allí.

Maestro: Siempre es donde cruzan las líneas.

[Pareja C, sesión 2 (fase 1)]

Al plantear la pregunta sobre los puntos de intersección, aquí está una primera indicación de la interpretación que los estudiantes tienen de punto de intersección. Parece que Karol puede pensar que tales puntos tienen un papel en ‘mantener’ una figura unida para que sea invariante bajo arrastre. Más tarde en la sesión el otro estudiante da otra indicación:

Heather: Se tiene que hacer una intersección entre esas dos líneas para que no puedan moverse.

[Pareja C, sesión 2 (fase 1)]

En este caso no está totalmente claro lo que el estudiante quiere decir. Sin embargo, los estudiantes completan, de hecho, las tareas para la sesión con éxito y, al final de la sesión, se les pregunta por qué sus figuras no pueden ser ‘revueltas’. Heather contesta:

Heather: Se quedan juntos debido a las intersecciones.

[Pareja C, sesión 2 (fase 1)]

Esta declaración no es incorrecta ya que se relaciona con su perspectiva sobre la robustez bajo arrastre, pero también enmascara otra interpretación que se revelaría en la siguiente sesión. En su tercera sesión, los estudiantes están en el proceso de construir un rombo para el que ellos necesitan asegurar que es invariante cuando cualquier punto básico usado en su construcción se arrastra. A medida que ellos avanzan construyendo varios puntos de intersección, uno de los estudiantes comenta espontáneamente:

Heather: [refiriéndose a un punto de intersección] es un poco como pegamento realmente. Simplemente los pegó juntos.

[Pareja C, sesión 3 (fase 2)]

Este uso espontáneo del término ‘pegamento’ para referirse a los puntos de intersección ha sido observado por otros investigadores (ver, por ejemplo, Pratt y Ainley, 1996) y es aún más llamativo dado el hecho que antes durante la lección los estudiantes se referían a ellos confiadamente como puntos de intersección (implicando así que los puntos sólo existen si otros objetos geométricos se cortan).

Un poco después en la misma sesión, un estudiante de la pareja le pregunta de nuevo al maestro por qué no es posible ‘arrastrar’ los puntos de intersección. El maestro contesta:

Maestro: Porque los puntos de la intersección solamente muestran donde se cruzan dos cosas.

Karol: ¿Y cómo es que los mantiene unidos si es simplemente un punto para mostrar dónde cruzan?

Maestro: Tú puedes mover ese punto porque es el centro del primer círculo que dibujaste. Así si mueves éste [el punto], entonces estás cambiando el tamaño del primer círculo, el punto dónde cruza al otro círculo cambia, y eso cambia el otro círculo.

Karol: Entonces eso cambia todo.

Maestro: Porque el otro círculo depende de eso.

Heather: Así porque depende de él, se mueve.

[Pareja C, sesión 3 (fase 2)]

Aquí una estudiante, Karol, pregunta, “¿Pero cómo es que él [un punto de intersección] la mantiene [la figura] unida?”. El maestro no responde a esto directamente sino que regresa a la idea de dependencia.

Al final de cada sesión se espera que los estudiantes escriban algo sobre la sesión. Abajo se reproduce un extracto de lo que esta pareja escribe al final de la siguiente sesión:

Las cosas son ‘dependientes’ y cuando están hechos dependientes no se pueden mover. La dependencia es creada por una intersección entre dos cosas. Para este ejercicio nosotros hicimos todo dependiente en la línea perpendicular para que aunque las cosas se muevan de diferentes maneras, una cosa sostiene todo en su lugar.

Tu tienes que hacerlos dependiente con uno, u otro objeto, para que se quede cómo nosotros lo queremos.

[Pareja C, sesión 4 (fase 2)]

