Citar como: Sáiz, M. (2007). El Volumen ¿Por dónde empezar?. Texto que acompaña a la conferencia magistral. Disponible en: http://www.matedu.cinvestav.mx/~maestriaedu/docs/asig4/ConfMagist.pdf. Versión corregida en 2013.
El Volumen ¿Por dónde empezar? [2]
El concepto matemático de volumen es uno de los contenidos señalados por
planes y programas de estudios para la educación básica. Desde preescolar el volumen es uno de los temas a tratar en las clases; en la primaria se
introduce a partir de cuarto grado (aunque desde primero se trabaja con la
capacidad) y su estudio se continúa durante los tres grados de educación
secundaria.
En nuestra vida cotidiana nos movemos en un mundo de tres dimensiones.
Todos los objetos que existen en este mundo tienen volumen. Nuestros
movimientos, de manera implícita, toman en consideración nuestro propio volumen: sabemos si podemos pasar o no por debajo de una cerca, sabemos si cabemos en el
vagón del metro o esperamos otro tren. Con frecuencia, podemos saber si un
vestido nos queda, aun antes de probárnoslo.
También manejamos con destreza el volumen de los cuerpos que nos rodean
y los espacios delimitados por paredes. Claro que a veces nos equivocamos y el
mueble que tanto trabajo costó subir por la escalera no cabe en el espacio que
habíamos previsto.
Lo que quiero decir con todo esto es que el volumen es la magnitud de
nuestro mundo. El mundo no es unidimensional, ni plano. Los seres vivientes son
cuerpos tridimensionales. Por otro lado medir es una actividad común en todas
las sociedades. Así que no es extraño que en muchas ocasiones necesitemos medir
el volumen de un cuerpo. De modo que el concepto de volumen tiene su importancia en nuestra vida
cotidiana y, además, es uno de los contenidos señalados en planes y programas de
estudio, no sólo en nuestro país.
Los maestros necesitan enseñar este concepto a sus estudiantes. ¿Qué
necesitan saber los maestros sobre el volumen para poder enseñarlo mejor?
En general, para enseñar cualquier concepto matemático, resulta de
utilidad tener conocimientos sobre:
- El concepto
en cuestión desde el punto de vista de las matemáticas
- Algunas
dificultades cognitivas que se han detectado en estudios realizados con
niños
- Modelos de
enseñanza propuestos por expertos para el concepto en cuestión
Los puntos anteriores no son categorías ajenas ni excluyentes. Algunos
elementos de uno de ellos se reflejan o forman parte de alguno de los otros y
así. Sin embargo es posible hacer la clasificación para ordenar esta
exposición.
En esta plática quiero exhibir algunos elementos de cada uno de estos
puntos, en relación con el concepto de volumen. Mi idea es que reflexionemos juntos
sobre diferentes aspectos que tienen que ver con la enseñanza y el aprendizaje
del concepto de volumen. Considero que estos conocimientos pueden dar lugar al
diseño de algunas situaciones didácticas que permitan a los alumnos formar un
objeto mental volumen[3]
robusto.
Para iniciar, considero conveniente reflexionar sobre las magnitudes en
general y los procesos de medición. Esto tiene que ver con el primer punto
antes mencionado.
Una propiedad de los cuerpos
susceptible de ser medida
Los objetos del mundo tienen diferentes cualidades, algunas son físicas,
otras químicas. Algunas se perciben a simple vista o tocando o usando otros de
nuestros sentidos (¿es dulce, salado, agrio?). Algunas requieren de
instrumentos como el microscopio u otros aparatos para ser percibidas. Entre
estas cualidades hay algunas susceptibles
de ser medidas: la longitud, la superficie, la temperatura, la capacidad,
el volumen y otras. También hay propiedades que no pueden ser medidas como el
color, la textura, la forma.
- Medir es
común a todas las culturas (es la tercera actividad universal de Bishop[4]).
- Medir es una
actividad cotidiana.
- Medir es
comparar (“la necesidad de medir sólo se plantea si se quieren comparar
dos o más fenómenos”, Bishop, p. 56).
- Medir es
asignar un número a una propiedad de un objeto.