Al escribir cosas como  “no pueden moverse” los estudiantes están empleando su propia descripción de in variancia bajo arrastre. Claramente, bajo arrastre, las cosas se mueven, incluso los puntos de intersección. Las ‘cosas’ que no se ‘mueven’ son las relaciones geométricas que se han construido (las líneas paralelas permanecen paralelas, por ejemplo). Son las jerarquías de las dependencias, y la organización secuencial requerida por el software (ver Balacheff, 1996, pág. 7), que los estudiantes están empezando a apreciar lo que es central para construir figuras en un AGD (tal que cualquier construcción particular sea robusta bajo arrastre). Éstos son los rasgos específicos al software y la manera en que la teoría geométrica se comprende en ese ambiente. Como se mencionó anteriormente, Hölzl et al. (1994) encontraron que los estudiantes en su estudio necesitaban desarrollar una conciencia de la dependencia funcional para poder tener éxito con construcciones geométricas no triviales usando AGD. Su experiencia fue que esta idea era difícil de aprehender para los estudiantes. Los estudiantes en este estudio también tomaron tiempo para aprehender la idea de dependencia funcional. Como ya se mencionó anteriormente, el uso espontáneo de la concepción de puntos de intersección como ‘pegamento’, véase el comentario del estudiante de la sesión 3 (fase 2), es un fenómeno observado por otros estudios de las experiencias tempranas de estudiantes más jóvenes con Cabri (ver, por ejemplo, Pratt y Ainley, 1996). Ocurrió espontáneamente en este estudio, a pesar de las intervenciones planeadas por el maestro enfocadas en la noción de dependencia. Alguna evidencia adicional acerca de la dificultad que los estudiantes tienen para interpretar los puntos de intersección la proporciona Hoyles (1995 págs. 210-211).

            Los ejemplos anteriores ilustran cómo la noción de restricción de robustez de una figura bajo arrastre se ligó al uso de puntos de intersección para intentar mantener unida la figura. El enfoque de los estudiantes estaba en los aspectos mecánicos del ambiente del software, como lo manifiestan sus esfuerzos por usar puntos de intersección para asegurar que su construcción no pudiera ser ‘revuelta’, en lugar de enfocarse en la geometría de la figura que se construía. Estas interpretaciones del ambiente del software hechas por los estudiantes en la fase 1 (y en la fase 2) de la unidad de instrucción es un aspecto importante de la matematización progresiva del sentido de los estudiantes sobre el ambiente del software. Esto proporciona parte de la base con la que los estudiantes empezaron a abordar las tareas en las fases 2 y 3, que involucran la teoría geométrica mucho más explícitamente.

En el análisis que viene más abajo, de las fases 2 y 3, una fuente mayor de datos es la escritura sin ayuda de los pares de estudiantes, durante y al final de cada sesión. Esto se incrementa con los extractos de las grabaciones transcritas de las explicaciones orales del estudiante. La razón para enfocarse en las explicaciones de los estudiantes es revelar cómo ellos matematizan progresivamente el sentido que han dado al ambiente de software y cómo esto impacta en su razonamiento matemático en desarrollo. Tal enfoque significa, sin embargo, que, hay poco espacio en general, para mostrar cómo los estudiantes llegaron a sus explicaciones particulares. Éste no es el enfoque de este artículo. Datos del cuerpo global se seleccionan para ilustrar los aspectos principales de cada una de las fases 2 y 3. La selección ha sido hecha con base en la representatividad de los datos como ejemplos de una tendencia global de los estudiantes para la   matematización progresiva.

Fase 2 de la unidad instrucción

La tarea 1 de la fase 2 solicitaba a los estudiantes construir un rombo y explicar por qué la forma es un rombo (la tarea es similar en formato a la usada para construir un cuadrado como el mostrado en Figura 2). Las explicaciones de los estudiantes son como sigue:

Pareja A explicación escrita:

El radio es el mismo para el círculo y el diamante [el rombo] y nosotros hicimos el diamante con ayuda de la primera construcción. Los lados son todos los mismos porque si el centro está en el lugar correcto los lados quedan limitados para ser iguales. Las diagonales del diamante se cruzan en el medio aunque ellas son de tamaño diferente (longitud). Ellas se cruzan en medio a través de la línea. Sus diagonales se bisecan una a la otra. Los ángulos [en la intersección de las diagonales] son todos iguales. Son de 90° grados. Los ángulos opuestos [del rombo] son iguales. Dos son mayores de 90° pero menores a 180° y los otros son menores de 90° pero más de 0°.

Esta forma es un rombo porque los lados son iguales, las diagonales se bisecan en ángulos rectos y los opuestos tienen los mismos ángulos.

La pareja C, en su explicación escrita, se concentra en registrar su comprensión de dependencia (ver arriba). Abajo esta un extracto de la trascripción de la sesión que tuvo lugar cerca del fin de la sesión: 

Maestro: ¿Qué clase de forma es ésa?

Karol: Es un rombo.