Medir es tan común que de pronto se confunde la propiedad que estamos
midiendo, la magnitud, con su medida y la cuestión se complica más aún cuando
todo se mide con las mismas unidades, con el mismo sistema de medición.
Los sistemas de medidas surgen como una necesidad de regular el comercio
(sobre este asunto es muy recomendable leer el hermoso libro de Kula, 1980).
Estos sistemas se van refinando con el paso del tiempo y con los avances
tecnológicos hasta llegar a los sistemas más utilizados en la actualidad y,
entre ellos, al que nosotros, y casi todo el mundo, utilizamos: el Sistema
Métrico Decimal (al que nos referiremos de aquí en adelante como SMD).
Pero las grandes ventajas de este sistema se convierten, al mismo
tiempo, en un obstáculo para comprender las magnitudes. El SMD parte de una
unidad de longitud: el metro, de aquí se pasa a dos dimensiones y tenemos el
metro cuadrado y luego a tres y tenemos el metro cúbico. De cada una de estas unidades,
por medio de potencias de diez, se obtienen los múltiplos y submúltiplos. Así,
el decímetro cúbico, que corresponde a la milésima parte del metro cúbico,
corresponde al litro, la unidad de capacidad del SMD; y lo que pesa un litro de
agua (en ciertas condiciones atmosféricas) se convierte en la unidad de peso:
el kilogramo o kilo. Este orden, esta secuencia, esta uniformidad es seductora,
pero transmite un mensaje que no tiene que ver con el desarrollo de la medición
y de los sistemas de medida, como veremos más adelante.
El SMD es una creación científica y política (de nuevo los remito a Kula,
1980) y su uso tuvo que ser implantado primero en Francia y después en otros
países, no sin una cierta resistencia de parte de la población. La implantación
del SMD en nuestro país requirió el apoyo de la escuela.
Fue en 1857 cuando se publicó el
decreto anunciando la adopción de este sistema de pesas y medidas (Gallardo,
1864). Este cambio no podía hacerse de un día para otro, había simpatizantes
del sistema, pero también se hacían críticas relacionadas con su adopción. Por
tanto, el gobierno mexicano se vio comprometido a popularizar el nuevo sistema,
así como su uso. Un medio para lograr este fin sería la educación. (Sáiz, 2002,
pág. 59)
La escuela era el lugar en el cual este sistema se enseñaba a las nuevas
generaciones, haciéndolos olvidar aquellos otros sistemas de medición. Pero no
sólo esto, la enseñanza del Sistema Métrico Decimal deja de lado los conceptos mismos,
asociados a las magnitudes que requieren ser medidas; de alguna manera se parte
del supuesto de que todo mundo sabe lo que es la longitud, la superficie, el
volumen. Lo importante es medir todo eso usando las unidades del SMD. Esto crea
una cierta ilusión en cuanto a que lo primero que se debe enseñar es el metro
y, por tanto, la longitud; después el metro cuadrado y, por tanto, el área y, por
último el volumen. Esto obedece también a una lógica de la matemática formal.
Para la enseñanza de las matemáticas (por ejemplo del cálculo) primero se
trabaja en una dimensión y luego en dos, luego en tres y luego en “n”.
Hart (1984) realizó un estudio para averiguar el nivel de conocimientos
básicos sobre medición en niños de 12
a 15 años en Inglaterra. Al hacer el análisis de las respuestas dadas
por los niños encontró que 70% de los alumnos que no conservaban[5] la
longitud, podían responder a los problemas de conservación de área
correctamente. Similarmente, 70% de los que no conservaban área podían
conservar longitud. Algo parecido sucedió con algunos alumnos que mostraron
conservar el volumen pero no así el área ni la longitud.
Al leer el libro de Kula (1980) y conociendo algo de las costumbres
rurales en nuestro país podemos darnos cuenta de que las medidas de longitud tradicionales, o antiguas, no siguen el orden
longitud, área, volumen. De hecho, algunas mediciones de longitud no se basan
en la comparación con una unidad de medida de longitud, sino que se relacionan con
una magnitud de naturaleza totalmente distinta, por ejemplo, la longitud de un
camino se relaciona con el tiempo que tardará en recorrerse. A veces la medida de
una distancia se da en términos de la posición que tendrá el sol cuando se
llegue al destino. El área o la superficie de un terreno se calcula, en
ocasiones, por la cantidad (volumen) de semillas que pueden sembrarse ahí de
manera óptima. Así que pensar que la longitud es la base para medir el área y,
de ahí, el volumen es algo muy abstracto.
La aritmetización del volumen
En la escuela, por lo menos hasta los años ochenta, el objetivo de la
enseñanza de la medición era la práctica de medir, la obtención de una medida y
el SMD facilita la tarea, al menos
aparentemente; ya que sólo se requiere enseñar un único sistema de medición que
dará cuenta de cualquier tipo de medida y siempre inicia por la longitud y
llegará hasta el peso, como se ha comentado anteriormente.
El área se obtiene multiplicando dos longitudes y el volumen
multiplicando un área por una longitud. Parece fácil. Sin embargo,
Este cambio de perspectiva, entre procedimientos de cálculo
de volúmenes, en los que el proceso involucrado consiste en un conteo eficiente
de unidades de la misma naturaleza de aquello que se pretende medir y otros
procedimientos, en los cuales los cálculos involucran comparaciones entre
unidades de distinta naturaleza a la que se está midiendo, como son longitudes
y áreas en el caso del volumen, acarrea dificultades cognitivas en el proceso
de aprendizaje. (Sáiz, 2002)
Los
procedimientos en los que se cuentan unidades, por ejemplo, los centímetros
para medir una longitud o tazas para medir un volumen de líquido o un cuadrito
para cubrir un área y contar cuántos se requirieron, se les denomina unidimensionales
(Vergnaud, 1983) ya que el cálculo radica en un conteo (de unidades de logitud,
capacidad, área o lo que se requiera). Los bidimensionales, son procesos en los
cuales se hacen mediciones o comparaciones de magnitudes de naturaleza
diferente a la de la unidad con que se mide, tales como medir áreas usando la
unidad de medida de la longitud y luego multiplicando ambos resultados o medir
volúmenes usando una unidad de longitud para la altura, otra de superficie para
la base y luego multiplicando ambos resultados. Es decir un proceso
bidimensional, cuyo resultado está dado en unidades de una tercera naturaleza. Podríamos
ir aún más lejos y considerar que la famosa fórmula “largo por alto por ancho”
representa un proceso tridimensional.
Los conflictos relacionados con el paso de procedimientos
unidimensionales a bidimensionales, para medir el volumen, posiblemente también
estén detrás del resultado de Ricco y Vergnaud (1983) sobre las dificultades
detectadas, en alumnos de cuarto grado en adelante, para deducir la fórmula
para obtener el volumen de un paralelepípedo; ya que, como se ha visto, no es tan
natural como pareciera el medir un objeto tridimensional midiendo sus
dimensiones lineales.
Dentro de la matemática formal, la problemática de este cambio de
dimensionalidad en relación con el cálculo del volumen se refleja a través del
estudio de la integral. Entre los antecedentes de este concepto se encuentra el
trabajo de Cavalieri. Algunos autores (ver por ejemplo
Boyer, 1989) consideran que el trabajo más importante del Renacimiento en
cuanto al cálculo en general, y al volumen en particular, es el publicado en
1635: Geometria indivisibilibus
continuorum de Bonaventura Cavalieri, antiguo alumno de Galileo. Su libro
es considerado por algunos autores el primer libro de texto sobre lo que ahora
se conoce como métodos de integración.
El método de Cavalieri
para obtener volúmenes consistía en medir los sólidos que se formaban al cortar
el cuerpo con planos paralelos a su base. La idea de Cavalieri era la de
considerar todos (una infinidad) los
planos paralelos a la base que cortan al cuerpo, lo que da como consecuencia una
serie de sólidos infinitamente delgados. La suma del volumen de estos “sólidos”
sería el volumen del cuerpo original.
Cavalieri observó
que si se tienen dos o más cuerpos con la misma altura h y éstos son intersecados por cualquier plano paralelo a sus bases
(formándose las figuras A1
y A2 como se muestra en la Figura 2.3) y si siempre las
figuras formadas por la intersección de los cuerpos y el plano tienen la misma
área, entonces los sólidos tienen el mismo volumen.
 |
Figura 2.3 Ejemplo del uso del
teorema de Cavalieri.