Maestro: ¿Cómo sabes que es un rombo? 

Karol: Nuestro antiguo maestro de matemáticas llamaba al rombo un cuadrado ebrio, porque parece como un cuadrado, sólo que enfermo.

Maestro: ¿Qué sabes sobre un rombo, a partir de lo que has hecho? 

Heather: Tiene un centro.

Karol: Está como un diamante.... Pero no es un cuadrado

Maestro: ¿Qué puedes decir sobre los lados o los ángulos. . . o las diagonales?

Karol: Esos dos ángulos [indicando los ángulos correspondientes a un par de vértices opuestos] son iguales, y esos dos son iguales… [indicando el otro par de ángulos opuestos].

Pero ellos no son todos iguales [indicando los ángulos adyacentes]

Y… los lados son de la misma longitud... creo.

Heather: Es la misma distancia por cada lado.

Maestro: ¿Qué puedes decir de cómo se cruzan diagonales?

Karol: Un ángulo recto.

Maestro: ¿Cómo lo sabes?

Karol: Parece recto.

Estos resultados son esencialmente descriptivos más que explicativos, y hay evidencia de una falta de capacidad del estudiante con la terminología matemática precisa (por ejemplo, el uso del vocablo ‘diamante’ por ambas parejas) y algo de confianza en la percepción en lugar de en el razonamiento matemático (por ejemplo, “parece recto”). Como los estudiantes están familiarizados con las propiedades de un rombo ellos pueden proporcionarlas. Sin embargo, es probable que ellos estén poco familiarizados con las nociones de las definiciones matemáticas económicas (de Villiers, 1994, pág. 12), es decir, definiciones que contienen sólo propiedades necesarias y suficientes, y con cómo las propiedades están relacionadas entre sí (más allá de escribir, por ejemplo, que “si el centro está en el lugar correcto los lados quedan limitados para ser iguales”).

En la tarea 2 de la fase 2, se pide a los estudiantes construir un cuadrado y explicar por qué la forma es un cuadrado (ver Figura 2). Las explicaciones escritas de los estudiantes son las siguientes:

Pareja A explicación escrita: 

Es un cuadrado porque los lados son iguales y las diagonales se intersecan. Las diagonales están [en] ángulos rectos (90°). 

Pareja C explicación escrita:

Él [el cuadrado] está formado de cuatro lados iguales. Sus diagonales son iguales. Nosotros sabemos que las diagonales son iguales porque son diámetros del círculo. Las diagonales se cruzan a 90 grados. Los diámetros tienen que ser iguales para que él sea un círculo, y [las] diagonales tienen que ser iguales a 90 grados para que [él] sea un cuadrado.

Es un cuadrado porque dos diagonales iguales cruzan una a la otra en un ángulo de 90 grados.

Para esta tarea, el trabajo escrito de la pareja A parece esencialmente descriptiva mientras que la pareja C (la pareja más capaz) incluye una explicación acerca de que las diagonales del cuadrado son iguales “porque son los diámetros del círculo”. Para ambas parejas, el uso de la terminología matemática es más preciso que en la tarea 1.

Fase 3 de la unidad instrucción

Mientras que las tres tareas de la fase 2 (donde los datos de dos de ellas se han proporcionado anteriormente) estaban interesadas en la construcción de cuadriláteros individuales, las tareas de la fase 3 consistían en construir un cuadrilátero específico (por ejemplo, un rectángulo) de tal manera que arrastrando uno de los vértices él pudiera modificarse (o transformarse) en un caso especial (en el ejemplo del rectángulo, el caso especial sería un cuadrado).

La tarea 5, de la sucesión global de tareas sobre cuadriláteros (la primera tarea de la fase 3), requirió la construcción de un rectángulo que pudiera modificarse a un cuadrado. Se esperaba entonces que los estudiantes explicaran por qué todos los cuadrados son rectángulos. Éstas son sus explicaciones escritas:

Pareja A explicación escrita:

Un rectángulo... se vuelve un cuadrado cuando las diagonales se vuelven ángulos rectos en dónde ellas coinciden.

Pareja C explicación escrita:

Tú puedes convertir un rectángulo en un cuadrado arrastrando un lado más corto para que los otros se pongan más largos hasta que los lados se pongan iguales.