Como se observa, Cavalieri transforma el
problema unidimensional de calcular un volumen en uno bidimensional (comparación
de áreas y de alturas) y aprovecha para conocer el volumen de un cuerpo a partir de
otro cuerpo cuyo volumen es conocido. Este procedimiento se fue refinando con
el tiempo hasta la forma en que se presenta hoy en los textos de cálculo
diferencial e integral.
En matemáticas, el cálculo del volumen aparece como una
aplicación de la integral definida, como se observa en la siguiente cita, donde
el volumen se asocia al valor de la integral de una función definida sobre una
región en el plano (bidimensional) con valores reales (lo que vendría a ser la
altura).
Sea D una región en el plano, y R un rectángulo que contiene a D. Sea f : R® Â, continua y f * la función tal que:
Con esta definición, si f(x,y) ³ 0 en D, el valor de la integral corresponde al volumen de la región tridimensional entre la gráfica de f y D (Marsden y Tromba, 1991, pág. 331).
Dos cuestiones importantes
a resaltar son:
·
dentro de
la matemática formal y su enseñanza, se establece el orden de una, dos, tres y
más dimensiones.
·
las
magnitudes longitud, área y volumen se integran, para su estudio, junto con
otras ideas, en lo que se conoce como teoría de la medida y así pierden sus
particularidades.
Lo que se acaba de
mencionar es producto de seguir el rastro del concepto de volumen a través de
la historia del cálculo. Sin embargo, si el rastreo se hace por la historia de
la geometría encontramos que el concepto de volumen está ligado al de poliedro. Malkevitch (1988), al estudiar los orígenes de estos objetos
geométricos, señala lo que él llama piedras angulares en este camino. Entre
ellas, menciona tres, relacionadas con el cálculo del volumen: una es la fórmula
del volumen de una pirámide truncada que aparece en el Papiro de Moscú (1850 a .C.); otra es el
conocimiento de Demócrito (500
a .C.) de que el volumen de una pirámide es un tercio del
área de la base por la altura y la demostración de este hecho realizada por
Eudoxo (409-356 a .C.);
la tercera se refiere a las discusiones de Euclides acerca del volumen de los
prismas y pirámides en el Libro XII de Los Elementos.
Estos datos nos
llevan a reflexionar que la idea de calcular volúmenes por procesos
bidimensionales data de casi dos mil años antes de nuestra era. Sin embargo, esto
no lo hace menos abstracto y muestra las dificultades didácticas que el estudio
del volumen puede acarrear.
Quizás más sorprendente resulta notar que, al tomar el camino de la geometría para rastrear el concepto de
volumen, se origina un problema que Hilbert, en 1900, observó. Él se dio cuenta de que en
geometría plana, una vez obtenido el área del rectángulo, el área de cualquier
figura poligonal puede ser calculada partiéndola en un número finito de
pedazos, y reacomodándolos para obtener otra figura poligonal cuya área sea
conocida.
Al procedimiento de dividir una figura poligonal en un
número finito de figuras poligonales y volverlas a acomodar para formar otra, se
le conoce como equidescomponibilidad. La figura original y la obtenida
finalmente se dice que son equidescomponibles. El resultado general que
relaciona esta definición con el área dice: dos figuras poligonales que tienen la misma área son equidescomponibles y viceversa.
El resultado anterior tiene una aplicación importante en
la vida real y en la enseñanza del cálculo de áreas, ya que para calcular el
área de cualquier figura poligonal, ésta puede descomponerse adecuadamente en
otra figura con la misma área. Una vez conocida la fórmula para encontrar el
área del rectángulo, por equidescomponibilidad se obtiene la de los triángulos
y, como todas las figuras poligonales pueden dividirse en triángulos, una vez
conocida la manera de calcular el área de un rectángulo, es posible calcular el área de cualquier
figura poligonal.
Sin embargo, Hilbert observa que el método de equidescomponibilidad en
tres dimensiones, para calcular volúmenes, no parecía aplicable en todos los
casos. Desde Euclides, todos los que obtenían el volumen de un tetraedro lo
hacían a través de un proceso de límite. La pregunta natural era entonces si
esto se debía a una especie de mala suerte de no encontrar cómo descomponer convenientemente
el tetraedro para reacomodar las piezas y obtener otro cuerpo de volumen
conocido, o se debía a que la generalización en tres dimensiones del resultado
para polígonos no era válida. Esto es ¿existen poliedros equivalentes (con el
mismo volumen) que no son equidescomponibles?
Hilbert lo plantea de esta manera: exhibir dos
tetraedros con bases equivalentes y alturas iguales que de ninguna manera
puedan descomponerse y reacomodarse para formar dos tetraedros congruentes.
Este planteamiento es el tercer problema de Hilbert, mismo que fue resuelto por
Dehn el mismo año de su planteamiento. Con esto, quedaba probado que no hay
manera de deducir la fórmula general para obtener el volumen de una pirámide a
partir de la fórmula para obtener el volumen de un prisma usando los métodos de
descomposición, tal y como funciona en el caso de las áreas. Este resultado tiene un
efecto en la educación secundaria, dicha fórmula no puede formalizarse más que
a través de un proceso de límite. Boltianskii (1978) llama la atención sobre
esta situación y comenta que de los 23 problemas propuestos por Hilbert, sólo
el tercero está relacionado con la enseñanza de la geometría en secundaria.
Como se desprende de los párrafos anteriores, si bien el
volumen, como la longitud y el área, es una cualidad de los cuerpos susceptible
de ser medida y por tanto comparte propiedades comunes a todas las magnitudes;
también tiene cualidades que lo identifican y lo convierten en un concepto que
se debe enseñar de manera independiente a la longitud y al área, no como una
extensión de éstos.
También hemos visto que el orden: longitud luego área
luego volumen, elegido para la enseñanza de la medición en todos los niveles y
en todas las épocas, no es natural como se percibe cuando se estudian y
analizan los sistemas de medición antiguos y tradicionales y como se refleja en
investigaciones actuales realizadas con niños.
A continuación centraré la atención en estudios de tipo
psicológico o cognitivo, aunque aquí ya han aparecido algunos resultados de este tipo de
estudios y de posibles implicaciones cognitivas en el aprendizaje del concepto volumen que se pueden anticipar a través de un análisis teórico del concepto matemático de volumen.
La conservación de la sustancia
En la sección anterior se comentó acerca del problema de Hilbert. Este
problema hace énfasis en la imposibilidad de tener un método general para
obtener un volumen a partir del conocimiento de la fórmula para obtener el
volumen de un paralelepípedo; lo que sería una situación análoga al caso del
área, donde una vez obtenida la fórmula para calcular el área de un rectángulo,
se calcula la del triángulo por descomposición y de aquí la de cualquier región
plana.
Este proceso de descomponer y recomponer es una transformación que se
aplica a la región cuya área hay que obtener, pero para estar de acuerdo con
que el proceso es correcto es necesario comprender que la transformación
aplicada a la figura original conserva
el área.
Piaget se dio cuenta de la importancia de la idea de conservación de la
cantidad y la sustancia para la formación de algunos conceptos matemáticos y
dedicó mucho de su trabajo a ello. Posteriormente, su trabajo ha sido replicado,
criticado y/o adaptado, pero su valor sigue siendo de importancia para aquellos
interesados en la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas. Por ello
iniciamos comentando algunas de las aportaciones de Piaget en relación con el
concepto de volumen y su enseñanza.
Una contribución que considero importante se relaciona con los
significados que los niños atribuyen al vocablo volumen. Piaget Inhelder y
Szeminska (1960) distinguen tres significados diferentes. Tan diferentes que
las edades para las que se logra la conservación de cada uno de ellos es
distinta. Los significados son:
- Volumen interno
(la cantidad de unidades de material que conforman un cuerpo)
- Volumen
ocupado (la cantidad de espacio que ocupa un cuerpo en relación con otros
objetos del entorno)
- Volumen
desplazado (el volumen de agua desplazado por un cuerpo que se sumerge en
este líquido)
Para el volumen
interno, de acuerdo con Piaget, Inhelder y Szeminska (1960) la conservación se
logra entre los siete y los once años; mientras que para los otros dos
significados, las edades señaladas para su conservación son de 12 a 13 años. Esta diversidad
de significados y de edades para su conservación marca otra diferencia con la
longitud y el área, además de las que ya se habían comentado en la sección
anterior.