Éstas son explicaciones muy razonables de cómo un rectángulo puede “volverse un cuadrado”. Como puede verse de las explicaciones de los estudiantes, éstas han sido expresadas en términos de la naturaleza del ambiente del software, la pareja C más abiertamente (a través del uso del termino “arrastrar”). Ambas parejas escriben sobre algo que se convierte en algo. Estas explicaciones “pragmáticas”', se propone, son análogas a la noción de pruebas '”pragmáticas”', siendo que tienen el “recurso de las acciones reales’’ (Balacheff, 1988b, págs. 216-218).

Lo que no se evidencia aquí, a estas alturas, es si los estudiantes aprecian que, usando las definiciones inclusivas, un cuadrado es un caso especial de un rectángulo (qué ellos pueden considerar distinto a que un rectángulo tenga la capacidad de convertirse en un cuadrado) o, semejantemente, que todos los cuadrados son rectángulos (aun cuando se les preguntó sobre ello). En parte, claro, éste es el resultado de la tarea, pero la tarea depende del software. En el AGD, por definición, un cuadrilátero construido como un cuadrado no puede modificarse a un no-cuadrado ya que la prueba de validez del arrastre significa que debe seguir siendo un cuadrado cualquiera que sea el objeto esencial en la construcción del cuadrado que se arrastra.

La tarea 6 pedía a los estudiantes que construyeran un papalote que pudiera modificarse a un rombo y explicar por qué todos los rombos son cometas.

En la tarea 7 a los estudiantes se les pide construir un trapecio que pueda modificarse a un paralelogramo para que así pueda explicar por qué todos los paralelogramos son trapecios. Éstas son sus explicaciones escritas:

Pareja A explicación escrita:

Es un trapezoide porque tiene un par de líneas paralelas. Un paralelogramo es paralelo por ambas partes.

Pareja C explicación escrita:

Los trapezoides tienen un conjunto de líneas paralelas y los paralelogramos tienen dos conjuntos de líneas paralelas.

Ninguna de las explicaciones escritas de los estudiantes está determinada por la naturaleza del ambiente del software. Parece haber habido un deslizamiento de explicaciones “pragmáticas” que reflejan la naturaleza del ambiente del software a una explicación matemática. La causa de este cambio se debe principalmente al papel del maestro refiriéndose de forma consistente a las propiedades geométricas de las formas siempre que había una interacción con los estudiantes. El papel jugado por el maestro y el impacto de las interacciones maestro-estudiante es asunto de un análisis aparte.

En la tarea 9 se pedía a los estudiantes que completaran la hoja de cálculo mostrada en la Figura 3a como una manera de mostrar las relaciones entre ‘la familia’ de los cuadriláteros.

Todas las parejas de estudiantes completaron esta tarea satisfactoriamente, en cada caso con alguna interacción con el maestro. Esta interacción consistió en que el maestro refería a los estudiantes a regresar a las tareas más tempranas que habían completado durante la unidad instrucción, y el maestro les pedía a los estudiantes que explicaran cualquier relación entre los varios cuadriláteros que ellos podían identificar. Una hoja de cálculo completa (de la pareja A) se muestra en la Figura 3b. Abajo aparecen extractos de las transcripciones de las lecciones relacionadas con esta tarea que involucran a las parejas A y C.

Extractos de trascripción de la sesión de la pareja A, (los seudónimos Harri y Russell):

Maestro: ¿Por qué un cuadrado es una clase especial de rectángulo?

Russell: Porque ambos tienen dos ángulos rectos [en los vértices] pero con un rectángulo  [indicando uno que no es un cuadrado] uno de los lados es más grande que el otro.

Maestro: ¿Por qué un rectángulo es un caso especial de un paralelogramo?

Harri: Los dos opuestos [los lados] son de la misma longitud pero [indicando un paralelogramo que no es un rectángulo] ellos [los ángulos de los vértices] no son ángulos rectos.

‘Familia’ de los Cuadriláteros Identifica cada uno de los cuadriláteros que aparecen más abajo. Dibuja flechas entre parejas de cuadriláteros para mostrar que uno de los cuadriláteros es un caso especial del otro. Uno ya ha sido resuelto para ti.

Figura 3a. Hoja de trabajo sobre la ‘Familia de los cuadriláteros.

Extractos de la Pareja C, sesión transcripción ( seudónimos Heather y Karol):

Maestro: ¿Por qué un cuadrado es una clase especial de rombo?

Heather: Porque en un cuadrado todos los… todas las esquinas son de 90 grados y todos los lados son iguales, pero en un rombo [indicando uno que no es un cuadrado] todos los lados son iguales pero ellos [los ángulos de los vértices] no son ángulos de 90 grados.

Maestro: ¿Por qué esa flecha? [Indicando que un rombo es una forma especial de paralelogramo]

Karol: Simplemente es como el rombo y el cuadrado porque… porque todos los lados…los lados son… los lados opuestos son de longitud igual, pero allí [en el rombo] ellos [las diagonales] se cruzan a 90 grados y allí [indicando un paralelogramo que no es un rombo] ellos no lo hacen.

‘Familia’ de los Cuadriláteros Identifica cada uno de los cuadriláteros que aparecen más abajo. Dibuja flechas entre parejas de cuadriláteros para mostrar que uno de los cuadriláteros es un caso especial del otro. Uno ya ha sido resuelto para ti.

Figura 3b. Hoja de trabajo sobre la ‘Familia de los cuadriláteros.

Así, a finales de la unidad instrucción, los estudiantes pudieron aceptar preguntas de la forma ‘¿por qué un cuadrilátero es un caso especial de otro?’ y podían ofrecer las explicaciones acerca de por qué éste es el caso. Estas explicaciones son interesantes por lo que se refiere a la dificultad de los estudiantes para articular sus explicaciones sin el recurso de hacer ilustraciones. Considérese la explicación dada por Russell en la contestación a la pregunta, ¿por qué un cuadrado es una clase especial de rectángulo? Decir que “ellos tienen dos conjuntos de ángulos rectos [en los vértices] pero con un rectángulo [indicando uno que no es un cuadrado] uno de estos lados es más grande que el otro” podría tomarse como incorrecto, matemáticamente, porque como el conjunto de los rectángulos contiene al conjunto de los cuadrados (usando una clasificación inclusiva), es incorrecto decir que un rectángulo “tiene uno de los lados más grande que el otro” (ya que la declaración tiene que referirse también a los cuadrados para los que es patentemente falso). El mismo argumento puede darse en cuanto a las explicaciones ofrecidas por los otros estudiantes. Cada uno de ellos tenía que encontrar una manera de indicar que el juego de cuadriláteros más generales al que ellos estaban refiriéndose excluía el caso especial. Esto es porque, como de Villiers (1994: 13) explica, mientras dividir es una “estrategia espontánea y natural” y porque “nosotros normalmente llamaríamos a un cuadrado ‘cuadrado’ y reservaríamos el término ‘rectángulo’ sólo para un rectángulo no-cuadrado (o general)”.

            Al explicar por qué un cuadrado es una clase especial de rectángulo, Russell podría hacer uso de un término como ‘oblongo’ para esos rectángulos que no son cuadrados. Sin embargo, este término no sólo es superfluo en una clasificación inclusiva sino que depende de una definición exclusiva, algo no siempre útil desde una perspectiva matemática y que se descorazona a menudo en los planes de estudios de matemática y libros de texto. La alternativa para los estudiantes habría sido usar una estructura de la frase mucho más complicada, algo como, “ambos, los cuadrados y los rectángulos tienen ángulos rectos en sus vértices pero los rectángulos que no son cuadrados tienen uno de sus lados más grande que el otro”. Esto es donde elementos que tienen que ver con la lógica de las definiciones inclusivas y la clasificación, el lenguaje utilizado para las inclusiones de clase, y los aspectos funcionales de la clasificación jerárquica están todos presentes.

DISCUSIÓN

El aula usada para este estudio fue seleccionada porque los estudiantes estaban acostumbrados a un acercamiento pedagógico que involucra matematizar. El acercamiento usual del maestro era hacer que los estudiantes trabajaran en parejas o grupos pequeños (de 3 a 6 estudiantes) en un rango de tareas basadas en problemas, en algunas ‘reales’ (y similares a aquéllas en la tradición de RME) y algunos de una naturaleza matemática más ‘pura’. Las tareas que los estudiantes abordaron en la unidad de instrucción desarrollada para este estudio eran del último tipo. Su matematización progresiva durante el período de estudio pueden resumirse como sigue:

·                Inicialmente, un énfasis en la descripción en lugar de en la explicación. Confianza en la percepción más que en el razonamiento matemático. Falta de capacidad con el idioma matemático preciso (similar al encontrado en otros estudios, por ejemplo Fuys et al., 1988, págs.  135-136).