El trabajo de
Piaget es el punto de partida de la mayoría de las investigaciones hechas con niños en
torno a diferentes conceptos relacionados con la medición.Por ejemplo, Lunzer, y Novell y Ogilvie, así como Carpenter (citados por Stefee y Hirstein, 1976) hicieron
investigaciones basadas en las tareas piagetianas de conservación del volumen y
llegaron a conclusiones semejantes a las de Piaget.
Hiebert y Carpenter
(1982) hacen algunos estudios sobre la conservación y el aprendizaje de la
medición y concluyen que la conservación no es un requisito para aprender conceptos
relacionados con la medición y recomiendan trabajar con diferentes
magnitudes aun cuando los niños no sean conservadores de tales magnitudes.
Como se mencionó ya, Hart (1984) y su equipo aplican un cuestionario sobre varios temas matemáticos
a estudiantes de 12 a
15 años de edad. Para el volumen, la mayoría de las preguntas son adaptaciones
de las tareas piagetianas a un cuestionario de lápiz y papel. El análisis de las respuestas a estas
preguntas lleva a concluir que algunos de estos niños tienen problemas con
la conservación del volumen.
Además de la
conservación existen otros problemas detectados con relación al aprendizaje del
volumen, por ejemplo los que tienen que ver con relaciones entre el volumen y otras magnitudes
como el área lateral, la capacidad y el peso. Sobre el área lateral Enochs y
Gabel (1983) realizan un estudio con futuros maestros de primaria y encuentran
que muchos de ellos no distinguen volumen de área o los confunden. Ricco y
Vergnaud (1983) observan este mismo comportamiento en niños de cuarto grado de
primaria.
Janvier (1994)
subraya el problema de la confusión entre capacidad y volumen. Al respecto Sáiz
(2002) encontró que algunos maestros de primaria están confundidos respecto
a lo que une y a lo que separa los conceptos capacidad y volumen. Ella
considera que el problema disminuiría si, cada vez que se va a trabajar con
alguna magnitud, se hace hincapié en los objetos susceptibles de ser medidos
respecto a dicha magnitud. Para ella es importante que los alumnos se den
cuenta de la diferencia entre los objetos susceptibles de ser medidos respecto
al volumen (cualquier objeto de nuestro mundo) y los objetos susceptibles de
ser medidos respecto a la capacidad (sólo los recipientes).
También se
han reportado resultados que indican que algunas personas relacionan el cambio
en el nivel de líquido, al sumergir un cuerpo en él, al peso y no al volumen.
Sáiz (2002) reporta otros errores cometidos por maestros sobre la relación
peso-volumen, entre otros encuentra que, una vez que los maestros han llegado a la conclusión de
que es el volumen y no el peso lo que se mide cuando se usa inmersión, esto los
lleva a pensar que no hay ninguna relación entre el peso y el volumen, ni
siquiera cuando se trata de cuerpos del mismo material.
Respecto a los
objetos volumen medibles, Potari y Spiliotopoulou (1996) hacen un estudio en el
que reportan cómo la forma y estado del cuerpo a medir influyen en la noción de
volumen de los niños. A juicio de estos investigadores la visión geométrica
del volumen se enfoca en la medición, en particular, en el resultado numérico,
despojando a los objeto de sus características físicas. Así, ellos llevan a cabo una investigación enfocando la atención en
tales características de los cuerpos. Sus experimentos incluyen cuerpos
sólidos, cuerpos huecos de plástico, modelos huecos de papel, recipientes
abiertos y cerrados, vacíos y llenos.