·                En una fase intermedia, las explicaciones se vuelven más precisas matemáticamente pero están influenciadas (mediadas) por la naturaleza del software de geometría dinámica (por ejemplo por el uso del término ‘arrastre’ o por otras frases ligadas a la naturaleza dinámica del software).

·                Al final de la unidad de instrucción, las explicaciones se relacionaron completamente con el contexto matemático.

En conjunto, cuando los estudiantes trabajaron a través de la unidad instrucción, había un deslizamiento de su pensamiento a partir de la imprecisión, el uso de expresiones ‘cotidianas’, a través de un razonamiento mediado por el ambiente del software, hasta las explicaciones matemáticas de la situación geométrica.

Dados los problemas significativos que tantos estudiantes tienen con la clasificación jerárquica de cuadriláteros (ver, por ejemplo, Fuys et al., 1988 y de Villiers, 1994) la evidencia reportada en este artículo apoya la sugerencia de de Villiers (op. cit.: pág. 17) que el software de geometría dinámica ofrece “gran potencial para habilitar conceptualmente a muchos niños para ver y aceptar la posibilidad de inclusiones jerárquicas”. Tal resultado debe ayudar a colocar un fundamento sólido sobre el cual desarrollar otras nociones más acerca del pensamiento deductivo.

La investigación reportada en este artículo revela el impacto del uso de software de geometría dinámica como mediador. Como ha sido documentado por este estudio (y por más investigación referida en este artículo), este impacto mediador fue en términos de lo siguiente:

·         La comprensión de los estudiantes en cuanto a que el orden en que se crearon los objetos conduce a una jerarquía de dependencia funcional dentro de una figura.

·         La restricción de robustez de una figura bajo arrastre está ligada a usar puntos de intersección para intentar unir una figura. 

·         La naturaleza ‘dinamica’ del software que influye en las formas de explicación dadas por los estudiantes.

Así, al usar el software de geometría dinámica, los estudiantes necesitan relacionarse con la noción de jerarquía de dependencia funcional dentro de una figura (vea, para más ejemplos, Hölzl et al., 1994; Jones, 1996). Segundo, los estudiantes necesitan ganar una apreciación de la noción de la restricción de robustez de una figura bajo arrastre como un rasgo matemático, en lugar de, decir,  ‘pegamento mecánico’ (Pratt y Ainley, 1996; Jones, 1998). En tercer lugar, la naturaleza ‘dinámica’ del software influye en la forma de las explicaciones dadas por los estudiantes (eso a lo que Hölzl, 1996, pág. 184, se refiere como razonamiento “en un estilo Cabri-específico”).

Como Hölzl (1996) señala, este último ejemplo de mediación de la herramienta es semejante a la noción de ‘abstracción situada’ propuesto por Noss y Hoyles (1996, págs. 122-125) como un paso hacia construir una generalización matemática. En esta conceptualización, la abstracción está ‘situada’ en cuanto a que el conocimiento se define por las acciones dentro de un contexto. Pero es una abstracción en cuanto a que la descripción no es un informe rutinario de la acción sino que ejemplifica las reflexiones de los estudiantes en sus acciones cuando se esfuerzan por comunicar una explicación matemática. La pareja C escribió: “Tu puedes transformar un rectángulo en un cuadrado arrastrando un lado más corto y así los otros se hacen más largos hasta que los lados se ponen iguales”. Tal explicación, usando la distinción de Balacheff (1988), podría llamarse una explicación pragmática ya que se refiere a las acciones reales. La forma de las explicaciones dadas después por los estudiantes en la unidad de instrucción, como descansan en las propiedades matemáticas en cuestión, constituirían, para continuar la analogía, las explicaciones conceptuales.

La evidencia de este estudio indica que el uso de un software de geometría dinámica proporciona a los estudiantes el acceso al mundo de los teoremas geométricos pero ese acceso está mediado por los rasgos del ambiente del software, ciertamente en las etapas vitales temprana e intermedia del uso del software. La investigación descrita en este papel ilustra que con tareas cuidadosamente diseñadas, intervención sensible del maestro, y un ambiente en el aula que anime a conjeturar con un enfoque en la explicación matemática, los estudiantes pueden progresar en la formulación de explicaciones matemáticas y arreglárselas con las definiciones inclusivas, ambos aspectos importantes para desarrollar cierta facilidad con el razonamiento deductivo. Sin tales factores, el impacto mediador del software podría ser tal que distrajera a los estudiantes de la geometría presente en la situación problema o posiblemente reduciría la percepción de la necesidad de una prueba deductiva.