Algunas de los
resultados de estos investigadores son que los niños de quinto grado de
primaria dan significados diferentes al término volumen de acuerdo con
características físicas de los cuerpos que se les presentan. Al comparar dos
cubos idénticos, uno de papel hueco y otro sólido de madera, algunos niños le
dan a volumen el significado de capacidad y concluyen que el objeto hueco es
mayor (al otro no le cabe nada); otros le dan al término el significado de masa
o material con el que está hecho, en ese caso dicen que el mayor es el de
madera. Lo mismo ocurre cuando el significado asociado es peso. Cuando el
significado asociado es el de volumen como espacio ocupado dicen que ambos
cubos tienen el mismo volumen.
La intención de
estas reflexiones es subrayar la complejidad del concepto volumen Lo mencionado
en los puntos precedentes permite concluir tal y como Potari y Spiliotopoulou (1996) lo hacen en su artículo:
Vergnaud (1990) afirma que el concepto
volumen está formado por diferentes propiedades y relaciones con otros
conceptos matemáticos [...]. También está relacionado con conceptos físicos
como la cantidad, la naturaleza de la materia y el peso. Esta complejidad
explica la diversidad de concepciones expresadas por los niños... (Ibid., págs. 356-357).
Análisis fenomenológico didáctico
Por último, nos
referiremos a las recomendaciones de expertos para la enseñanza del volumen.
Como veremos, los resultados de investigaciones psicológicas y de un análisis
matemático del concepto volumen influyen en los modelos de enseñanza
propuestos.
Freudenthal (1983) es
uno de los críticos más fuertes de Piaget. Su crítica radica, fundamentalmente,
en que para Freudenthal no se debe iniciar una investigación sobre un concepto
matemático si no se le ha aplicado antes al concepto en cuestión un análisis
fenomenológico[6]. Así,
él aplica un análisis fenomenológico a muchos conceptos matemáticos y en ocasiones extiende el análisis a lo que denomina análisis fenomenológico didáctico. Para el volumen, algunas
de las actividades que considera indispensables para la formación del objeto
mental volumen son las siguientes:
1)
Hacer muchas transformaciones con
sólidos, semillas, harinas y líquidos, como moldear, verter, transformaciones
de romper y rehacer[7],
sumergir en líquidos y otras.
a)
Aprovechar este para hacer
hincapié en la diferencia entre volumen y área,
b)
diferenciar capacidad y volumen,
c)
observar la aditividad[8]
del volumen.
2)
Hacer repartos justos (de pan,
masa, plastilina, líquido)
a)
Aprovechando regularidades de los
cuerpos
b)
Estimando
c)
Midiendo
3)
Comparar y reproducir (con otra
forma)
a)
Comparando bases y luego alturas
b)
Por inclusión (si es posible)
c)
Por estimación
d)
Por medición
e)
Usando transformaciones que
conserven el volumen
4)
Medir
a)
Por exhaución con una unidad y
afinando la medición con subunidades
b)
Con transformaciones de romper y
rehacer
c)
Por relaciones geométricas
conocidas
d)
Por medio de fórmulas
e)
Por inmersión
5)
Otras cosas
a)
Construir cuerpos de igual área y
volúmenes diferentes
b)
Construir cuerpos de igual volumen
pero diferentes áreas
c)
Observar el efecto de multiplicar
por un factor k las magnitudes
lineales de un cuerpo
Para Freudenthal,
dentro de más variedad haya en las actividades realizadas en clase, mejor será
el resultado. Analizando el modelo de enseñanza mexicano a partir de las
recomendaciones de Freudenthal, de otros expertos (véase por ejemplo, Del Olmo,
Moreno y Gil, 1996) y de lo que se desprende de resultados relacionados con
aspectos formales del volumen, desde la matemática misma y de los procesos
cognitivos, considero que el eje de medición plasmado en los planes y programas
de primaria y secundaria tiene dos características importantes:
1. En la primaria,
el tratamiento dado a algunas magnitudes es más variado y completo que el dado
a otras. La longitud y el área dan un espacio a la percepción y a las
transformaciones que las dejan invariantes. En estas magnitudes hay también
mucho trabajo con unidades no convencionales. Sin embargo, no es el caso del
volumen. El estudio de este contenido se inicia en cuarto grado, pero sólo hay
una lección que trata la medición de volúmenes con unidades no convencionales
(lección 10 del bloque 4). En quinto y sexto hay algunas más, la mayoría
centradas en el cálculo de volúmenes de paralelepípedos aplicando la fórmula y
usando unidades convencionales.
2. En primaria y secundaria
se trabaja muy poco la estimación de magnitudes (sobre este tema vale la pena leer
a Bright, 1976), la estimación del volumen no es un contenido a tratar. Esta es
quizás una carencia que el maestro debe remediar ya que la estimación es una
actividad importante y útil, la cual puede dar mucho sentido al aprendizaje de los
conceptos de medición.
Reflexiones finales
Este documento lo
escribí con el ánimo de apoyar a los maestros en su práctica profesional,
particularmente en la enseñanza de la medición en general y del volumen en
particular. De alguna manera quise traer resultados de investigación al aula,
exponiéndolos de manera sencilla a los maestros.
Aunque es muy
difícil sintetizar todas las deducciones obtenidas por diferentes
investigadores en relación con el concepto de volumen, he intentado mostrar un
abanico con algunos resultados que considero relevantes y mi intención ha sido provocar
el deseo de tener un acercamiento a los documentos que reportan diferentes
investigaciones y sus conclusiones; no sólo acerca del volumen, sino de otros
muchos contenidos matemáticos.
Algunas de las
afirmaciones que aparecen en este texto son ideas personales. Ideas que son producto
de una reflexión que me ha llevado años: pensar y volver a pensar, leer y volver
a leer, analizar y volver a analizar. Lo que quiero decir con esto es que me ha
llevado mucho tiempo comprender algunas de las ideas que he expresado aquí. Esto
es, formar un objeto volumen sólido y rico lleva muchos años, mucho trabajo y
es un proceso que no se termina nunca. Espero cada día seguir enriqueciendo
toda la red de definiciones, significados y relaciones que conforman mi objeto
mental volumen. En esta exposición he intentado dejar ver un poco de esta
riqueza y complejidad. Si logro despertar un poco de interés y curiosidad por
este concepto, habré logrado mi propósito.
También es pertinente aclarar que los libros de texto que se usaban en la época en la que hice la investigación que lleva a la escritura de este artículo son los de 1993 que se usaron hasta el 2005 aproximadamente.
También es pertinente aclarar que los libros de texto que se usaban en la época en la que hice la investigación que lleva a la escritura de este artículo son los de 1993 que se usaron hasta el 2005 aproximadamente.
Bibliografía
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A. (1999) Enculturación Matemática.
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[2] Artículo que acompañó a
una conferencia magistral impartida en marzo de 2007 en el Auditorio José Adem
del Centro de Investigación y de Estudios Avanzados (Cinvestav), México, D.F.
[3] Nos referimos a objeto mental en el sentido que le da Freudenthal (1983) y
contrapuesto a concepto. Los conceptos
son el conocimiento ya terminado e incluido en “la enciclopedia del
conocimiento universal”, mientras que los objetos mentales son todas las
representaciones, ideas, relaciones, significados que el concepto evoca en la
mente del sujeto.
[5] Se habla aquí de conservar en el sentido Piagetiano (ver
Piaget, Inhelder y Szeminska, 1960). En general el término se refiere a la
capacidad de comprender que bajo ciertas transformaciones las magnitudes se
conservan. Por ejemplo si un hilo no elástico se estira o se encoge; si un
líquido se pasa de un recipiente a otro, etc.
[6] Freudenthal (1983) lo explica con estas palabras: “Fenomenología
de un concepto matemático, estructura, o idea significa describirla en su
relación con los fenómenos para los que fue creado, y a los que ha sido
extendido en el proceso de aprendizaje de la humanidad, y, hasta donde esta
descripción esté relacionada con el proceso de la joven generación, se trata de
fenomenología didáctica, una manera de mostrar al maestro los lugares en los
que el aprendiz puede detenerse en el proceso de enseñanza de la humanidad” (pág.
1).
[7] Freudenthal (1983) las denomina break
make-transformations y se refiere, por ejemplo, a hacer una construcción
con cubos, deshacerla y volverla a hacer.
[8] Si un cuerpo se
descompone en dos cuerpos que no se intersecan, el volumen del cuerpo original
es igual a la suma de los volúmenes de los dos cuerpos obtenidos por la
descomposición.