De Villiers (1998) sugiere que un enfoque en la explicación matemática es parte de la ruta hacia una apreciación mayor del papel y función de la prueba matemática. Este estudio fue diseñado para iluminar el impacto del software de geometría dinámica en un componente pequeño de ella, las relaciones entre los cuadriláteros para formar una clasificación jerárquica. Aunque el estudio tome en cuenta la investigación sobre los modelos de pensamiento geométrico de van Hiele, los resultados no deben tomarse como evidencia, necesariamente, de la validez del modelo de van Hiele. Según Duval (1998), por ejemplo, un modelo de aprendizaje de las matemáticas, en el que maneras diferentes de razonamiento matemático están organizadas según una jerarquía estricta, (como en Van Hiele planean) es inapropiado. En lugar de ser representativo de un nivel de pensamiento más alto (o más bajo), Duval argumenta que esos tipos diferentes de actividad cognoscitiva tienen su propio desarrollo específico e independiente (esto puede dar cuenta de la evidencia en cuanto a que los estudiantes parecen operar en más de un nivel de van Hiele simultáneamente, un hallazgo informado por Gutiérrez, Jaime y Fortuny, 1991).

En el aula de matemáticas, los problemas prácticos de cuándo y cómo usar el software de geometría dinámica son muy importantes. Mucha investigación con el software de geometría dinámica, hecha anteriormente, se ha enfocado en estudiantes de bachillerato, quienes han recibido una aportación de enseñanza sobre geometría plana considerable, incluso demostraciones de teoremas elementales, pero son nuevos para la herramienta del software particular. El estudio reportado en este artículo se enfoca en los estudiantes de secundaria, mismos que han tenido experiencia limitada sobre los aspectos formales de la geometría (y ciertamente nunca han visto una prueba o se les ha pedido demostrar un teorema). La evidencia presentada en este artículo confirma que los estudiantes pueden progresar hacia explicaciones matemáticas que, se sugiere, deben proveer un fundamento sobre el cual construir otras nociones más de razonamiento deductivo en matemáticas.

Actividad para después de la lectura

1.      Revise la secuencia didáctica que propuso antes de la lectura. ¿Qué cambiaría? Escriba su nueva propuesta, a la luz de lo que leyó.

2.      Explique con sus propias palabras, las ventajas de utilizar software de geometría dinámica en la enseñanza de esa materia.

3. ¿Considera que las clasificaciones de De Villiers y Jones para los cuadriláteros son idénticas?

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[1] La frase de Healy en inglés es “messed up” que hemos traducido aquí como “revolverse”.

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[1] Cuando una figura se ha construido como un caso particular, es posible que al arrastrarla con el ratón se deforme y pierda sus características esenciales, por ejemplo, si para dibujar un cuadrado se dibuja un segmento, se hacen cuatro copias y luego se acomodan para que “a ojo” los lados queden perpendiculares, o usando la función que el software proporciona de medir los ángulos y ajustar hasta que éstos sean de 90°, al arrastrar la figura esta dejará de ser un cuadrado y “se echará a perder”. En cambio si se han usado las funciones para crear líneas perpendiculares y sobre ellas se han construido el cuadrado usando el compás del software, se podrá arrastrar la figura y ésta cambiará de tamaño y orientación, pero no dejará de ser un cuadrado. (N. del T.)

[2] RME se refiere al nombre en inglés de la tradición de la escuela holandesa “Realistic Mathematics Education” que en español sería Educación Matemática Realista. (N. del T.)

[3] Los autores utilizan todo el tiempo las siglas GB para referirse al Reino Unido de la Gran Bretaña. Se ha elegido utilizar las siglas GB para esta traducción.

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[1] Mathematisation en el original en inglés. [1] El autor utiliza el vocablo ‘mathematization”  que no tiene una traducción muy clara, entiende por esto algo cercano al proceso de hacer matemáticas, crear matemáticas, trabajar con matemáticas, etc. He tomado como traducción: ‘matematización’ y en ocasiones he tratado la palabra como si fuera un verbo: matematizar.